Несобственные интегралы в Wolfram|Alpha

При вычислении определенных интегралов


предполагается, что пределы интегрирования a и b конечны, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке интегрирования [a; b]. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то определенный интеграл называют несобственным интегралом.

Несобственные интегралы бывают двух типов.

Во-первых, это несобственный интеграл 1-го рода (определенный интеграл, в котором один или оба предела интегрирования бесконечны). Его легко узнать по внешнему виду:


Во-вторых, это несобственный интеграл 2-го рода (определенный интеграл, в котором подынтегральная функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва на отрезке [a;b] ). Внешне он ничем не отличается от обычного определенного интеграла.

Несобственные интегралы могут быть сходящимися либо расходящимися.

Wolfram|Alpha легко справляется со всеми типами несобственных интегралов.
- интеграл сходится.

Определенный интеграл в Wolfram|Alpha

Из предыдущего поста должно быть ясно, как находить неопределенные интегралы в Wolfram|Alpha. Теперь наступил черед узнать, как Wolfram|Alpha вычисляет определенные интегралы.

Так же, как и для нахождения неопределенных интегралов, для вычисления определенных интегралов Wolfram|Alpha использует запрос integrate, в котором, после подинтегральной функции, нужно указать пределы интегрирования.

Например,


Как видим, Wolfram|Alpha не только вычисляет определенный интеграл, но и выводит его геометрическую интерпретацию.

С Рождеством, Wolfram|Alpha!

Канун Рождества - время, когда обычно вспоминают тех, кто нам дорог, к кому мы питаем искреннюю привязанность, с кем связаны положительные эмоции и важные моменты жизни, не так ли? Если так, тогда сейчас самое время вспомнить о Wolfram|Alpha, что неизменно приходит к нам на помощь, в любое время дня и ночи, безотказно и именно тогда, когда мы обращаемся за помощью.

Пожелайте Wolfram|Alpha счастливого Рождества, и убедитесь, в том, что Wolfram|Alpha ответит. Именно Вам. К сожалению, Wolfram|Alpha пока не понимает по-русски, поэтому обратимся к нему на западный манер:

Merry Christmas, Wolfram|Alpha!

Неопределенный интеграл в Wolfram|Alpha

Для интегрирования функций в Wolfram|Alpha служит запрос integrate. Также можно использовать integral. Иногда Wolfram|Alpha понимает также сокращенную форму int. Однако, лучше ее не использовать, поскольку int традиционно применяется для обозначения целой части числа.

Вот несколько примеров на интегрирование функций в Wolfram|Alpha.

Для начала, "самый сложный вопрос":


Теперь стандартный интеграл от многочлена:


Совет: чтобы получить пошаговое решение, не забывайте о кнопке "Show steps".

Уравнение касательной к графику функции в Wolfram|Alpha

Найти уравнение касательной к графику функции в данной точке - самая простая задача на применение производной. А самый простой способ получить быстрый ответ - воспользоваться Wolfram|Alpha.

Wolfram|Alpha действительно решает такие задачи быстро и легко. При этом вовсе не потребуется вспоминать, как выглядит общее уравнение касательной. Также не придется ни вычислять значение функции и ее производной в данной точке, ни подставлять их в общее уравнение касательной, а затем упрощать полученное уравнение.... С Wolfram|Alpha ничего этого не потребуется. Достаточно лишь воспользоваться запросом tangent line (по-английски "tangent line" - касательная). 

Вот, например, как в Wolfram|Alpha решается такая  задача; "Найти уравнение касательной к графику функции y=x^2 в точке x=1".


Как видите, Wolfram|Alpha выводит не только уравнение касательной, но и графическую иллюстрацию.

Дифференцирование функций в Wolfram|Alpha

Как найти производную функции в Wolfram|Alpha?

Wolfram|Alpha использует для дифференцирования функций несколько различных запросов. Проще всего найти обычную производную функции f(x) в Wolfram|Alpha можно с помощью запроса-префикса d/dx.

Вот, как это выглядит на практике

d/dx x^2e^cosx



Чтобы получить пошаговое решение с пояснениями каждого шага, достаточно нажать "Show steps".

Ряды Лорана в Wolfram|Alpha или Кто читает Wolfram|Alpha по-русски?

