Как найти аналитическую функцию комплексной переменной по ее действительной или мнимой части

Как найти аналитическую функцию комплексной переменной по ее действительной или мнимой части?

Существует несколько способов решения этой задачи. Мы воспользуемся одним из них, наиболее простым, на мой взгляд. И рассмотрим его на примере, который давно описан в учебниках (к сожалению, сейчас уже не вспомню в каком именно). Мы с вами решим этот пример с помощью Вольфрам Альфа.

Восстановим аналитическую функцию f(z)=u(x,y) + iv(x,y) по ее действительной части u(x,y)=e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x и значению f(0)=0.

Действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного являются гармоническими функциями в R^2, и следовательно, удовлетворяют уравнению Лапласа:


Используя этот факт, для начала с помощью Вольфрам Альфа проверим, является ли данная функция u(x,y) гармонической, т. е. может ли она вообще являться действительной частью аналитической функции комплексного переменного. Вариантов, как сформулировать соответствующий запрос есть несколько, но я использую такой:

d2/dx2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x) + d2/dy2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x)=0


Можно также использовать запросы d2/dx2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x) + d2/dy2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x) или laplace (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x). Они также позволяют проверить, является ли данная функция гармонической, и дают тот же ответ, хоть и несколько в иной форме.

Выполнив эту проверку, на следующем шаге нужно найти производную искомой функции f(z), которая, согласно теории,  дается одним из выражений:



Первое из этих выражений используется, когда задана действительная часть искомой функции f(z), а второе - если известна ее мнимая часть.

В нашем случае, выражение для производной функции f(z) получим из первого выражения, а именно:



Выше на картинке вы видите найденную производную функции f(z). Однако, по непонятной причине Вольфрам Альфа отказывается выполнять замену x=z, указанную в запросе. Интересно, что если вместо "z" использовать другую букву, например "a", то замена выполняется без проблем.

Чтобы привести полученное выражение к стандартному виду, выполним еще одно вспомогательное действие - заменим в полученном выражении  "x" на "z". для этого: сначала кликните правой кнопкой на выражении обведенном красной рамочкой на рисунке выше и откройте ссылку в новой вкладке браузера (я всегда так делаю, чтобы не вводить выражение вручную), а затем в новой вкладке выполните замену "x" на "z" с помощью запроса:



Таким образом, мы нашли производную искомой функции f(z).

Теперь, чтобы найти саму функцию, проинтегрируем полученное выражение (полезный совет: откройте его в новой вкладке браузера, как было сказано выше, чтобы не вводить вручную):



Итак, мы нашли функцию f(z) в общем виде. Осталось определить значение постоянной интегрирования.

Снова откроем полученное выражение в новой вкладке и, чтобы найти постоянную интегрирования, используя заданное условие f(0)=0 выполним следующий запрос (приравняем найденную функцию к нулю, а также подставим значение 0 в переменную z):



Таким образом, окончательный ответ найден. Вот так выглядит та функция, которую мы искали (и нашли!) с помощью Вольфрам Альфа:


Удачи!

ShareThis