В математике принята классификация точек разрыва, согласно которой, это может быть разрыв 1-го рода (конечный разрыв - устранимый или неустранимый) или же разрыв 2-го рода (бесконечный разрыв).
Wolfram Alpha позволяет получить быстрый ответ на все эти вопросы.
Непрерывность в системе Wolfram Alpha обозначается английским словом "continuity". Поэтому все обращения к системе по поводу непрерывности функций, используют термин continuity. В свою очередь, разрыв функции это - discontinuity.
Как исследовать непрерывность (continuity) в Wolfram Alpha?
Первый способ (самый простой): можно проверить непрерывность функции визуально, по графику функции. То есть, мы строим график функции, и смотрим, является ли этот график непрерывной линией. Например,
plot f(x)=x^2/(x-3)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhutHPApBDwKtOgIVqzx8JwDXZxyEG_iAXoKLI1jmpNKb-eob613vXcboUxnkvebxTZMzONeXGPOyeAVMSgi2lgDw4EpFdOAbZH7SVSFfJYcovFsMjTA5yJ_vQ2FGRI_yq1vewQZjpSJes/s1600/continuity-wolframalpha-ru_00.png)
На этом рисунке видно, что график функции не является сплошной линией (график имеет разрыв). Поэтому можно сделать вывод, что данная функция не является непрерывной: в данном случае она имеет одну точку разрыва. Однако, по этому рисунку можно лишь приблизительно оценить расположение точки разрыва на оси Ох и классифицировать эту точку разрыва, как бесконечный разрыв (разрыв 2-го рода).
Если график функции сплошной (без разрывов), то такая функция является непрерывной в данной области (тут надо помнить, что Wolfram Alpha строит график функции в некоторой области по умолчанию, и поэтому на графике не всегда можно рассмотреть все характерные свойства функции).
Подробнее о том, как построить график функции в Вольфрам Альфа, можно прочитать здесь и здесь (ссылки откроются в новом окне). Там же вы сможете увидеть примеры непрерывных и разрывных функций.
Второй способ, как исследовать непрерывность функции - это традиционная для математики процедура: сначала ищем точки разрыва функции, и после этого нужно изучить поведение функции вблизи этих точек. Для этого потребуется найти пределы функции (в том числе, односторонние - слева и справа) во всех точках разрыва. Этот способ более долгий. Но и с этим Wolfram Alpha также легко справляется. Подробнее можно почитать об этом и посмотреть примеры здесь и здесь.
Кроме того, самое интересное, искусственный интеллект Wolfram Alpha в большинстве случаев легко отвечает на вопросы о непрерывности функций, если спросить на обычном языке (по-английски, конечно).
Например, если нужно узнать является ли данная функция непрерывной, то можно обратиться к Wolfram Alpha так
Is f(x)=x sin(x^2) continuous?
Получаем быстрый ответ:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPoFhRCl-i5F3LXMb-sJp5EOjEPcmFLvUdzpxwYTuKgdge241dxDfUO1otn9sgHxv_YQniO-4oPNghFt2S9BSp64OH3UEmdaUhpM1OuQ9CMSjH0YKS1wTinP2cdH6GLEJvBGGHEbBznUY/s1600/continuos-function-wolframalpha-ru.png)
В подтверждение своего вывода Wolfram Alpha показывает график функции (он непрерывный):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiye7N6C6to_xe1tC-_SebAQn4TQF5M9E-NgLQ-E-fViWCHQz9ZiYb3Mhn_O0DKJRC_KEA4JHdpO0RQExdR0_HsdK_y3VuAew5LIDHQmT9PulQP9SWltopZXKWsOQSR0gPnD1xvNBv76OM/s1600/continuos-function-graphic-wolframalpha-ru.png)
А вот такой же вопрос, но уже по поводу разрывной функции, в которой, кстати, участвует одна весьма полезная разрывная функция - функция Хевисайда (её еще иногда называют функцией единичного скачка - англ., Unit Step):
is sin(x-1)/(x-1)+heaviside(x) continuous?
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEge05JMqgXX-wCDkfwZO-mher0BIUQvw3qU55VpMAA1suiMX1UHRzG-AiJyXTLR62DFkxHOa7xixLeS7P6kTFnIerskfwjYpAMn_W5dEWJY9-20nhy73aWtO-0ReZGGwfg8Q48XQF7B1q8/s1600/continuos-function2-wolframalpha-ru.png)
Кстати, в последнем выводе (на картинке выше) Вольфрам Альфа указала нам пределы слева и справа (left limit, right limit) в точках разрыва.