Судя по активности, посетителям блога Wolfram|Alpha по-русски не очень интересны элементарные вопросы математики. К примеру, пост об интегральном преобразовании Лапласа, опубликованный почти месяц назад, собрал аудиторию больше, чем недавняя статья о прямой на плоскости или свежая заметка о построении окружности.
Хотя это еще ни о чем не говорит. Иначе придется признать, что сюда заходят только продвинутые математики. А ведь это совсем не обязательно. Это могут быть, например, студенты старших курсов вузов. Большинство из них понимают ценность такого помощника, как Wolfram|Alpha.
В то же время, вопрос элементарного уровня "Как построить график функции в Wolfram|Alpha" по-прежнему остается одним из самых популярных в блоге. Как объяснить это? Один из возможных вариантов: при изучении математики в вузах вопросам аналитической геометрии уделяется не слишком большое внимание, поэтому они кажутся не такими важными, как, например, построение графиков функций.
Второй по рейтингу пост этого блога на сегодня - Возведение матрицы в степень. Его популярность можно объяснить так: мало кто задумывается, что матрицы можно возводить в степень. Хотя это очевидно, но выглядит парадоксально. Отсюда - интерес.
Конечно же, кто читает этот блог, студенты или математики, можно было бы установить путем опроса. Наверное, так и следует сделать. Когда закончится предыдущий опрос "Как часто вы пользуетесь Wolfram|Alpha?", можно будет начать новый, чтобы в результате получить объективный ответ. Но главное понятно: читают наверняка только те, кому математика, нужна, близка по тем или иным причинам. И это - студенты, инженеры, математики, преподаватели...
А кто ещё? Вопрос поставлен. И можно продолжить знакомство с Wolfram|Alpha.
Поскольку начиналось с того, что применение Wolfram|Alpha к решению элементарных задач математики негативно влияет на активность читателей блога, рассмотрим, что Wolfram|Alpha может предложить при решении более сложных задач. Например, таких, которые относятся к области комплексного анализа, где, в частности, много работал Augustin‐Louis Cauchy.



Те, кто сталкивался с вопросами теории аналитических функций, знают, что одним из наиболее востребованных инструментов комплексного анализа являются ряды Лорана.

Окружность в Wolfram|Alpha

Как получить изображение окружности в Wolfram|Alpha? Как с помощью в Wolfram|Alpha построить окружность, если задано ее уравнение, если заданы координаты центра и радиус, если известны три точки, через которые проходит окружность? Как найти координаты точек пересечения окружности и прямой? Такие элементарные задачи Wolfram|Alpha решает легко.

Треугольник на координатной плоскости в Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha позволяет использовать метод координат для решения основных задач на треугольники.

Координаты точки пересечения двух прямых в Wolfram|Alpha

Многие задачи аналитической геометрии в конечном итоге сводятся к отысканию координат точек пересечения прямых. С помощью Wolfram|Alpha эту задачу можно решить по-разному.

Прямая на плоскости в Wolfram|Alpha

Прямую на плоскости можно задать:
  • двумя точками;
  • точкой и направлением (угловым коэффициентом);
  • отрезками на осях (точками пересечения с осями координат).
Соответственно, аналитическая геометрия рассматривает основные задачи на прямую на плоскости, связанные с этими способами.

Метод координат в Wolfram|Alpha

Давным-давно, почти 400 лет тому назад, гениальный французский математик и философ Рене Декарт (Rene Descartes, 1596-1650) предложил и развил метод координат - основной метод аналитической геометрии.



Wolfram|Alpha использует метод координат, чтобы решать простейшие задачи аналитической геометрии.

Линейная алгебра в Wolfram|Alpha: самое необходимое для студентов

Изучение высшей математики в вузах традиционно начинается с раздела (или темы) "Линейная алгебра". Причем, согласно духу времени, большая часть обучения приходится на самостоятельную работу студентов.

Как известно, существует минимально необходимый минимум практических навыков, который позволит любому студенту гарантированно получить на экзамене свою заслуженную "тройку" (E или даже D) по разделу "Линейная алгебра". Он включает следующее:
Понятно, что Wolfram|Alpha легко справляется со всеми этими заданиями.

Комплексные корни алгебраических уравнений в Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha может легко находить не только действительные, но также и комплексные корни алгебраических уравнений.

Для отыскания корней уравнений в Wolfram|Alpha слудат различные запросы. Они отличаются по форме и приводят к различным представлениям результатов решения уравнения.

