Разложение функций в степенные ряды чаще всего является не удовольствием, как многие другие математические преобразования, а необходимостью. К этой процедуре чаще всего прибегают при выполнении приближенных вычислений. При этом используются формулы разложения функций в ряд Тейлора (Taylor series) и ряд Маклорена (Maclaurin series):
С практической точки зрения, разложение функции в степенной ряд - это чисто техническая процедура, которая требует довольно много времени и усилий, но мало что дает для понимания конечного результата. Если только освоение этой процедуры не является самоцелью. Конечно, для этого можно использовать справочники рядов. Однако, такие справочники у нас не всегда под рукой. Да и издавались они достаточно давно. А вот Интернет... всегда с нами.
Wolfram|Alpha, естественно, умеет находить разложение функций в степенные ряды. Для этого, в простейшем случае, служит запрос series. Вот, например:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtKjBYCY2pLc6Ut9Yss_sxtM2ocay7JiYqEV-y2GrpORvewfPso1pBS9w7nit9vihvquLaQ-Lc_BCxZEkSXcEDN53qxdNH5tyNi-qQlUvbW0n6t6eogpP8KOcannyg6egHGE3qqB8bHHs/s1600/00-series-expx.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAYR8Jsrh-Jl6y-FekvyiZZlFMkXCMQ9qeWL63RATR_UBA6WJO21Tk4uiFmxmu0b-ReULRnlJZNc-OvaafG8t_zqJ3WswwThd12ElDxnieRIREYfiuM2L7drthuYxG0Z0X-_eGJpX451o/s1600/01-series-representation-expx.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlfUjl0wyu6rAZK7O4X9zwMlBTWl6u8wSbFyvOcEVDBKZziCnaTQfNRqmKtu-FXltZtbvWZNLAApNQ-RHT22G7kIh3TvSmLfZH44AhCF57xQ1oF4xGBzvoUwb1pzFvzDQtEg0xnIERTvg/s1600/02_series-lnx.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibcD1N9X2Vy3xlNccAQrnF2xR9FOcCO38r0_DtDK9Ol5mvsuDHXVDXLOY0TKA0h7rdyxblKH3SKNfOaHaket9KxWWb5WT154Kp5XruQF-yk_1IeQ_ui6m0W_tzLwbqXScatuEAXMsqPb8/s1600/03-series-sinx.png)
В настоящее время эта конструкция запроса срабатывает не всегда корректно - в некоторых случаях Wolfram|Alpha выводит больше членов ряда, чем указано в запросе.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdFnWd648IgLVi9y-DJrgLjvlT6UkpauJHe2DBMDtmfAej6-hqJS5EgvI8O3elLARa7yiZ4qsAvEWCzKLeVqi8q7UtthjF2e1wIy6APJpUi_J-MCLWKmjwarMyyGcUxs2dB_PLy8jHJ5g/s1600/04-series-point.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAbvq1fBJjUyu07E-VZYC4MZUuhbI71Joc_WV5dYZ9YAUlxfN0WRB0cjTRD6o36J8h1-o-zusUxCCy9yFNJSS9Dz4OTcN5G5gKE4MzzT-kIiPtmE920I-dTnLJN7y9i1-veTG-nNXL_bA/s1600/05-series-point.png)
В теории рядов рассматривается следующая задача: найти коэффициенты разложения данной функции в ряд Тейлора (или Маклорена). Wolfram|Alpha позволяет подойти к решению этой задачи используя, например, запрос на табуляцию последовательности. К примеру, найдем таким образом первые шесть коэффициентов разложения функции cos(x) в ряд Тейлора. При этом, естественно, используем формулу коэффициентов ряда Тейлора (см. выше):
Table [d^n/dx^n (cos x)/n!, {n,0,5}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYDmZT6UNXO7Dr-AvIf19vltBZ6zc0Z5znUzczX2Vf3MT3Jl19CS5SjqUtb1ISZ1cxkXN-qKyx7ygIrjzWFRYibOwPts3hyldjZM-leMBa8_5ht0dyKpucW2DiKS1jb9Xlh5fUJtsC_pE/s1600/06-series-table.png)