Непосредственно за этим следует наглядное подтверждение разрывности данной функции в виде графика:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQTtnZgZl2svJy5bBM8aMtc3ZKkmOowDhDF6HUfyPQWSvPT_ZnaimLmOpzI3eYDg7n8Rtg_oCp7teAvEUCmajZ_T-14L6_EYVwho_U_SSjTsje2VI3PmZagMBRU23JCdG5DeNivouRJ38/s1600/continuos-function2-graphic-wolframalpha-ru.png)
Также легко можно проверить непрерывность функции в любой точке. Для этого в запросе просто указываем эту точку.
Вот пример, как проверить непрерывность функции в точке x=Pi:
is tan(x) continuous at Pi?
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmkeHgWTjYkkDYInfZgO1KPIArwOrG__f2kFcE1KNkU3hV7mzR961uRsHj1SW5yVCWDn3Td9tXT56CXDpiy-_DCYiXPReQu49flyWB9KfKTsBNluPwDeXengFV6XeqXr7y0BDk6W_HNX4/s1600/continuos-function3-wolframalpha-ru.png)
А вот и соответствующий график, который иллюстрирует предыдущий вывод:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7mMSqi34D3vqvEPE49hHD34QeHkfknbHv5y-dNGl8yrGkF66H5-p-IsNbtGYbliCGM9-WOkZyUnbT03DRKE_TOQL4pQh8QZDEZ3FVG97tn_UUDPF6Iqrs1QLxMVSxDie3Fax4poJS8rE/s1600/continuos-function3-graphic-wolframalpha-ru.png)
Чтобы оценить возможности Вольфрам Альфа для исследования непрерывности функций, изучите еще несколько характерных примеров с участием функции Хевисайда (обратите внимание, какие функции участвуют в примерах, и на их графики).
Пример 1.
is 1/(x^2-1)+UnitStep[x-2]+UnitStep[x-9] continuous at x=9
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1VVz7OMpM6mN0H1tWl0q3g05oVLVqbK2fI5-gyB187kzhabITMl9LQm3TpK-1z0W4dfIQeEFQ_LiUlmEDThz58W6tzOOSEY1Bg-zRd90BO8Wajke7n39BHWIrKQtu6BE44nDheY8ApYo/s1600/continuos-function4-wolframalpha-ru.png)
Пример 2.
is sin(x)+UnitStep[x-2]+UnitStep[x-9] continuous at x=9
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihUTqIZpy3QBLhKsZL1Y9xPxqpaqOT1CHtgfEA8gBn9IRuZyY5dB_pzFpH33vlU_0wFOe0_vwnS6JaOt__SX9XXNYUfd3ip36dPPnEU76GsUSK3G-ShkxjZn5GuCyvlMQJhYmFNDvYzUo/s1600/continuos-function5-wolframalpha-ru.png)
Пример 3.
is e^x+3*UnitStep[x-2]-6*UnitStep[x-3] continuous at x=3
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicPreyk4mBagis2ffmmO2lRy_9PkH3g7xXDa7HA0JjY0mgCoYPDvrzet2n8vHV_rjAU8Obx19ptcgyr9eMhEsaEROt3dAxDpFtiOvXhRTddvhBDRU8SSsqmoz_K7sv606uoVwLFkaRo_Y/s1600/continuos-function6-wolframalpha-ru.png)
Наконец, можно просто попросить Wolfram Alpha найти точки разрыва функции - точки, в которых данная функция является разрывной, используя термин Discontinuities (Разрывность).
Например, можно написать так: "Find where functions are discontinuous" (Найти, где функция является разрывной) или "Locate discontinuities of a function" (Найти точки разрыва функции).
Но самая простая форма запроса выглядит так:
discontinuities (x^3+8)/(x^3+3x^2-4x-12)
Результат:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimMbiL_7yChc8eF_Fk_DDq-mEBPhua98ETf5T6UM6zCsASAyFx339OyXdWif4sEuYo-LdIXAJY5eLHabArV4THdC6EFEL76Yf45eqo507AHNJmlidPJ-UGqA-HD0N9XS5c9RZIZj-rHic/s1600/continuos-function7-wolframalpha-ru.png)
Это все. Надеюсь, теперь вопрос "Как исследовать непрерывность функции?" не поставить Вас в тупик.
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Посетите страницу Как поддержать наш сайт?