Так, если просто ввести уравнение в поле запроса Wolfram|Alpha, то получим действительные и комплексные корни уравнения в следующем виде:

x^3+x^2+6x+16=0



Интегральное преобразование Лапласа в Wolfram|Alpha

Интегральное преобразование Лапласа применяется во многих областях математики, в научных и инженерных вычислениях, для решения систем дифференциальных и интегральных уравнений, расчёта передаточных функций динамических систем, выходных сигналов динамических систем в теории управления, электрических схем, решения нестационарных задач математической физики.

Обычный запрос Laplace (без параметров), Wolfram|Alpha интерпретирует, как поиск информации об известном математике Пьере Лапласе:

Laplace



Если же после Laplace ввести какую-либо функцию, то Wolfram|Alpha понимает это уже, как дифференциальный оператор Лапласа. Вот, например,

Laplace sin(x) или же просто L[sin(x)]



Непосредственно из этого окна, по указанной выше ссылке можно получить прямое преобразование Лапласа для указанной функции - изображение функции по Лапласу:



Изоляция корней и графическое решение уравнений в Wolfram|Alpha

Для большинства алгебраических и трансцендентных уравнений, возникающих на практике, получить аналитическое решение, как правило, бывает довольно трудно или же вообще невозможно. Это зависит от вида левой части в уравнении .

В таких случаях на помощь приходят приближенные методы численного решения уравнений такие, как метод половинного деления, метод хорд (метод секущих), метод касательных (метод Ньютона) и их комбинации. Приближенные методы позволяют, следуя определенной расчетной процедуре, находить действительные корни алгебраических и трансцендентных уравнений с любой наперед заданной точностью.

Первым шагом в применении названных приближенных методов является процедура изоляции действительных корней уравнения, которую можно осуществить как аналитически, так и графически. Обычно, второй способ является более быстрым и наглядным: ведь достаточно построить график функции , чтобы увидеть точки его пересечения с осью абсцисс - это и есть действительные корни уравнения.

Wolfram|Alpha не только позволяет предельно упростить процедуру графической изоляции действительных корней алгебраических и трансцендентных уравнений, но также находит эти корни.

Посмотрим это на примере графического решения уравнения



Достаточно просто ввести это уравнение в поле запроса системы Wolfram|Alpha, чтобы незамедлительно получить такой вот результат:

x^4-x^3-6x^2+4x+1=0



Как видим, Wolfram|Alpha выводит график левой части уравнения, обозначая на нем корни уравнения на оси абсцисс (Root plot), дает приближенные значения этих корней (solutions) и отмечает их на числовой оси (Number line). Кнопка "More digits" позволяет получить корни уравнения с большей точностью.

Решение "буквенных" уравнений в Wolfram|Alpha

Задача "выразить х из уравнения (с несколькими неизвестными)" встречается довольно часто. Ее можно рассматривать, как решение уравнения с буквенными коэффициентами. Поэтому логично, что Wolfram|Alpha использует для решения таких "буквенных" уравнений запрос solve, который обычно служит для решения уравнений с одним неизвестным.

Вот простой пример такой задачи.

Дано:



Найти x.

Запрос solve применительно к этому уравнению дает такой результат:

solve 2x+3y-1=0



Здесь Wolfram|Alpha отдает приоритет отысканию переменной y. Возможно, полагая, что y это - функция, а x - ее аргумент? Кстати, тот же самый результат дает и запрос solve 2x+3y-1.

Если же из данного уравнения нужно найти именно х, то это следует указать явно. И вот, каким образом:

solve 2x+3y-1 for x



При этом, в отличие от первого варианта, здесь Wolfram|Alpha дает возможность посмотреть пошаговое решение задания с подробным текстовым комментарием:



(Эта замечательная особенность Wolfram|Alpha уже обсуждалась в одном из предыдущих постов Математика с Wolfram|Alpha: шаг за шагом...)

Интерполяция функций в Wolfram|Alpha

Интерполяция - разновидность аппроксимации. Однако, в отличие от аппроксимации по методу наименьших квадратов, которая дает уравнение функции с графиком, проходящим на минимальном расстоянии от каждой из данных точек, задача интерполяции состоит в том, чтобы найти уравнение функции, график которой проходит точно через все заданные точки.

