Красное сердце: как нарисовать его с помощью Вольфрам Альфа

Это традиционный пост ко Дню всех влюбленных. Дочитайте его до конца, и вы узнаете, как в Вольфрам Альфа нарисовать красивое розовое сердце.

Несмотря на то, что Сердце Тобина по-прежнему остается главным фаворитом среди сердечных графиков Вольфрам Альфа, эта тема вновь актуальна накануне Дня всех влюбленных 14 февраля.

После публикации поста Сердечные графики в Вольфрам Альфа, через форму обратной связи поступило несколько одинаковых вопросов, суть которых можно выразить одной фразой: как сделать, чтобы сердце, нарисованное с помощью Вольфрам Альфа, было красного цвета?

Действительно, система Вольфрам Альфа позволяет в некоторых случаях при построении графиков функций указывать также и их цвет.

Поэтому ответ на данный вопрос будет следующим. Поскольку в данном случае речь идет о построении параметрического графика, для построения графика красного цвета нужно вместо plot использовать полную форму запроса на построение параметрического графика parametric plot, добавив к нему значение желаемого цвета.

Разложение в тригонометрический ряд Фурье с помощью Вольфрам Альфа

Не так давно я опубликовал пост о том, Как разложить функцию в ряд Фурье, в котором показал общий принцип, как с помощью системы Вольфрам Альфа разложить функцию в ряд Фурье. При этом оказалось, что Вольфрам Альфа по некоторым причинам отдает предпочтение экспоненциальной форме ряда Фурье, и потому выводит в первую очередь разложение функции именно в этом виде. Лишь потом, как альтернативную форму, в конце выдачи (в самом низу экрана), система выводит ряд Фурье в альтернативной тригонометрической форме. Конечно, это не всегда бывает удобно.

На практике, в частности для студентов вузов или для технических приложений, чаще возникает необходимость быстро найти разложение функции именно в виде тригонометрического ряда Фурье. Поэтому некоторые читатели задают вопрос: как заставить Вольфрам Альфа вывести разложение заданной функции в ряд Фурье в верхней части страницы, непосредственно сразу под полем запроса.

Ответ на это я нашел логическим путем.

Поскольку тригонометрическую форму ряда Фурье система Вольфрам Альфа считает альтернативной, это значит, что сначала она вычисляет коэффициенты экспоненциального ряда, а уж затем преобразует их (упрощает, приводит к тригонометрической форме) с помощью формулы Эйлера (Euler formula).

Естественно, чтобы в первую очередь получить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье, нужно сразу же поставить системе именно эту задачу, а именно: упростить разложение функции в ряд Фурье, что легко делается при помощи ключевого слова simplify.

Таким образом, чтобы получить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье с помощью Вольфрам Альфа, следует использовать запрос вида:




Как видно на рисунке, здесь система сначала выводит 3 первых члена разложения функции t^2 в тригонометрический ряд Фурье, и уже во вторую очередь показывает соответствующий ряд Фурье в экспоненциальной форме.

Новогодняя елка в WolframAlpha - 2

Перечитывая накануне очередного Нового Года старые записки WolframAlpha® по-русски, неожиданно для себя обнаружил, что ссылка на математическое изображение новогодней елки, описанная в статье Новогодняя елка в Wolfram|Alpha, больше не работает. Вернее, она-то работает, но как-то не так - результат уже не соответствует ожидаемому. Вместо симпатичной "математической" картинки, показанной в упомянутой выше статье вместе со сложной параметрической формулой, описывающей это изображение, теперь по запросу christmas tree система выводит фотографию обычного лесного дерева silver fir (пихта благородная).

Старое и новое изображение Cristmas tree by Wolfram Alpha

В таких неприятных случаях, тестировщики компьютерных программ используют слово "баг" (англ. bug - жучок, клоп), которым в быту называют мелкое насекомое. Им же программисты обозначают досадные неполадки, которые хотелось бы исправить как можно скорее.

Однако, при более внимательном рассмотрении, оказалось, что это был вовсе не баг системы, а ее новая "фича" (англ. feature - особенность), расширяющая возможности Вольфрам Альфа. Теперь, в ответ на запрос christmas tree система в верхней части выдачи предлагает два варианта на выбор:  "Assuming "christmas tree" is a plant | Use as a lamina instead" и "Assuming silver fir | Use Pacific silver fir instead". По умолчанию выводится второй вариант.

Так что, если нужно получить именно математическое изображение christmas tree, выбирайте первый вариант, кликнув a lamina.

Изображение Christmas tree as a lamina

В результате получите:




Сердечные кривые в Вольфрам Альфа

Сегодня, продолжая тему, начатую некоторое время назад в статье Сердце Тобина и другие математические поверхности и графики функций в форме сердца, я публикую здесь еще один симпатичный сердечный график - математическую кривую в форме сердца.

Описание построения графика на рисунке слева будет дано далее по тексту.

А пока что взгляните на исходную кривую, которую Вольфрам Альфа выводит по запросу

Как разложить функцию в ряд Фурье

Разложение функций в ряды Фурье используется достаточно часто, поскольку в таком виде их удобно дифференцировать, интегрировать, использовать сдвиг функции по аргументу, а также свёртку функций. Несмотря на то, что процедура разложения функции в ряд Фурье даже в самом простом случае может быть достаточно трудоёмкой, система Вольфрам Альфа, как правило, легко справляется с этой задачей.

Ряды Фурье представляются в тригонометрической и экспоненциальной (комплексной) форме:

Ряды Фурье в тригонометрической и экспоненциальной (комплексной) форме.

В первом варианте в качестве базиса разложения используется система синусов и косинусов. Но при работе с рядами Фурье вместо них бывает удобнее использовать экспоненты мнимого аргумента. Видимо поэтому, Вольфрам Альфа отдает предпочтение второму варианту.

Самый простой способ разложить функцию в ряд Фурье - отправить в Вольфрам Альфа запрос вида Fourier series [функция, аргумент, количество членов ряда]. Например, 




В полученном результате, как и требуется, представлены члены разложения до 5-го номера включительно; коэффициенты при сопряженных степенях экспоненты являются комплексно-сопряженными числами.

ShareThis