Изоляция корней и графическое решение уравнений в Wolfram|Alpha

Для большинства алгебраических и трансцендентных уравнений, возникающих на практике, получить аналитическое решение, как правило, бывает довольно трудно или же вообще невозможно. Это зависит от вида левой части в уравнении .

В таких случаях на помощь приходят приближенные методы численного решения уравнений такие, как метод половинного деления, метод хорд (метод секущих), метод касательных (метод Ньютона) и их комбинации. Приближенные методы позволяют, следуя определенной расчетной процедуре, находить действительные корни алгебраических и трансцендентных уравнений с любой наперед заданной точностью.

Первым шагом в применении названных приближенных методов является процедура изоляции действительных корней уравнения, которую можно осуществить как аналитически, так и графически. Обычно, второй способ является более быстрым и наглядным: ведь достаточно построить график функции , чтобы увидеть точки его пересечения с осью абсцисс - это и есть действительные корни уравнения.

Wolfram|Alpha не только позволяет предельно упростить процедуру графической изоляции действительных корней алгебраических и трансцендентных уравнений, но также находит эти корни.

Посмотрим это на примере графического решения уравнения



Достаточно просто ввести это уравнение в поле запроса системы Wolfram|Alpha, чтобы незамедлительно получить такой вот результат:

x^4-x^3-6x^2+4x+1=0



Как видим, Wolfram|Alpha выводит график левой части уравнения, обозначая на нем корни уравнения на оси абсцисс (Root plot), дает приближенные значения этих корней (solutions) и отмечает их на числовой оси (Number line). Кнопка "More digits" позволяет получить корни уравнения с большей точностью.

Рассмотрим теперь более сложный пример.

sin(x)-ln(x)=0



Если представить это же уравнение в альтернативной форме, то результат будет следующим (более наглядным):


На рисунке обозначена точка пересечения графиков левой и правой части уравнения. Абсцисса этой точки - это и есть корень данного уравнения.

По умолчанию, интервал значений переменной x, для которого строится график, выбирается автоматически - на усмотрение Wolfram|Alpha. Поэтому, исходя из характера графиков левой и правой части, можно предположить, что они имеют не одну, а несколько точек пересечения, то есть возможно, что уравнение имеет не один, а несколько действительных корней. Чтобы проверить это предположение, нужно явно указать интервал значений x, для которого следует построить график уравнения:

sin(x)=ln(x) from x=0 to 3pi



Как видим, предположение не подтвердилось: данное уравнение и в самом деле имеет лишь один действительный корень.

Однако, в следующем примере дело обстоит иначе.

5sin(x)-ln(x)=0


Здесь, по умолчанию, Wolfram|Alpha выдает 9 действительных корней уравнения. Хотя, судя по характеру графика левой части уравнения, их должно быть намного больше. Это также видно, если представить данное уравнение в альтернативной форме:


Поскольку логарифмическая функция в правой части уравнения монотонно возрастает, амплитуда синусоиды в левой части равна 5, то очевидно, что наибольший корень данного уравнения является также решением следующего уравнения:

ln(x)=5



Иначе говоря, все действительные корни данного уравнения принадлежат интервалу, который является решением следующего неравенства:

solve ln(x)<=5



5sin(x)=ln(x) from x=0 to 150



Таким образом, поскольку Wolfram|Alpha выдает численное решение только для 9 действительных корней уравнения, графическое решение уравнения приходится уточнять для любого промежутка, лежащего внутри указанного интервала существования корней. Например, графически можно установить, что на интервале от 125 до 130 уравнение имеет всего два корня:

5sin(x)=ln(x) from x=125 to 130



К сожалению, Wolfram|Alpha рассчитывает здесь приближенные значения наименьших лишь девяти действительных корней (ближайших к нулю), и не позволяет рассчитать те корни, которые находятся в интервале от 125 до 130.

ShareThis