Существуют различные виды интерполяции. Wolfram|Alpha использует полиномиальную интерполяцию, и выполняет ее по запросу interpolating polynomial

interpolating polynomial{(1,1),(2.5,8),(3.5,2),(4.5,5),(6,-3),(7.5,4),(8,-3)}



Аппроксимация функций в Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha предоставляет возможность строить графики функций по точкам, полученным, например,  в результате эксперимента:

{15.2,8.9},{31.1,9.9},{38.6,10.3},{52.2,10.7},{75.4,11.4}



После этого можно ставить вопрос об аппроксимации функции.

Основные модели аппроксимации

Для аппроксимации функции заданной таблично в Wolfram|Alpha служит запрос fit, который использует для подгонки метод наименьших квадратов (МНК). Вот несколько наиболее важных примеров:

а) линейная аппроксимация (линейная модель)

linear fit {15.2,8.9},{31.1,9.9},{38.6,10.3},{52.2,10.7},{75.4,11.4}



Wolfram|Alpha: Стив Джобс

Эта новость потрясла миллионы людей во всем мире: умер Стив Джобс (Steve Jobs) (1955 - 2011).

Если вы ничего не знаете о нем, обязательно прослушайте знаменитое выступление Стива Джобса перед выпускниками университета Стэнфорд 2005 года. Если знаете - сейчас вам это просто необходимо.

Прочтите траурный пост под названием Steve Jobs: A Few Memories, который в память о нем разместил в своем блоге Стивен Вольфрам (Stephen Wolfram) - автор системы компьютерной математики Mathematica и вдохновитель Wolfram|Alpha.

История математики с Wolfram|Alpha

История математики - это история математиков, математических идей и научных школ. Wolfram|Alpha позволяет быстро получить в удобном систематизированном виде основные факты и даты из истории математики.

Когда я готовлюсь к очередной лекции по высшей математике, то обязательно обращаюсь к Wolfram|Alpha за сведениями относительно выдающихся математиков, имена которых носят математические факты и понятия, упоминаемые мною.

Например, когда я задаю Wolfram|Alpha вопрос об известном математике Коши, то получаю:

Augustin-Louis Cauchy



Математика с Wolfram|Alpha: шаг за шагом...

Wolfram|Alpha может выводить шаг за шагом последовательность решения многих математических задач, от решения квадратных уравнений до интегрирования комплексных функций.

Например, при попытке найти корни уравнения 3х^2 +5x-2=4x с Wolfram|Alpha вы получите такой результат:

Solve 3х^2 +5x-2=4x



Но, если вы захотите узнать, каким способом было получено решение, просто нажмите кнопку Show steps - Wolfram|Alpha покажет решение шаг за шагом...

Запись больших и малых чисел в Wolfram|Alpha

Ученые и инженеры каждый день имеют дело с очень большими и очень малыми величинами, например, такими, как тысячи, миллионы, миллиарды, а также тысячные, миллионные или миллиардные. Использовать такие числа удобнее всего в так называемой научной или инженерной нотации.

Wolfram|Alpha может представить любое число в научной нотации (scientific notation). Например, масса Земли составляет около 5973600000000000000000000000 г, но ​​в научной нотации это записывается, как 5,9736 × 10 ^ 27 г.

Для преобразования чисел к научной нотации Wolfram|Alpha использует запрос scientific notation. Вот как выглядит преобразование к научной нотации очень большого числа:

scientific notation 5973600000000000000000000000 g



Можно также ввести число, не указывая единицы измерения или даже просто ввести большое число: в любом случае Wolfram|Alpha преобразует его к научной нотации. Попробуйте:

scientific notation 5973600000000000000000000000

5973600000000000000000000000

Глядя на запись чисел в научной нотации, легко оценить их величину, не подсчитывая количества нулей.

Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений

Запрос solve, который был использован ранее, чтобы получить решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАР) в Wolfram|Alpha, на самом деле является универсальным запросом для решения уравнений и их систем в Wolfram|Alpha. Собственно для решения системы линейных алгебраических уравнений он применяется лишь тогда, когда эта система задана в естественном виде: после запроса solve все уравнения системы перечисляются через запятую. Этот способ хорош тем, что позволяет решать не только определенные, но также и неопределенные системы - в общем виде.

Для решения определенных систем линейных алгебраических уравнений применяется также матричный способ.

В Wolfram|Alpha для решения систем линейных алгебраических уравнений матричным способом служит специальный запрос LinearSolve, после которого указываем матрицу коэффициентов системы и вектор (матрицу-столбец) свободных членов.

Чтобы понять особенности синтаксиса запроса LinearSolve, изучите следующие примеры.

