Несобственные интегралы в Wolfram|Alpha

При вычислении определенных интегралов


предполагается, что пределы интегрирования a и b конечны, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке интегрирования [a; b]. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то определенный интеграл называют несобственным интегралом.

Несобственные интегралы бывают двух типов.

Во-первых, это несобственный интеграл 1-го рода (определенный интеграл, в котором один или оба предела интегрирования бесконечны). Его легко узнать по внешнему виду:


Во-вторых, это несобственный интеграл 2-го рода (определенный интеграл, в котором подынтегральная функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва на отрезке [a;b] ). Внешне он ничем не отличается от обычного определенного интеграла.

Несобственные интегралы могут быть сходящимися либо расходящимися.

Wolfram|Alpha легко справляется со всеми типами несобственных интегралов.
- интеграл сходится.

Определенный интеграл в Wolfram|Alpha

Из предыдущего поста должно быть ясно, как находить неопределенные интегралы в Wolfram|Alpha. Теперь наступил черед узнать, как Wolfram|Alpha вычисляет определенные интегралы.

Так же, как и для нахождения неопределенных интегралов, для вычисления определенных интегралов Wolfram|Alpha использует запрос integrate, в котором, после подинтегральной функции, нужно указать пределы интегрирования.

Например,


Как видим, Wolfram|Alpha не только вычисляет определенный интеграл, но и выводит его геометрическую интерпретацию.

С Рождеством, Wolfram|Alpha!

Канун Рождества - время, когда обычно вспоминают тех, кто нам дорог, к кому мы питаем искреннюю привязанность, с кем связаны положительные эмоции и важные моменты жизни, не так ли? Если так, тогда сейчас самое время вспомнить о Wolfram|Alpha, что неизменно приходит к нам на помощь, в любое время дня и ночи, безотказно и именно тогда, когда мы обращаемся за помощью.

Пожелайте Wolfram|Alpha счастливого Рождества, и убедитесь, в том, что Wolfram|Alpha ответит. Именно Вам. К сожалению, Wolfram|Alpha пока не понимает по-русски, поэтому обратимся к нему на западный манер:

Merry Christmas, Wolfram|Alpha!

Неопределенный интеграл в Wolfram|Alpha

Для интегрирования функций в Wolfram|Alpha служит запрос integrate. Также можно использовать integral. Иногда Wolfram|Alpha понимает также сокращенную форму int. Однако, лучше ее не использовать, поскольку int традиционно применяется для обозначения целой части числа.

Вот несколько примеров на интегрирование функций в Wolfram|Alpha.

Для начала, "самый сложный вопрос":


Теперь стандартный интеграл от многочлена:


Совет: чтобы получить пошаговое решение, не забывайте о кнопке "Show steps".

Уравнение касательной к графику функции в Wolfram|Alpha

Найти уравнение касательной к графику функции в данной точке - самая простая задача на применение производной. А самый простой способ получить быстрый ответ - воспользоваться Wolfram|Alpha.

Wolfram|Alpha действительно решает такие задачи быстро и легко. При этом вовсе не потребуется вспоминать, как выглядит общее уравнение касательной. Также не придется ни вычислять значение функции и ее производной в данной точке, ни подставлять их в общее уравнение касательной, а затем упрощать полученное уравнение.... С Wolfram|Alpha ничего этого не потребуется. Достаточно лишь воспользоваться запросом tangent line (по-английски "tangent line" - касательная). 

Вот, например, как в Wolfram|Alpha решается такая  задача; "Найти уравнение касательной к графику функции y=x^2 в точке x=1".


Как видите, Wolfram|Alpha выводит не только уравнение касательной, но и графическую иллюстрацию.

Дифференцирование функций в Wolfram|Alpha

Как найти производную функции в Wolfram|Alpha?

Wolfram|Alpha использует для дифференцирования функций несколько различных запросов. Проще всего найти обычную производную функции f(x) в Wolfram|Alpha можно с помощью запроса-префикса d/dx.

Вот, как это выглядит на практике

d/dx x^2e^cosx



Чтобы получить пошаговое решение с пояснениями каждого шага, достаточно нажать "Show steps".

Ряды Лорана в Wolfram|Alpha или Кто читает Wolfram|Alpha по-русски?

Судя по активности, посетителям блога Wolfram|Alpha по-русски не очень интересны элементарные вопросы математики. К примеру, пост об интегральном преобразовании Лапласа, опубликованный почти месяц назад, собрал аудиторию больше, чем недавняя статья о прямой на плоскости или свежая заметка о построении окружности.
Хотя это еще ни о чем не говорит. Иначе придется признать, что сюда заходят только продвинутые математики. А ведь это совсем не обязательно. Это могут быть, например, студенты старших курсов вузов. Большинство из них понимают ценность такого помощника, как Wolfram|Alpha.
В то же время, вопрос элементарного уровня "Как построить график функции в Wolfram|Alpha" по-прежнему остается одним из самых популярных в блоге. Как объяснить это? Один из возможных вариантов: при изучении математики в вузах вопросам аналитической геометрии уделяется не слишком большое внимание, поэтому они кажутся не такими важными, как, например, построение графиков функций.
Второй по рейтингу пост этого блога на сегодня - Возведение матрицы в степень. Его популярность можно объяснить так: мало кто задумывается, что матрицы можно возводить в степень. Хотя это очевидно, но выглядит парадоксально. Отсюда - интерес.
Конечно же, кто читает этот блог, студенты или математики, можно было бы установить путем опроса. Наверное, так и следует сделать. Когда закончится предыдущий опрос "Как часто вы пользуетесь Wolfram|Alpha?", можно будет начать новый, чтобы в результате получить объективный ответ. Но главное понятно: читают наверняка только те, кому математика, нужна, близка по тем или иным причинам. И это - студенты, инженеры, математики, преподаватели...
А кто ещё? Вопрос поставлен. И можно продолжить знакомство с Wolfram|Alpha.
Поскольку начиналось с того, что применение Wolfram|Alpha к решению элементарных задач математики негативно влияет на активность читателей блога, рассмотрим, что Wolfram|Alpha может предложить при решении более сложных задач. Например, таких, которые относятся к области комплексного анализа, где, в частности, много работал Augustin‐Louis Cauchy.



Те, кто сталкивался с вопросами теории аналитических функций, знают, что одним из наиболее востребованных инструментов комплексного анализа являются ряды Лорана.

Окружность в Wolfram|Alpha

Как получить изображение окружности в Wolfram|Alpha? Как с помощью в Wolfram|Alpha построить окружность, если задано ее уравнение, если заданы координаты центра и радиус, если известны три точки, через которые проходит окружность? Как найти координаты точек пересечения окружности и прямой? Такие элементарные задачи Wolfram|Alpha решает легко.

Треугольник на координатной плоскости в Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha позволяет использовать метод координат для решения основных задач на треугольники.

Координаты точки пересечения двух прямых в Wolfram|Alpha

Многие задачи аналитической геометрии в конечном итоге сводятся к отысканию координат точек пересечения прямых. С помощью Wolfram|Alpha эту задачу можно решить по-разному.

ShareThis