Здесь, чтобы получить шесть первых коэффициентов ряда мы указали их номера с n=0 по n=5 включительно, записав в запросе - {n,0,5}.Чтобы получить коэффициент ряда с заданным номером, эту запись следует изменить. Например, чтобы найти коэффициент с номером n=20, запишем - {n,20,20}, и получим:
Table [d^n/dx^n (cos x)/n!, {n,20,20}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixmT7jrgxADkhTU-LCYz2gGXYQtUtk8nZ_ORkrH5mdIqzoki_asTVDU17EWp5Tj0F3-YXgn5IoKmgcTQEb6sbXNiXaF3l7Tc4ZTLvxgcYLGiFviPyoHVW4Nde_5i1PRu5V64Rn-02Kfe4/s1600/08-series-table-20.png)
Если эта конструкция запроса покажется вам слишком сложной, тогда для получения коэффициентов ряда используйте более "естественные"запросы, соответственно:
table d^n/dx^n (cos x)/n! for n = 0 ... 5 и d^n/dx^n (cos x)/n! for n = 20
Далее, можно подставить в найденные коэффициенты вместо аргумента x его конкретное значение, и таким образом Вы сможете получить коэффициенты разложения данной функции в степенной ряд в заданной точке.
Кроме того, в Wolfram|Alpha имеется специальный запрос для получения коэффициентов разложения функций в ряд Маклорена (в точке x=0). Например, найдем коэффициенты разложения в ряд Маклорена для функции e^x :
SeriesCoefficient[e^x, {x, 0, n}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi37KZltmJ_fcLYJEaM4RmwAzrooEY75AljQxdJrybwfSs3VCu_fPDPdo9rLAErLjRfUFhNdCgtmbRmN4bryMlfGQqNjHhS7vsu4l_3xey2_1GkCGJ8Wibv5lIvMIJI70SUYp0W0egErw/s1600/09-series-coefficients-ex.png)
Обратите внимание, что в первой строке таблицы указаны степени x, начиная с 1 и далее. То есть свободный член разложения (коэффициент при x^0, равный f(0)/0!) здесь не выводится.
Чтобы убедиться в этом, посмотрите еще два аналогичных примера:
SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, n}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqGugsjOXSclKMm84JsILM4CqnwxImB3gowuxq4Cy2y56xh2zGvO-dBKGmdzC-QCNwi1LBXakK7zVFyfT0z_fuPocHxyYt63ujOUrPPEi6l-WIVr8Ig_WYGwrBjh0FKO96z1ScFe1ARH4/s1600/10-series-coefficients.png)
SeriesCoefficient[(1+x)^1/2, {x, 0, n}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh14NvXmRn6HABuJD-95QbCfaDpV1GJyfB3zNKzPKXHBFej6ZtpGoHWcDtATrhDp9t1CpnmfnTWok84mqgOpMQTj49eu8rZXdBgcugsT7zH7ov7WDjr0TJHiSOjodnHRhZhuR2xF5clp0k/s1600/11-series-coefficients.png)
В том случае, когда нужно найти конкретный коэффициент ряда Маклорена для данной функции, например, коэффициент при x^10, используйте запрос вида:
SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, 10}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPHu3Mym365Xe8e0GJFqqev4kK77O60O_xq3fGxqHPIyue9Trx2-XmNU6DW4nEfe4TkJv6d27o6XxBMn9sjdRCCMX7AAykaxKU2mmHBaOaNX5WDsej-T2Y0Mr1x1Vx8Voa6ZHhgCRhN0U/s1600/12-series-coefficients-10.png)
Наконец, если нужно найти несколько коэффициентов ряда для степеней n, например, с 6-й по 12-ю, запрос к Wolfram|Alpha формулируем так:
SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, 6..12}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGAh2fFUeGD_8LLqaTLxD5wFJwZvCRsCDK2lRSns6AD0nfPhA07nPQuR4BmJK9GmAY75WLJqZPuEZWmivmArvZIvfH_Z-bLCLXmib-RXH8nt0pSXNhVG0kFLWlTIBSqXq-7IH5xNOzGM4/s1600/13-series-coefficients-6-12.png)
Если хотите узнать, как выполнять приближенные вычисления при помощи степенных рядов в Wolfram|Alpha, читайте следующий пост.
