Из предыдущего поста должно быть ясно, как находить неопределенные интегралы в Wolfram|Alpha. Теперь наступил черед узнать, как Wolfram|Alpha вычисляет определенные интегралы.
Так же, как и для нахождения неопределенных интегралов, для вычисления определенных интегралов Wolfram|Alpha использует запрос integrate, в котором, после подинтегральной функции, нужно указать пределы интегрирования.
Например,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFfilo9916PYJnF7q1sxS9_UewTD1r_JRMjJEno9lLNyhv6IPKQX8lGuU1dZDefcb0J2ia1EElOpcMKFvNGt8Is5AmyUYZKh7ZCJRVcUEohrmGq4mbLunJsWgFo3SCdmCg_WJl0eLqF2c/s1600/definite-integral-0.png)
Как видим, Wolfram|Alpha не только вычисляет определенный интеграл, но и выводит его геометрическую интерпретацию.
Обратите внимание, что при вычислении интеграла в Wolfram|Alpha не обязательно указывать дифференциал переменной интегрирования (dx). Как это было сделано в первом примере. Wolfram|Alpha и без этого прекрасно понимает, что имеется в виду, когда получает запрос integrate. Однако, при вычислении интегралов "вручную", отсутствие dx в подинтегральном выражении считается грубой ошибкой. Поэтому, правильнее будет все же использовать dx. Особенно, если подинтегральная функция содержит другие буквы, кроме "x".
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBHotlkFlxMaxb43zuc_tK3G-ISUh39xKWVEDHkHGsvp_6pCFqa8VYSL9hPtZ33DqaV0LJxbyahpxl6rhhM19PMek-Crrzd2vJVD4BaKICF6H4eDf4-NrGOS71rnInjcJMfrUMcdBOCG4/s1600/definite-integral-1.png)
Но все же для Wolfram|Alpha указание dx в подинтегральном выражении не обязательно, если только вы явно указываете для какой переменной устанавливаются пределы интегрирования. Сравните, например, два таких интеграла:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFnO-3TXmjqzPlIZSd38QAPxN-NTsj2HhSNxthh6VhCN-9IHDYQRvrAqaMF3PCnS8Jj-6pcEh6DkuSJXv9EDzVD0AuNoyeQwjHhY_XpFIfSaXKGm2wM6AumM10ME3ZI5oljCPO3wbg9f0/s1600/definite-integral-2.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie1ITzjyptDAUnpYyQXqsnCAaCxi7rliedNK1vnjIVwHDvHw38z7ymaQ7XKJIeCWcKjiM7glDXqpTFXsnLBgtnMzE3_AUh5mxlf_B_D9nzOb-dJESJ3tEpxc0dCaff8VBdWHB9xh00LYE/s1600/definite-integral-3.png)
Wolfram|Alpha легко вычисляет определенные интегралы, которые интегрируются "по частям":
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi05OMlFA2pk9bu-TDe_mAh96L7IfK_w6bIKERWMXQx8ivSunlNG-NtZLyf_Jm8L8uY9Xot8s47uDtaT3JuXqcM-1zzdyWWk2Ju1Y34og9GCttEOrSCgwck8XVdYv7yHLeb0iYOf-WF5MY/s1600/definite-integral-5.png)
Не составляют проблемы и более сложные интегралы от тригонометрических функций:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9ncDu7PKEv6G30OWFnpPMEpP706rtKislkJqtSjdF_eGzGqIEEb5Ia1LlzVZDDz9Y25D6hylb32_YLhW_TcJ4WiTdi_xxqapc38wgH4iR4QWeJHVkw6kgGv_CaBcxoE2gUtjiFEmXuWg/s1600/definite-integral-6.png)
В некоторых случаях (по-видимому, достаточно простых) Wolfram|Alpha находит определенные интегралы с параметром:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsbJXfS6BbNNIGK_uVIK5E4op4S0kwh2d4wzU8MjdUd5GyNiSGzpF7e20GP-s4ahOWG4PVJWwCEpWVEs-bkl0kXFz6_htb8taK1yaVw0BvtlFOpnNymlpv5Zb-yXkg6SSJ_4Yeubogjhg/s1600/definite-integral-4.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhehvZ8lm11iqHNN5ymKpbMBSY-VdO1MyTOFCF_cL6RIHdm_Ewu8HHZzMIpcuU5vh4vXM4TMD4wrlvNz8mnvcshQwiSx8p2yNfRidL3qYkNJxaJWz57OIT3pG_iOoJdlxfAfCYrffNky0M/s1600/definite-integral-7.png)
Кроме того, Wolfram|Alpha находит даже такие определенные интегралы, которые не выражаются в элементарных функциях. Например, такие, как:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPKyLWSLavizldUDA10WAZDxW4R2kqgbkwiO1ViVFF1dkBLmwIeWpMgw0rQYJgkIzQhut-65NnpHayA6aTD9-ASLIwJWC6sEiyzCghC725PwK0QCh0z0d2KJC7fIeukIm-7RJztfYY62A/s1600/definite-integral-8.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioryR7YgqwPLgqTGYXYfhFmyTyZ16nK-t_LkztMkWW_XAI4URMdD7grAVhrADA5dN-V9q2MWykzYpKINjVMaj6Dp0YDz48Q2cM0PC7TGEbdb6eBtUN6Ws4Jgxr4wzaK4s6os8QXtVC0jo/s1600/definite-integral-9.png)
Так же, как и для нахождения неопределенных интегралов, для вычисления определенных интегралов Wolfram|Alpha использует запрос integrate, в котором, после подинтегральной функции, нужно указать пределы интегрирования.