Для начала рассмотрим решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. После запроса LinearSolve вводим матрицу коэффициентов системы и нулевой вектор свободных членов. Получаем:

LinearSolve[{{a, b}, {c, d}}, {0, 0}]

Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.

Здесь Wolfram|Alpha дает тривиальное решение {0, 0}.

Wolfram|Alpha оживает с CDF



Две недели тому назад компания Wolfram Research опубликовала сообщение о создании онлайнового формата интерактивных документов CDF (Computable Document Format). Авторы пророчат CDF большое будущее: по их мнению внедрение и распространение CDF способно существенно ускорить научные исследования, образование, техническое развитие и прогресс в целом. В частности, использование CDF обеспечивает для авторов, преподавателей, исследователей и других специалистов возможность разработки интерактивных книг, учебных курсов, отчетов и приложений без специальных знаний программирования.

CDF - новый формат, позволяющий создавать документы, содержащие интерактивные математические объекты. Например, в качестве таковых могут быть графики функций, дифференциальные уравнения и т.п. Параметры таких объектов пользователь может изменять при помощи встроенных в документ элементов управления, одновременно наблюдая происходящие изменения (похоже на Java-апплеты GeoGebra).

Формат CDF используется для создания динамических интерактивных демонстраций в системе Matematica. Для просмотра таких CDF-демонстраций нужно иметь на своем компьютере систему Matematica либо скачать и установить бесплатный Wolfram CDF Player. Многочисленные примеры замечательных CDF-демонстраций (более 7000) имеются на сайте demonstrations.wolfram.com.

Начиная с 11 августа 2011 года онлайновый процессор знаний Wolfram|Alpha также становится интерактивным - начинает использовать CDF. Впрочем, этого и следовало ожидать, поскольку Wolfram|Alpha построен на движке Matematica.

Если ранее на ваш запрос Wolfram|Alpha выдавал весьма информативный, но все же статический результат, то теперь система не просто выдает статическую веб-страницу, а может выводить онлайновый CDF-документ, в котором имеются ползунки и другие интерактивные элементы для управления свойствами математических объектов, изменения параметров. С их помощью можно легко исследовать результат выдачи и получить дополнительную информацию о свойствах представленного объекта.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Надеюсь, вы уже установили расширение, тулбар или плагин Wolfram|Alpha для вашего браузера, как это было сказано в предыдущем посте. Сделайте это, чтобы вам было удобнее использовать Wolfram Alpha, и продолжим.

Для решения уравнений и их систем в Wolfram|Alpha используется запрос solve

Вот запрос, который означает: "Решить систему линейных уравнений":

solve x+y+z-u=1, 2x+y+z-2u=1, x+y+2z+u=1, x+y+2z+4u=2

Wolfram|Alpha по-русски. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Wolfram Alpha для рабочего стола

Так выглядит виджет быстрого доступа к Wolfram Alpha в Google Chrome
Если вы уже оценили возможности Wolfram Alpha, то наверняка захотите иметь этот инструмент всегда под рукой.

Wolfram Alpha предоставляет вам эту возможность. Достаточно установить в ваш браузер подходящее расширение, тулбар или плагин из числа тех, которые предлагает официальный сайт Wolfram Alpha на странице Toolbars & Add-ons. С ними вы в любой момент сможете обратиться к Wolfram Alpha.

Неважно, какой браузер вы используете. Коллекция плагинов и расширений Wolfram Alpha включает гаджет iGoogle и расширения для Firefox, Chrome, Safari, Internet Explorer и Opera.

Обратите внимание на специфические требования некоторых расширений. Например, некоторые из них требуют Windows Vista или Windows 7.

Ранг матрицы

Матрица - прямоугольная таблица чисел, которые называют элементами матрицы.

Если в матрице выделить любые несколько строк и такое же количество любых столбцов, то элементы матрицы, которые окажутся на пересечении этих строк и столбцов, образуют определитель, который называют минор матрицы.

Если составить и вычислить все возможные миноры матрицы, то некоторые из них могут оказаться равными нулю, а другие будут отличаться от нуля.

Количество строк и столбцов минора называют его порядком. Наибольший порядок минора отличного от нуля называют ранг матрицы. Ранг матрицы имеет теоретическое и практическое значение. Например, при решении систем линейных алгебраических уравнений.

