Новогодняя елка в WolframAlpha - 2

Перечитывая накануне очередного Нового Года старые записки WolframAlpha® по-русски, неожиданно для себя обнаружил, что ссылка на математическое изображение новогодней елки, описанная в статье Новогодняя елка в Wolfram|Alpha, больше не работает. Вернее, она-то работает, но как-то не так - результат уже не соответствует ожидаемому. Вместо симпатичной "математической" картинки, показанной в упомянутой выше статье вместе со сложной параметрической формулой, описывающей это изображение, теперь по запросу christmas tree система выводит фотографию обычного лесного дерева silver fir (пихта благородная).

Старое и новое изображение Cristmas tree by Wolfram Alpha

В таких неприятных случаях, тестировщики компьютерных программ используют слово "баг" (англ. bug - жучок, клоп), которым в быту называют мелкое насекомое. Им же программисты обозначают досадные неполадки, которые хотелось бы исправить как можно скорее.

Однако, при более внимательном рассмотрении, оказалось, что это был вовсе не баг системы, а ее новая "фича" (англ. feature - особенность), расширяющая возможности Вольфрам Альфа. Теперь, в ответ на запрос christmas tree система в верхней части выдачи предлагает два варианта на выбор:  "Assuming "christmas tree" is a plant | Use as a lamina instead" и "Assuming silver fir | Use Pacific silver fir instead". По умолчанию выводится второй вариант.

Так что, если нужно получить именно математическое изображение christmas tree, выбирайте первый вариант, кликнув a lamina.

Изображение Christmas tree as a lamina

В результате получите:




Сердечные кривые в Вольфрам Альфа

Сегодня, продолжая тему, начатую некоторое время назад в статье Сердце Тобина и другие математические поверхности и графики функций в форме сердца, я публикую здесь еще один симпатичный сердечный график - математическую кривую в форме сердца.

Описание построения графика на рисунке слева будет дано далее по тексту.

А пока что взгляните на исходную кривую, которую Вольфрам Альфа выводит по запросу

Как разложить функцию в ряд Фурье

Разложение функций в ряды Фурье используется достаточно часто, поскольку в таком виде их удобно дифференцировать, интегрировать, использовать сдвиг функции по аргументу, а также свёртку функций. Несмотря на то, что процедура разложения функции в ряд Фурье даже в самом простом случае может быть достаточно трудоёмкой, система Вольфрам Альфа, как правило, легко справляется с этой задачей.

Ряды Фурье представляются в тригонометрической и экспоненциальной (комплексной) форме:

Ряды Фурье в тригонометрической и экспоненциальной (комплексной) форме.

В первом варианте в качестве базиса разложения используется система синусов и косинусов. Но при работе с рядами Фурье вместо них бывает удобнее использовать экспоненты мнимого аргумента. Видимо поэтому, Вольфрам Альфа отдает предпочтение второму варианту.

Самый простой способ разложить функцию в ряд Фурье - отправить в Вольфрам Альфа запрос вида Fourier series [функция, аргумент, количество членов ряда]. Например, 




В полученном результате, как и требуется, представлены члены разложения до 5-го номера включительно; коэффициенты при сопряженных степенях экспоненты являются комплексно-сопряженными числами.

Эксперименты по теории вероятностей в Wolfram|Alpha: монеты, кубики, кости, карты ...

При изучении основ теории вероятностей часто используют мысленные "эксперименты" с монетами, игральными костями (кубиками), картами и другими атрибутами азартных игр, которым, как известно, теория вероятностей обязана своим появлением на свет.

Wolfram|Alpha позволяет сделать эти эксперименты более наглядными, обеспечить более плавный переход от конкретного к абстрактному, заменяя монеты, карты и кубики их более абстрактными аналогами - математическими многосторонними игральными костями (dice).

Вот несколько экспериментов по теории вероятностей, которые позволяет проделать система Wolfram|Alpha, оперируя виртуальными "игральными костями".

Бросание монеты (двусторонняя "игральная кость" - 2-sided dice). Этот эксперимент генерирует два случайных значения 1 и 2:  1 - соответствует гербу "Г", а 2 - решке "Р". Собственно результат испытания Вольфрам Альфа выводит в нижней части экрана. Там рядом есть кнопка - симулятор "бросания монеты". Если ее нажать, то случайное значение (результат испытания) изменится случайным образом. Это удобно, если нужно провести стохастический эксперимент по бросанию монеты. Выше него выводится график распределения вероятностей случайной величины и ее числовые характеристики: математическое ожидание (expected value), средне-квадратическое отклонение (standard deviation) и дисперсию (variance).

1 2-sided dice


Результат "бросания монеты":




Как решить функциональное уравнение в Вольфрам Альфа

Функциональные уравнения, которые выражают связь между значением неизвестной функции (функций) в одной точке с её же значениями в других точках, некоторое время назад были довольно популярными на школьных математических олимпиадах. Это и не удивительно, ведь такие уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами.

Учитывая сказанное, последующее изложение содержит многочисленные примеры, которые потребуют от вас внимания и сосредоточенности.

Итак, чтобы получить общее решение функционального уравнения в Вольфрам Альфа, в большинстве случаев достаточно просто ввести его в систему. В результате система выведет общее решение функционального уравнения, содержащее произвольную постоянную С:

2f(x)-f(x/2)=3x^2



ShareThis