Как разложить функцию в ряд Фурье

Разложение функций в ряды Фурье используется достаточно часто, поскольку в таком виде их удобно дифференцировать, интегрировать, использовать сдвиг функции по аргументу, а также свёртку функций. Несмотря на то, что процедура разложения функции в ряд Фурье даже в самом простом случае может быть достаточно трудоёмкой, система Вольфрам Альфа, как правило, легко справляется с этой задачей.

Ряды Фурье представляются в тригонометрической и экспоненциальной (комплексной) форме:



В первом варианте в качестве базиса разложения используется система синусов и косинусов. Но при работе с рядами Фурье вместо них бывает удобнее использовать экспоненты мнимого аргумента. Видимо поэтому, Вольфрам Альфа отдает предпочтение второму варианту.

Самый простой способ разложить функцию в ряд Фурье - отправить в Вольфрам Альфа запрос вида Fourier series [функция, аргумент, количество членов ряда]. Например, 

Fourier series [t^2+t, t, 5]

В полученном результате, как и требуется, представлены члены разложения до 5-го номера включительно; коэффициенты при сопряженных степенях экспоненты являются комплексно-сопряженными числами.

Одновременно Вольфрам Альфа дает графическое представление аппроксимации заданной функции рядом Фурье (здесь центральная часть графика аппроксимирует заданную параболу):

Еще более отчетливо особенности Фурье-аппроксимации можно видеть в результатах следующего запроса (где ряд Фурье аппроксимирует прямую):

Fourier series [t, t, 5]

Представление заданной функции рядом Фурье в тригонометрической форме выводится  в самой нижней части выдачи (здесь - для второго примера):

Кстати, несмотря на то, что выше в выдаче системы было: "Wolfram|Alpha doesn't understand your query. Showing instead result for query: Fourier",  - что означает "Система не понимает ваш запрос. Показан результат, соответствующий запросу: Fourier", не ведитесь на это ;) По запросу  "Fourier", который предлагает использовать система, будут выведены либо биографические сведения об ученом-математике Jean-Baptiste-Joseph Fourier (mathematician), либо преобразование Фурье данной функции Fourier[t^2+t]; зависит от того, поставите ли вы между словом "Fourier" и скобкой пробел или нет.

Если в запросе Fourier series  не указывать явно количество членов разложения n, то система Вольфрам Альфа по умолчанию выводит четыре варианта для значений n от 0 до 3, и только для комплексной формы ряда Фурье:

Fourier series [t, t, n]

Дополнительные варианты разложения для n больше 3 можно получить тут же с помощью кнопки "More". Но это относится только к графическому представлению результатов:

Таким образом, чтобы получить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье, нужно в запросе Fourier series явно указывать количество членов разложения.

Что делать, если стоит задача найти не разложение в ряд Фурье, а коэффициенты ряда Фурье?

Прежде всего, можно использовать запрос FourierCoefficient[выражение, аргумент, n], по которому система Вольфрам Альфа выводит n-й коэффициент разложения выражения в комплексный ряд Фурье.

Например, 5-й коэффициент разложения выражения (t^2+t) в ряд Фурье можно получить так:

FourierCoefficient[t^2+t, t, 5]


Если же при не указывать явно n, то данный запрос выведет общее выражение для n-го коэффициента ряда Фурье данного выражения:

FourierCoefficient[t^2+t, t, n]



Кроме этого, Вольфрам Альфа тут же выводит также таблицу коэффициентов комплексного ряда Фурье (до 15-го члена включительно, если нажать "More"):



В этом кратком обзоре я не упомянул, как разложить функцию в ряд Фурье по синусам и косинусам или как использовать калькулятор рядов Фурье системы Вольфрам Альфа, а также ничего не сказал о двумерных рядах Фурье. Все это - темы моих будущих постов. Следите за блогом.

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.