В Wofram|Alpha ранг матрицы можно получить по запросу matrix rank

matrix rank {{a, b}, {c, d}}

Wolfram|Alpha по-русски. Ранг матрицы. Matrix rank.


Транспонированная матрица

Матрица, полученная из данной матрицы заменой каждой ее строки на столбец с тем же номером, называется транспонированной к данной.

В Wolfram|Alpha для получения транспонированной матрицы служит запрос transpose.

transpose {{a, b}, {c, d}}

Wolfram|Alpha по-русски. Транспонированная матрица.

Если вместо буквенных обозначений использовать числа, то Wolfram|Alpha, по запросу transpose кроме транспонированной матрицы выдает еще и другую сопутствующую информацию.

Обратная матрица

Обратная матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы. Матрица называется квадратной, если у неё одинаковое количество столбцов и строк. Квадратная матрица является вырожденной (matrix is singular), если ее определитель равен нулю.

Обычно, прежде чем приступать к вычислению обратной матрицы, следует проверить существует ли она вообще. Для этого нужно вычислить определитель данной матрицы, и если он не равен нулю, то обратная матрица для данной матрицы существует.

Однако, в Wolfram|Alpha в такой проверке нет необходимости. Wolfram|Alpha автоматически определяет является ли данная матрица вырожденной, и если она невырожденная, сразу вычисляет обратную матрицу. Если же данная матрица вырожденная, то Wolfram|Alpha выдает сообщение "matrix is singular", и вычисляет так называемую псевдообратную матрицу (о которой отдельный разговор, см. matrix 1‐inverse).

Для вычисления обратной матрицы в Wolfram|Alpha служит запрос inverse

Например, для квадратной матрицы 2х2 общего вида получаем

inverse {{a, b}, {c, d}}



Как видим, Wolfram|Alpha по запросу inverse вычисляет не только обратную матрицу, но также ее определитель (determinant), след (trace), характеристический многочлен (Characteristic polynomial), собственные значения (Eigenvalues) и собственные векторы (Eigenvectors).

"Сложные" графики в Wolfram|Alpha

Насколько сложные графики может строить Wolfram|Alpha? Сможет ли система справиться, например, с таким выражением?


При

по запросу

polar plot r=2((sin(theta)sqrt|cos(theta)|)/(sin(90theta)+1.5)-(sin(theta)+1)/.55)

Wolfram|Alpha выдает вот такой результат:


Однако, при n=100 этот график получить не удается. Возможно, причина не в самой системе, а в недостаточной скорости интернет-соединения?

Возведение матрицы в степень

В степень можно возводить только квадратные матрицы. Так, любую квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т. е. возвести в квадрат. При этом, естественно, получим матрицу того же размера (которую, в свою очередь, можно снова умножить на исходную матрицу - возвести в куб, и т.д.).

При помощи Wolfram|Alpha возведем матрицу в квадрат при помощи умножения на саму себя:

{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}.{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}


Тот же самый результат можно получить при помощи запроса на возведение матрицы в квадрат. Для этого служит команда matrixpower

Умножение матриц

Матрицу А можно умножать на матрицу В, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. При умножении матрицы нельзя менять местами.

Например, если перемножить эти две матрицы

то получим


В Wolfram|Alpha для умножения матриц используется знак "." - "точка". Запрос на умножение матриц в Wolfram|Alpha выглядит так:

AB={{a,b,c},{d,e,f}}.{{g,h},{i,j},{k,l}}


Сложение и вычитание матриц

Матрицы можно складывать и вычитать, если они имеют одинаковый размер.

Например, нам нужна сумма матриц

Записывается это так:
При сложении матриц их соответствующие элементы складываются:


Применение Wolrfam|Alpha

Чтобы найти сумму матриц, в Wolrfam|Alpha вводим такой запрос (обратите внимание, что элементы матриц вводятся построчно, через запятую, каждая строка заключается в скобки, вся матрица также берется в скобки):

{{a,b,c},{d,e,f}}+{{g,h,i},{j,k,l}}} или {{a,b,c},{d,e,f}} plus {{g,h,i},{j,k,l}}}


Вычитание матриц выполняется аналогично.

Вычисление определителей

Для вычисления определителей  в Wolfram|Alpha можно использовать две команды det и determinant : запросы det {{a, b}, {c, d}} и determinant {{a, b}, {c, d}} приводят к одинаковому результату (определитель 2-го порядка):


Или "в числах":

det {{1, 2}, {3, 4}}


ShareThis