Ряды Фурье представляются в тригонометрической и экспоненциальной (комплексной) форме:
![Ряды Фурье в тригонометрической и экспоненциальной (комплексной) форме.](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6gp3ZAgsMdwirdfoNvK-fLId_fuq20Qp9dUfu7GS_4uwtunci5-cFHmiDnx6B7ydjYAzLVDq2WHNt0UmEXyhwFXpDxOCaMtfNa3lW3LFuXw5ff065zRD_0kDj1w28aVg486IUHlv1it4/s320/fouriercoefficeint-0.png)
В первом варианте в качестве базиса разложения используется система синусов и косинусов. Но при работе с рядами Фурье вместо них бывает удобнее использовать экспоненты мнимого аргумента. Видимо поэтому, Вольфрам Альфа отдает предпочтение второму варианту.
Самый простой способ разложить функцию в ряд Фурье - отправить в Вольфрам Альфа запрос вида Fourier series [функция, аргумент, количество членов ряда]. Например,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh6BZgZu-aQL0Xv0VrVg-UsCpBgxp5ZR8BEvJW78a_FgemFLB1cbigtLz5Ciu8LVyn24QJ2JYaJFW8X4bhScdI4L01teOVsXxQuRqhw2xYbxFg9kTrZgYLxKf8uIwhLXTyEh7wb3aVQZk/s1600/fouriercoefficeint-4.png)
В полученном результате, как и требуется, представлены члены разложения до 5-го номера включительно; коэффициенты при сопряженных степенях экспоненты являются комплексно-сопряженными числами.
Одновременно Вольфрам Альфа дает графическое представление аппроксимации заданной функции рядом Фурье (здесь центральная часть графика аппроксимирует заданную параболу):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMzdAh6x-Gp0ygtETwTsuaJcFEiONyStximgDB7Ce6wDVyKpaHblo22v91tuGBYY91TXW1jLMyoZp6fGsqEWLNImHch05gbkWZUMxATnSc4c-Hh4QteJDxiFwYqSAW5OnXPnLEtc3bfSI/s1600/fouriercoefficeint-5.png)
Еще более отчетливо особенности Фурье-аппроксимации можно видеть в результатах следующего запроса (где ряд Фурье аппроксимирует прямую):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgE6AnrNhAkXKBOaSV-R6yjguz9rhIH5BoZxGmJ9LCFWAZ1_2wUIY3u6D5n9Ay136wrNnhp90BswOvc-nrYRegDzVxB2okk_Qy_bhxbbC3DWTK8QaDFer4aqs4ZfU_rfZsZOtjDfU55cmU/s1600/fouriercoefficeint-6.png)
Представление заданной функции рядом Фурье в тригонометрической форме выводится в самой нижней части выдачи (здесь - для второго примера):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS9lxsCl6zdxzFYwRGfr7H8tZcPCPp1NdGgovfOs_FDiz7gjUIonDz0NUcfadSvb9MEsRWuWwC2Jw4VwWOMRDbcq8yNo3tU8eoCz3P8FrX_exKCELZdA48u3dagowY6Qj5mjXET-LSqh0/s1600/fouriercoefficeint-7.png)
Кстати, несмотря на то, что выше в выдаче системы было: "Wolfram|Alpha doesn't understand your query. Showing instead result for query: Fourier", - что означает "Система не понимает ваш запрос. Показан результат, соответствующий запросу: Fourier", не ведитесь на это ;) По запросу "Fourier", который предлагает использовать система, будут выведены либо биографические сведения об ученом-математике Jean-Baptiste-Joseph Fourier (mathematician), либо преобразование Фурье данной функции Fourier[t^2+t]; зависит от того, поставите ли вы между словом "Fourier" и скобкой пробел или нет.
Если в запросе Fourier series не указывать явно количество членов разложения n, то система Вольфрам Альфа по умолчанию выводит четыре варианта для значений n от 0 до 3, и только для комплексной формы ряда Фурье:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxSLLB_vUfBH_l-76uXC4D9bHH7WfEoP_y-6qgsmwxoxSwYMsO4Fc_mZQnknQQsXHN-geF4gyCNudOew6WHw7ds8hwaS4tQAjRZcbHnyPpkIU9yCXasKjK2vAzNn0wjEZoSYc8Ghlxhzw/s1600/fouriercoefficeint-8.png)
Дополнительные варианты разложения для n больше 3 можно получить тут же с помощью кнопки "More". Но это относится только к графическому представлению результатов:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcm9dWJuA1xYPXnOsiGaKMNA8PGi12YDh5_OZl2gdm82aoDYY0l9gCe1DWiy8tmpAC326251sb1Lnl8lp8BwRUaXsDelcKaq4_56bTBy2POgVDaXOBtONxGd2ZnYSt16TVw8Ot8uuDmQw/s1600/fouriercoefficeint-9.png)
Таким образом, чтобы получить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье, нужно в запросе Fourier series явно указывать количество членов разложения.
Что делать, если стоит задача найти не разложение в ряд Фурье, а коэффициенты ряда Фурье?
Прежде всего, можно использовать запрос FourierCoefficient[выражение, аргумент, n], по которому система Вольфрам Альфа выводит n-й коэффициент разложения выражения в комплексный ряд Фурье.
Например, 5-й коэффициент разложения выражения (t^2+t) в ряд Фурье можно получить так:
FourierCoefficient[t^2+t, t, 5]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSHWI50FagkFP35qWAieR1DIkvsBOCT3GaoBz41WproMuBU13gnEUjtNv_J0aoct-Kwnzu9wFIQl1D2G6xBThSDXrrSj8ImhyphenhyphenKRzqwgyHXAQSR0OmKgue2R7QdfCci32p2FFCixAPXgbg/s1600/fouriercoefficeint-1.png)
Если же при не указывать явно n, то данный запрос выведет общее выражение для n-го коэффициента ряда Фурье данного выражения:
FourierCoefficient[t^2+t, t, n]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDCYndcXGsn6fAABrfXU4teLlClEL-na0EtHjMDUYVHQgbDWp9u9RsP2yvh3I5B7gXNWv2dky4IrO-r0I8BkhBw3UAjBYwZ3hi-LxHYJ70p-xFYHXp56pkQ0bV4mLaezqzMIcUv-C2Yos/s1600/fouriercoefficeint-2.png)
Кроме этого, Вольфрам Альфа тут же выводит также таблицу коэффициентов комплексного ряда Фурье (до 15-го члена включительно, если нажать "More"):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidQV4d5vnfIneus67U0WQ_9WSFOV9_qibMTyAEJFQMGibmhuXSFp3JqL_vdxJMD7I-v3AviQd-g0o_-arOx8nuHUlMwK8QREb_RP-YxlVaegalAzGBhXJkbheEQHOITKU7s1Y5tFe_tcs/s1600/fouriercoefficeint-10.png)
В этом кратком обзоре я не упомянул, как разложить функцию в ряд Фурье по синусам и косинусам или как использовать калькулятор рядов Фурье системы Вольфрам Альфа, а также ничего не сказал о двумерных рядах Фурье. Все это - темы моих будущих постов. Следите за блогом.
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.