С практической точки зрения, разложение функции в степенной ряд - это чисто техническая процедура, которая требует довольно много времени и усилий, но мало что дает для понимания конечного результата. Если только освоение этой процедуры не является самоцелью. Конечно, для этого можно использовать справочники рядов. Однако, такие справочники у нас не всегда под рукой. Да и издавались они достаточно давно. А вот Интернет... всегда с нами.
Wolfram|Alpha, естественно, умеет находить разложение функций в степенные ряды. Для этого, в простейшем случае, служит запрос series. Вот, например:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtKjBYCY2pLc6Ut9Yss_sxtM2ocay7JiYqEV-y2GrpORvewfPso1pBS9w7nit9vihvquLaQ-Lc_BCxZEkSXcEDN53qxdNH5tyNi-qQlUvbW0n6t6eogpP8KOcannyg6egHGE3qqB8bHHs/s1600/00-series-expx.png)
Обратите внимание, что Wolfram|Alpha без каких-либо дополнительных указаний выводит область сходимости полученного степенного ряда: converges everywhere - означает, что ряд сходится всюду.
Кроме того, очень удобно, что по запросу series f(x) система Wolfram|Alpha выводит графическое представление разложения данной функции в степенной ряд, которое позволяет визуально оценить аппроксимацию данной функции ее степенным рядом в случае удержания заданного количества членов ряда:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQQO9F3w2B3CnkZ6M50eRW7NybxL3Os8Vql3P1cDtg4uh7Oc5xDmmRs-kjpz3o8iRZ5PUS5oBMjImVNJtcc0F0_Ri5lXi5txBgBETt_fl5SxeP3a7VgFadpGDmW55c9wEaPYqXbKjZY6c/s1600/00-series-expx-graph.png)
Это важно, поскольку слишком часто, при изучении разложения функций в степенные ряды такая чрезвычайно полезная для практики возможность остается невостребованной в связи с относительной трудоемкостью ее реализации.
Кроме того, очень удобно, что по запросу series f(x) система Wolfram|Alpha выводит графическое представление разложения данной функции в степенной ряд, которое позволяет визуально оценить аппроксимацию данной функции ее степенным рядом в случае удержания заданного количества членов ряда:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQQO9F3w2B3CnkZ6M50eRW7NybxL3Os8Vql3P1cDtg4uh7Oc5xDmmRs-kjpz3o8iRZ5PUS5oBMjImVNJtcc0F0_Ri5lXi5txBgBETt_fl5SxeP3a7VgFadpGDmW55c9wEaPYqXbKjZY6c/s1600/00-series-expx-graph.png)
Это важно, поскольку слишком часто, при изучении разложения функций в степенные ряды такая чрезвычайно полезная для практики возможность остается невостребованной в связи с относительной трудоемкостью ее реализации.
