Как найти область определения функции нескольких переменных в Вольфрам Альфа

Область определения функции ранее рассматривалась в статьях:
Полный перечень публикаций по теме даёт поиск сайту: "область определения" (нажмите, чтобы получить результат).

Сначала рассмотрим, как найти область определения функции нескольких переменных на примере функции двух переменных z=f(x, y).

Геометрически, область определения функции 2-х переменных z=f(x, y) - это множество точек M(x, y) координатной плоскости Оху, координаты которых (x, y) являются допустимыми для выражения f(x, y). Множество этих точек обычно образует на плоскости Оху некую фигуру или линию D, которую также принято называть областью определения функции 2-х переменных. Область определения функции z=f(x, y) обозначается D(f) или D(z).

Область определения функции на английском обозначается словом domain. Поэтому в Wolfarm Alpha для отыскания области определения используется ключевое слово (запрос) domain.

Пример использования запроса domain


Как видим, область определения данной функции такова: аргумент х принимает любые значения, кроме -2 и +2, а аргумент у - любые значения, кроме -3 и +3.

Аналогичный результат даёт запрос domain 1/(x^2-4)+1/(y^2-9) (без указания обозначения самой функции - буквы z). Поэтому далее используется этот сокращенный вариант.

Далее, чтобы построить область определения функции f(x, y) жмите ссылку-кнопку a plotting function (построение графика) (см. на картинке выше). В результате получим изображение графика функции (3D-plot) и контурный график (Contour plot), который даёт представление об области определения функции:


Как исследовать непрерывность функции онлайн

Как определить, является ли данная функция y=f(x) непрерывной или же она имеет точки разрыва? Как найти сколько точек разрыва имеет функция? Где расположены эти точки разрыва, и какого они типа?

В математике принята классификация точек разрыва, согласно которой, это может быть разрыв 1-го рода (конечный разрыв - устранимый или неустранимый) или же разрыв 2-го рода (бесконечный разрыв).

Wolfram Alpha позволяет получить быстрый ответ на все эти вопросы.

Непрерывность в системе Wolfram Alpha обозначается английским словом "continuity". Поэтому все обращения к системе по поводу непрерывности функций, используют термин continuity. В свою очередь, разрыв функции это - discontinuity.

Как исследовать непрерывность (continuity) в Wolfram Alpha?

Первый способ (самый простой): можно проверить непрерывность функции визуально, по графику функции. То есть, мы строим график функции, и смотрим, является ли этот график непрерывной линией. Например,

plot f(x)=x^2/(x-3)



На этом рисунке видно, что график функции не является сплошной линией (график имеет разрыв). Поэтому можно сделать вывод, что данная функция не является непрерывной: в данном случае она имеет одну точку разрыва. Однако, по этому рисунку можно лишь приблизительно оценить расположение точки разрыва на оси Ох и классифицировать эту точку разрыва, как бесконечный разрыв (разрыв 2-го рода).

Если график функции сплошной (без разрывов), то такая функция является непрерывной в данной области (тут надо помнить, что Wolfram Alpha строит график функции в некоторой области по умолчанию, и поэтому на графике не всегда можно рассмотреть все характерные свойства функции).

Подробнее о том, как построить график функции в Вольфрам Альфа, можно прочитать здесь и здесь (ссылки откроются в новом окне). Там же вы сможете увидеть примеры непрерывных и разрывных функций.

Второй способ, как исследовать непрерывность функции - это традиционная для математики процедура: сначала ищем точки разрыва функции, и после этого нужно изучить поведение функции вблизи этих точек. Для этого потребуется найти пределы функции (в том числе, односторонние - слева и справа) во всех точках разрыва. Этот способ более долгий. Но и с этим Wolfram Alpha также легко справляется. Подробнее можно почитать об этом и посмотреть примеры здесь и здесь.

Кроме того, самое интересное, искусственный интеллект Wolfram Alpha в большинстве случаев легко отвечает на вопросы о непрерывности функций, если спросить на обычном языке (по-английски, конечно).

Я лечу на Марс. А ты?

В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.

Регистрация открыта. Получить свой билет на Марс можно по этой ссылке.


Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

Посетите страницу Как поддержать наш сайт?