Например,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFfilo9916PYJnF7q1sxS9_UewTD1r_JRMjJEno9lLNyhv6IPKQX8lGuU1dZDefcb0J2ia1EElOpcMKFvNGt8Is5AmyUYZKh7ZCJRVcUEohrmGq4mbLunJsWgFo3SCdmCg_WJl0eLqF2c/s1600/definite-integral-0.png)
Как видим, Wolfram|Alpha не только вычисляет определенный интеграл, но и выводит его геометрическую интерпретацию.
Обратите внимание, что при вычислении интеграла в Wolfram|Alpha не обязательно указывать дифференциал переменной интегрирования (dx). Как это было сделано в первом примере. Wolfram|Alpha и без этого прекрасно понимает, что имеется в виду, когда получает запрос integrate. Однако, при вычислении интегралов "вручную", отсутствие dx в подинтегральном выражении считается грубой ошибкой. Поэтому, правильнее будет все же использовать dx. Особенно, если подинтегральная функция содержит другие буквы, кроме "x".
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBHotlkFlxMaxb43zuc_tK3G-ISUh39xKWVEDHkHGsvp_6pCFqa8VYSL9hPtZ33DqaV0LJxbyahpxl6rhhM19PMek-Crrzd2vJVD4BaKICF6H4eDf4-NrGOS71rnInjcJMfrUMcdBOCG4/s1600/definite-integral-1.png)
Но все же для Wolfram|Alpha указание dx в подинтегральном выражении не обязательно, если только вы явно указываете для какой переменной устанавливаются пределы интегрирования. Сравните, например, два таких интеграла:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFnO-3TXmjqzPlIZSd38QAPxN-NTsj2HhSNxthh6VhCN-9IHDYQRvrAqaMF3PCnS8Jj-6pcEh6DkuSJXv9EDzVD0AuNoyeQwjHhY_XpFIfSaXKGm2wM6AumM10ME3ZI5oljCPO3wbg9f0/s1600/definite-integral-2.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie1ITzjyptDAUnpYyQXqsnCAaCxi7rliedNK1vnjIVwHDvHw38z7ymaQ7XKJIeCWcKjiM7glDXqpTFXsnLBgtnMzE3_AUh5mxlf_B_D9nzOb-dJESJ3tEpxc0dCaff8VBdWHB9xh00LYE/s1600/definite-integral-3.png)
Wolfram|Alpha легко вычисляет определенные интегралы, которые интегрируются "по частям":
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi05OMlFA2pk9bu-TDe_mAh96L7IfK_w6bIKERWMXQx8ivSunlNG-NtZLyf_Jm8L8uY9Xot8s47uDtaT3JuXqcM-1zzdyWWk2Ju1Y34og9GCttEOrSCgwck8XVdYv7yHLeb0iYOf-WF5MY/s1600/definite-integral-5.png)
Не составляют проблемы и более сложные интегралы от тригонометрических функций:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9ncDu7PKEv6G30OWFnpPMEpP706rtKislkJqtSjdF_eGzGqIEEb5Ia1LlzVZDDz9Y25D6hylb32_YLhW_TcJ4WiTdi_xxqapc38wgH4iR4QWeJHVkw6kgGv_CaBcxoE2gUtjiFEmXuWg/s1600/definite-integral-6.png)
В некоторых случаях (по-видимому, достаточно простых) Wolfram|Alpha находит определенные интегралы с параметром:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsbJXfS6BbNNIGK_uVIK5E4op4S0kwh2d4wzU8MjdUd5GyNiSGzpF7e20GP-s4ahOWG4PVJWwCEpWVEs-bkl0kXFz6_htb8taK1yaVw0BvtlFOpnNymlpv5Zb-yXkg6SSJ_4Yeubogjhg/s1600/definite-integral-4.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhehvZ8lm11iqHNN5ymKpbMBSY-VdO1MyTOFCF_cL6RIHdm_Ewu8HHZzMIpcuU5vh4vXM4TMD4wrlvNz8mnvcshQwiSx8p2yNfRidL3qYkNJxaJWz57OIT3pG_iOoJdlxfAfCYrffNky0M/s1600/definite-integral-7.png)
Кроме того, Wolfram|Alpha находит даже такие определенные интегралы, которые не выражаются в элементарных функциях. Например, такие, как:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPKyLWSLavizldUDA10WAZDxW4R2kqgbkwiO1ViVFF1dkBLmwIeWpMgw0rQYJgkIzQhut-65NnpHayA6aTD9-ASLIwJWC6sEiyzCghC725PwK0QCh0z0d2KJC7fIeukIm-7RJztfYY62A/s1600/definite-integral-8.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioryR7YgqwPLgqTGYXYfhFmyTyZ16nK-t_LkztMkWW_XAI4URMdD7grAVhrADA5dN-V9q2MWykzYpKINjVMaj6Dp0YDz48Q2cM0PC7TGEbdb6eBtUN6Ws4Jgxr4wzaK4s6os8QXtVC0jo/s1600/definite-integral-9.png)