В математике принята классификация точек разрыва, согласно которой, это может быть разрыв 1-го рода (конечный разрыв - устранимый или неустранимый) или же разрыв 2-го рода (бесконечный разрыв).
Wolfram Alpha позволяет получить быстрый ответ на все эти вопросы.
Непрерывность в системе Wolfram Alpha обозначается английским словом "continuity". Поэтому все обращения к системе по поводу непрерывности функций, используют термин continuity. В свою очередь, разрыв функции это - discontinuity.
Как исследовать непрерывность (continuity) в Wolfram Alpha?
Первый способ (самый простой): можно проверить непрерывность функции визуально, по графику функции. То есть, мы строим график функции, и смотрим, является ли этот график непрерывной линией. Например,
plot f(x)=x^2/(x-3)
На этом рисунке видно, что график функции не является сплошной линией (график имеет разрыв). Поэтому можно сделать вывод, что данная функция не является непрерывной: в данном случае она имеет одну точку разрыва. Однако, по этому рисунку можно лишь приблизительно оценить расположение точки разрыва на оси Ох и классифицировать эту точку разрыва, как бесконечный разрыв (разрыв 2-го рода).
Если график функции сплошной (без разрывов), то такая функция является непрерывной в данной области (тут надо помнить, что Wolfram Alpha строит график функции в некоторой области по умолчанию, и поэтому на графике не всегда можно рассмотреть все характерные свойства функции).
Подробнее о том, как построить график функции в Вольфрам Альфа, можно прочитать здесь и здесь (ссылки откроются в новом окне). Там же вы сможете увидеть примеры непрерывных и разрывных функций.
Второй способ, как исследовать непрерывность функции - это традиционная для математики процедура: сначала ищем точки разрыва функции, и после этого нужно изучить поведение функции вблизи этих точек. Для этого потребуется найти пределы функции (в том числе, односторонние - слева и справа) во всех точках разрыва. Этот способ более долгий. Но и с этим Wolfram Alpha также легко справляется. Подробнее можно почитать об этом и посмотреть примеры здесь и здесь.
Кроме того, самое интересное, искусственный интеллект Wolfram Alpha в большинстве случаев легко отвечает на вопросы о непрерывности функций, если спросить на обычном языке (по-английски, конечно).
Например, если нужно узнать является ли данная функция непрерывной, то можно обратиться к Wolfram Alpha так
Is f(x)=x sin(x^2) continuous?
Получаем быстрый ответ:
В подтверждение своего вывода Wolfram Alpha показывает график функции (он непрерывный):
А вот такой же вопрос, но уже по поводу разрывной функции, в которой, кстати, участвует одна весьма полезная разрывная функция - функция Хевисайда (её еще иногда называют функцией единичного скачка - англ., Unit Step):
is sin(x-1)/(x-1)+heaviside(x) continuous?
Кстати, в последнем выводе (на картинке выше) Вольфрам Альфа указала нам пределы слева и справа (left limit, right limit) в точках разрыва.
Непосредственно за этим следует наглядное подтверждение разрывности данной функции в виде графика:
Также легко можно проверить непрерывность функции в любой точке. Для этого в запросе просто указываем эту точку.
Вот пример, как проверить непрерывность функции в точке x=Pi:
is tan(x) continuous at Pi?
А вот и соответствующий график, который иллюстрирует предыдущий вывод:
Чтобы оценить возможности Вольфрам Альфа для исследования непрерывности функций, изучите еще несколько характерных примеров с участием функции Хевисайда (обратите внимание, какие функции участвуют в примерах, и на их графики).
Пример 1.
is 1/(x^2-1)+UnitStep[x-2]+UnitStep[x-9] continuous at x=9
Пример 2.
is sin(x)+UnitStep[x-2]+UnitStep[x-9] continuous at x=9
Пример 3.
is e^x+3*UnitStep[x-2]-6*UnitStep[x-3] continuous at x=3
Наконец, можно просто попросить Wolfram Alpha найти точки разрыва функции - точки, в которых данная функция является разрывной, используя термин Discontinuities (Разрывность).
Например, можно написать так: "Find where functions are discontinuous" (Найти, где функция является разрывной) или "Locate discontinuities of a function" (Найти точки разрыва функции).
Но самая простая форма запроса выглядит так:
discontinuities (x^3+8)/(x^3+3x^2-4x-12)
Результат:
Это все. Надеюсь, теперь вопрос "Как исследовать непрерывность функции?" не поставить Вас в тупик.
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Посетите страницу Как поддержать наш сайт?