Свернутое представление функции f(x) в виде степенного ряда в Wolfram|Alpha также можно получить, используя запрос вида: f(x) series representation
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAYR8Jsrh-Jl6y-FekvyiZZlFMkXCMQ9qeWL63RATR_UBA6WJO21Tk4uiFmxmu0b-ReULRnlJZNc-OvaafG8t_zqJ3WswwThd12ElDxnieRIREYfiuM2L7drthuYxG0Z0X-_eGJpX451o/s1600/01-series-representation-expx.png)
Wolfram|Alpha автоматически выбирает наиболее простой вид разложения функции в степенной ряд, если иное не задано. Так, в предыдущих примерах система Wolfram|Alpha использовала разложение экспоненциальной функции e^x в ряд Маклорена (в точке x=0). Если же применение ряда Маклорена невозможно (вспомните условия разложения функции в ряд Маклорена), то Wolfram|Alpha автоматически выводит разложение данной функции в ряд Тейлора в ближайшей точке, например в точке x=1:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhlfUjl0wyu6rAZK7O4X9zwMlBTWl6u8wSbFyvOcEVDBKZziCnaTQfNRqmKtu-FXltZtbvWZNLAApNQ-RHT22G7kIh3TvSmLfZH44AhCF57xQ1oF4xGBzvoUwb1pzFvzDQtEg0xnIERTvg/s1600/02_series-lnx.png)
При необходимости, Wolfram|Alpha может вывести определенное количество членов разложения функции в степенной ряд. Точнее, выводятся члены ряда до определенной степени (т. е. с коэффициентами до заданного порядка) включительно. Это нужно указать явно следующим образом:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibcD1N9X2Vy3xlNccAQrnF2xR9FOcCO38r0_DtDK9Ol5mvsuDHXVDXLOY0TKA0h7rdyxblKH3SKNfOaHaket9KxWWb5WT154Kp5XruQF-yk_1IeQ_ui6m0W_tzLwbqXScatuEAXMsqPb8/s1600/03-series-sinx.png)
В настоящее время эта конструкция запроса срабатывает не всегда корректно - в некоторых случаях Wolfram|Alpha выводит больше членов ряда, чем указано в запросе.
Wolfram|Alpha позволяет получить разложение функции в степенной ряд в заданной точке. Соответствующий запрос выглядит так:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgdFnWd648IgLVi9y-DJrgLjvlT6UkpauJHe2DBMDtmfAej6-hqJS5EgvI8O3elLARa7yiZ4qsAvEWCzKLeVqi8q7UtthjF2e1wIy6APJpUi_J-MCLWKmjwarMyyGcUxs2dB_PLy8jHJ5g/s1600/04-series-point.png)
Кстати, эту форму запроса можно использовать также и для того, чтобы разложить некий многочлен по степеням одночлена (x-x0). Например, при x0=pi для заданного многочлена получим:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAbvq1fBJjUyu07E-VZYC4MZUuhbI71Joc_WV5dYZ9YAUlxfN0WRB0cjTRD6o36J8h1-o-zusUxCCy9yFNJSS9Dz4OTcN5G5gKE4MzzT-kIiPtmE920I-dTnLJN7y9i1-veTG-nNXL_bA/s1600/05-series-point.png)
В теории рядов рассматривается следующая задача: найти коэффициенты разложения данной функции в ряд Тейлора (или Маклорена). Wolfram|Alpha позволяет подойти к решению этой задачи используя, например, запрос на табуляцию последовательности. К примеру, найдем таким образом первые шесть коэффициентов разложения функции cos(x) в ряд Тейлора. При этом, естественно, используем формулу коэффициентов ряда Тейлора (см. выше):
Table [d^n/dx^n (cos x)/n!, {n,0,5}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYDmZT6UNXO7Dr-AvIf19vltBZ6zc0Z5znUzczX2Vf3MT3Jl19CS5SjqUtb1ISZ1cxkXN-qKyx7ygIrjzWFRYibOwPts3hyldjZM-leMBa8_5ht0dyKpucW2DiKS1jb9Xlh5fUJtsC_pE/s1600/06-series-table.png)
Здесь, чтобы получить шесть первых коэффициентов ряда мы указали их номера с n=0 по n=5 включительно, записав в запросе - {n,0,5}.Чтобы получить коэффициент ряда с заданным номером, эту запись следует изменить. Например, чтобы найти коэффициент с номером n=20, запишем - {n,20,20}, и получим:
Table [d^n/dx^n (cos x)/n!, {n,20,20}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixmT7jrgxADkhTU-LCYz2gGXYQtUtk8nZ_ORkrH5mdIqzoki_asTVDU17EWp5Tj0F3-YXgn5IoKmgcTQEb6sbXNiXaF3l7Tc4ZTLvxgcYLGiFviPyoHVW4Nde_5i1PRu5V64Rn-02Kfe4/s1600/08-series-table-20.png)
Если эта конструкция запроса покажется вам слишком сложной, тогда для получения коэффициентов ряда используйте более "естественные"запросы, соответственно:
table d^n/dx^n (cos x)/n! for n = 0 ... 5 и d^n/dx^n (cos x)/n! for n = 20
Далее, можно подставить в найденные коэффициенты вместо аргумента x его конкретное значение, и таким образом Вы сможете получить коэффициенты разложения данной функции в степенной ряд в заданной точке.
