При вычислении определенных интегралов
предполагается, что пределы интегрирования a и b конечны, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке интегрирования [a; b]. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то определенный интеграл называют несобственным интегралом.
Несобственные интегралы бывают двух типов.
предполагается, что пределы интегрирования a и b конечны, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке интегрирования [a; b]. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то определенный интеграл называют несобственным интегралом.
Несобственные интегралы бывают двух типов.
Во-первых, это несобственный интеграл 1-го рода (определенный интеграл, в котором один или оба предела интегрирования бесконечны). Его легко узнать по внешнему виду:
Во-вторых, это несобственный интеграл 2-го рода (определенный интеграл, в котором подынтегральная функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва на отрезке [a;b] ). Внешне он ничем не отличается от обычного определенного интеграла.
Несобственные интегралы могут быть сходящимися либо расходящимися.
Wolfram|Alpha легко справляется со всеми типами несобственных интегралов.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEil3DaytKJqRYiViMQZ0r6OSafeufL7CTcl-JREvJjmJ_HSHtga2tAdRk9rZRDhdcR2YfZOwhm3HmPxXbdM5p2ize7x04bKVC5b5JmU7TolYnLpWdnQHZVJLuVXeG7Ftw7ImLrhbIsawSU/s1600/integral-oo-oo-0.png)
Во-вторых, это несобственный интеграл 2-го рода (определенный интеграл, в котором подынтегральная функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва на отрезке [a;b] ). Внешне он ничем не отличается от обычного определенного интеграла.
Несобственные интегралы могут быть сходящимися либо расходящимися.
Wolfram|Alpha легко справляется со всеми типами несобственных интегралов.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEil3DaytKJqRYiViMQZ0r6OSafeufL7CTcl-JREvJjmJ_HSHtga2tAdRk9rZRDhdcR2YfZOwhm3HmPxXbdM5p2ize7x04bKVC5b5JmU7TolYnLpWdnQHZVJLuVXeG7Ftw7ImLrhbIsawSU/s1600/integral-oo-oo-0.png)
- интеграл сходится.
Кстати, можно графически убедиться, что подынтегральная функция в этом интеграле нe имеет разрывов:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdtoQUigxnXT_pbpg0ZjRGoN7L8BvpMpBK2wXHXQQyiHGDdak81NYrE0sEdeWdivwuSLG6NHKwYCgFmalm_N60UfAMIKzLS-UfvjNKcmr7QN5jprCJlfztJLHjIeZVnG25dfWrsxdEVkc/s1600/domain-graph.gif)
Знак бесконечности, который в Wolfram|Alpha вводится, как "infinity", можно также ввести, используя подряд две буквы "о" (в английской раскладке клавиатуры), вот так "оо":
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS7HqAX3K6ASIqNZnxaLcasaQex08wyAw4ZWyOsKabOG3Iv-f8Esa3tajxh3R736wWGt4rjypOIihjHylnUkiR9gVe5E9oGnMV9tLw6qgsy_iNkUTCedWRqqtj5KFedGCDYB4PNAo9pEk/s1600/integral-does-not-converge.png)
- интеграл расходится.
Еще пример на вычисление несобственного интеграла 1-го рода, от функции, первообразная которой не выражается в элементарных функциях ("неберущийся" интеграл):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVikBhjTC0mGiJlMsS5WWAcYUksoj9eBABoqFk7WfLXjHc4yG5LSC2xOCldIOabVNuOn9q9003WpNb7aRAiDVdivVbC1PDWiMO9U22y9iUsBiiK4YtYjvDZVZ1QXs-9w_3UtRufc_6iEc/s1600/integral-oo-oo.png)
- интеграл сходится.
