Преобразование координат и деформация кривых в Вольфрам Альфа

Статья содержит примеры, которые иллюстрируют утверждение о том, что геометрические деформации эквивалентны преобразованию координат.


Элементарные геометрические преобразования с помощью Вольфрам Альфа были рассмотрены ранее в статье Отражение, поворот и сдвиг точек в Wolfram|Alpha. Персонаж, использованный в примерах далее (математическая кривая - изображение Санта-Клауса), встречается также в статьях Санта Клаус и Вольфрам Альфа,  С Новым Годом! Как создать оригинальное поздравление с помощью Вольфрам Альфа, а также в ряде постов, посвященных теме Графики функций.

Начнем с того, что посмотрим на оригинальное изображение (при этом для удобства выключим отображение осей координат):

Santa-like curve image axes false


Важно учесть, что это изображение Санты, собственно, есть параметрическая кривая x(t), y(t). Причем, параметр t принимает значения от 0 до 100*Pi.

Теперь посмотрим, как изменится форма этой кривой, если применить к параметру t квадратичное преобразование, то есть заменить в параметрическом уравнении кривой параметр t на t^2. Этот пример иллюстрирует деформацию параметрической кривой при квадратичном преобразовании параметра: 

squared image of Santa-like curve


Кажется, здесь Санта немного похудел, а его мешок, наоборот, увеличился. По-моему, выглядит это комично.


Как вычислить неберущийся интеграл с помощью Вольфрам Альфа

Эта статья о том, как вычислить неберущийся интеграл онлайн, содержит примеры вычисления неберущихся интегралов с помощью Вольфрам Альфа.

Здесь продолжена тема, которая рассматривалась в статьях Определенный интеграл в Wolfram|Alpha, Как вычислить приближенное значение определенного интеграла в Wolfram|Alpha, используя численные методы решения интеграловЧисленное интегрирование в Wolfram|Alpha, и рассмотрены основные способы вычисления неберущихся интегралов в системе Вольфрам Альфа.

Вычислить интеграл - так говорят об определенном интеграле, поскольку определенный интеграл, по его определению, есть число, которое "вычисляется", в отличие от неопределенного интеграла, который есть переменная величина, и поэтому "находится".

Что же такое "неберущийся" интеграл? Так называют неопределенные интегралы, которые не выражаются через элементарные функции. То есть, это интегралы, в которых первообразную подынтегральной функции нельзя найти легко и быстро. Найти-то ее в принципе можно, но лень. Или же не хватает времени, знаний... Тогда и говорят, что первообразная не существует, и интеграл неберущийся.

Определенные интегралы также называют неберущимися, когда определенный интеграл существует, как предел интегральной суммы, но подынтегральная функция не имеет первообразной, либо когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.

Таким образом, различают, когда определенный интеграл, как предел интегральной суммы, в принципе существует, но "не берется", и когда определенный интеграл не существует в принципе. Примеры можно также найти в статье Несобственные интегралы в Wolfram|Alpha.

Вот простой пример неберущегося интеграла:

integrate e^(x^2), x=0..1

Как вычислить интеграл в Вольфрам Альфа

Как видим, этот интеграл существует, но выражается через неэлементарную функцию erfi(x), которая является мнимой частью функции ошибок erf(ix).

Halloween с Wolfram|Alpha - Светильник Джека и другие ужасы математики

Cовременный праздник Хэллоуин традиционно отмечается в англоязычных странах 31 октября, в канун Дня всех святых. Он восходит к традициям древних кельтов Ирландии и Шотландии, проживавших на территории современных Великобритании и Северной Ирландии, и официальным выходным днём не является.

Главный символ Хэллоуина - Светильник Джека (англ. Jack-o'-lantern). Его знают все. Это - фонарь из тыквы, на которой вырезано зловещее усмехающееся лицо. Для пущего эффекта внутрь тыквы помещается горящая свеча. В темное время суток светильник Джека представляет собой довольно жуткое зрелище, от которого бегут мурашки по коже.

Очевидно, что Halloween - не наш праздник. Однако, традиция вырезать из тыквы смешные и жуткие рожи непостижимым образом уже давно пересекла наши границы и прочно укоренилась. Поэтому неудивительно, что в канун Хэллоуина математики тоже вспоминают о тыкве...

Подробнее об этом и о многом другом, что непосредственно связано с математикой и Вольфрам Альфа, читайте в нашей статье Halloween, тыква и математика для аграриев с Wolfram|Alpha.

Если эта статья решила вашу проблему или просто понравилась вам, поделитесь ссылкой на нее со своими друзьями в социальных сетях.

Посетите страницу Как поддержать наш сайт?