Кроме того, в Wolfram|Alpha имеется специальный запрос для получения коэффициентов разложения функций в ряд Маклорена (в точке x=0). Например, найдем коэффициенты разложения в ряд Маклорена для функции e^x :
SeriesCoefficient[e^x, {x, 0, n}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgi37KZltmJ_fcLYJEaM4RmwAzrooEY75AljQxdJrybwfSs3VCu_fPDPdo9rLAErLjRfUFhNdCgtmbRmN4bryMlfGQqNjHhS7vsu4l_3xey2_1GkCGJ8Wibv5lIvMIJI70SUYp0W0egErw/s1600/09-series-coefficients-ex.png)
Обратите внимание, что в первой строке таблицы указаны степени x, начиная с 1 и далее. То есть свободный член разложения (коэффициент при x^0, равный f(0)/0!) здесь не выводится.
Чтобы убедиться в этом, посмотрите еще два аналогичных примера:
SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, n}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqGugsjOXSclKMm84JsILM4CqnwxImB3gowuxq4Cy2y56xh2zGvO-dBKGmdzC-QCNwi1LBXakK7zVFyfT0z_fuPocHxyYt63ujOUrPPEi6l-WIVr8Ig_WYGwrBjh0FKO96z1ScFe1ARH4/s1600/10-series-coefficients.png)
SeriesCoefficient[(1+x)^1/2, {x, 0, n}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh14NvXmRn6HABuJD-95QbCfaDpV1GJyfB3zNKzPKXHBFej6ZtpGoHWcDtATrhDp9t1CpnmfnTWok84mqgOpMQTj49eu8rZXdBgcugsT7zH7ov7WDjr0TJHiSOjodnHRhZhuR2xF5clp0k/s1600/11-series-coefficients.png)
В том случае, когда нужно найти конкретный коэффициент ряда Маклорена для данной функции, например, коэффициент при x^10, используйте запрос вида:
SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, 10}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPHu3Mym365Xe8e0GJFqqev4kK77O60O_xq3fGxqHPIyue9Trx2-XmNU6DW4nEfe4TkJv6d27o6XxBMn9sjdRCCMX7AAykaxKU2mmHBaOaNX5WDsej-T2Y0Mr1x1Vx8Voa6ZHhgCRhN0U/s1600/12-series-coefficients-10.png)
Наконец, если нужно найти несколько коэффициентов ряда для степеней n, например, с 6-й по 12-ю, запрос к Wolfram|Alpha формулируем так:
SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, 6..12}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGAh2fFUeGD_8LLqaTLxD5wFJwZvCRsCDK2lRSns6AD0nfPhA07nPQuR4BmJK9GmAY75WLJqZPuEZWmivmArvZIvfH_Z-bLCLXmib-RXH8nt0pSXNhVG0kFLWlTIBSqXq-7IH5xNOzGM4/s1600/13-series-coefficients-6-12.png)
Если хотите узнать, как выполнять приближенные вычисления при помощи степенных рядов в Wolfram|Alpha, читайте следующий пост.