Другие примеры:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmDUlKw_vAHKmXLthJxD8sq5OrUEbnc6EFX6V711up-LJtK6zSMBC8Arn1iJrBw06yvR0EMu4eziBra9wsHY_fdrxpjEaN0d6fJVAL9CIwHjtEZltWXYNcEZXtQrlGW8ymUcTJICT1GTI/s1600/integral-oo-oo-1.png)
Интересно было посмотреть график этой подынтегральной функции:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij0aPlhZCryUHurCBONCDfBzg__mNu8emRnUIArYPkVcgbo1XyIkCxGoCFHTi5zsGUlW22hfRS9cpU8HzhKJV32Niw69AlFRL21af8QAWXMuCJ19_qKZrr4C0ZWMHNO8yFkwe4LlRHMfQ/s1600/integral-oo-oo-1-plot.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVwBHrb4iCFxgSFUEhSd3LPrhk_S9IHf98DFzUAZ5RJKOknQyCUyOXlY1C7z_6CnApvaYyikpb5BrQgqmM84UHhkX3sm0QG_dxLFAFxysF743bN-aDc9RXOhhMjisP_fhN1SN01NQh950/s1600/integral-0-oo-0.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhibkqJlQ3_c42A72VOtHI5Gqu-z8lxygkbbk8P8u_0u-Kn_teZYDljAbhJac1Kzzfl-V60d_zubwdu4Ik5AcNkWxU9akhHvtMU4LGZp9AnOHOcGK_3GF_OfZo4XvyujNfUe4SPe7neBBw/s1600/integral-1-oo.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguApvMjBLg0-3wqTatuOeFlBJh-XA-LTLYcswG8JyMJmau-lS7Rp8izRdwTs8rK-Y8-Wglr-B3ZWdkAv5sSlNvmoVuwbhOgQOaAV99P0asJEr0Lq2jvdthA1L5HQVI-j3gy-nqXj2enLk/s1600/integral-1-oo-1.png)
Примеp несобственного интеграла 2-го рода (подынтегральная функция имеет разрыв в точке x=0):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdB4_12EGvFPV9biX4qSQR_0cl2uPW1kfUAofQDkos1ShwJc6eVi2NrSYNYZc38k59YHvCVZcx0AvkJYQV_pxj44cfs2UQ-_JCB0ESOVpNq7grjAJUxqKxt5c0fE8KB45SsDCMOR53v3E/s1600/integral-does-not-converge-2.png)
Кстати, можно графически убедиться, что подынтегральная функция в этом интеграле нe имеет разрывов:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdtoQUigxnXT_pbpg0ZjRGoN7L8BvpMpBK2wXHXQQyiHGDdak81NYrE0sEdeWdivwuSLG6NHKwYCgFmalm_N60UfAMIKzLS-UfvjNKcmr7QN5jprCJlfztJLHjIeZVnG25dfWrsxdEVkc/s1600/domain-graph.gif)
Знак бесконечности, который в Wolfram|Alpha вводится, как "infinity", можно также ввести, используя подряд две буквы "о" (в английской раскладке клавиатуры), вот так "оо":
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS7HqAX3K6ASIqNZnxaLcasaQex08wyAw4ZWyOsKabOG3Iv-f8Esa3tajxh3R736wWGt4rjypOIihjHylnUkiR9gVe5E9oGnMV9tLw6qgsy_iNkUTCedWRqqtj5KFedGCDYB4PNAo9pEk/s1600/integral-does-not-converge.png)
- интеграл расходится.
Еще пример на вычисление несобственного интеграла 1-го рода, от функции, первообразная которой не выражается в элементарных функциях ("неберущийся" интеграл):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVikBhjTC0mGiJlMsS5WWAcYUksoj9eBABoqFk7WfLXjHc4yG5LSC2xOCldIOabVNuOn9q9003WpNb7aRAiDVdivVbC1PDWiMO9U22y9iUsBiiK4YtYjvDZVZ1QXs-9w_3UtRufc_6iEc/s1600/integral-oo-oo.png)
- интеграл сходится.
Другие примеры:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmDUlKw_vAHKmXLthJxD8sq5OrUEbnc6EFX6V711up-LJtK6zSMBC8Arn1iJrBw06yvR0EMu4eziBra9wsHY_fdrxpjEaN0d6fJVAL9CIwHjtEZltWXYNcEZXtQrlGW8ymUcTJICT1GTI/s1600/integral-oo-oo-1.png)
Интересно было посмотреть график этой подынтегральной функции:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEij0aPlhZCryUHurCBONCDfBzg__mNu8emRnUIArYPkVcgbo1XyIkCxGoCFHTi5zsGUlW22hfRS9cpU8HzhKJV32Niw69AlFRL21af8QAWXMuCJ19_qKZrr4C0ZWMHNO8yFkwe4LlRHMfQ/s1600/integral-oo-oo-1-plot.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVwBHrb4iCFxgSFUEhSd3LPrhk_S9IHf98DFzUAZ5RJKOknQyCUyOXlY1C7z_6CnApvaYyikpb5BrQgqmM84UHhkX3sm0QG_dxLFAFxysF743bN-aDc9RXOhhMjisP_fhN1SN01NQh950/s1600/integral-0-oo-0.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhibkqJlQ3_c42A72VOtHI5Gqu-z8lxygkbbk8P8u_0u-Kn_teZYDljAbhJac1Kzzfl-V60d_zubwdu4Ik5AcNkWxU9akhHvtMU4LGZp9AnOHOcGK_3GF_OfZo4XvyujNfUe4SPe7neBBw/s1600/integral-1-oo.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguApvMjBLg0-3wqTatuOeFlBJh-XA-LTLYcswG8JyMJmau-lS7Rp8izRdwTs8rK-Y8-Wglr-B3ZWdkAv5sSlNvmoVuwbhOgQOaAV99P0asJEr0Lq2jvdthA1L5HQVI-j3gy-nqXj2enLk/s1600/integral-1-oo-1.png)
Примеp несобственного интеграла 2-го рода (подынтегральная функция имеет разрыв в точке x=0):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdB4_12EGvFPV9biX4qSQR_0cl2uPW1kfUAofQDkos1ShwJc6eVi2NrSYNYZc38k59YHvCVZcx0AvkJYQV_pxj44cfs2UQ-_JCB0ESOVpNq7grjAJUxqKxt5c0fE8KB45SsDCMOR53v3E/s1600/integral-does-not-converge-2.png)
- интеграл расходится.