Как найти длину дуги кривой линии в Wolfram|Alpha

1При помощи интегралов, кроме прочего, можно находить длину дуги кривой линии или площадь кривой поверхности. Длина дуги - это длина кривой, если ее "выпрямить​​", превратить прямую линию. Также ее можно представить, как расстояние, которое вы бы могли пройти, если бы шли от одной точки к другой, двигаясь вдоль кривой, а не непосредственно по прямой между точками.

Для вычисления длины дуги Wolfram|Alpha использует функцию arc length.

Длина дуги плоской кривой

Чтобы понять, для чего это нужно, задумайтесь над тем, сколько троса может понадобится, чтобы построить подвесной мост. Форма, которую принимает провисающий трос, называется "цепная линия" (catenary), но с подвесом, он принимает форму более знакомой кривой - параболы (parabola).

 
Мост Золотые Ворота. Glden Gate Bridge. Картинка из Википедии.
Главный пролет моста Золотые Ворота (Golden Gate Bridge), показанного выше, имеет длину 4200 футов, и подвешен на двух основных тросах, концы которых закреплены на опорах на высоте 500 футов над проезжей частью, а середина - середине пролета моста. Используя эту информацию мы можем использовать Wolfram | Alpha, чтобы найти уравнение параболы, форму которой принимают провисающие тросы подвески моста:

parabola through (0, 500), (2100, 0), (4200, 500)



Теперь, когда уравнение кривой известно, можно с помощью Wolfram | Alpha найти длину троса над главным пролетом моста:

arc length y = x^2 / 8820 - (10x) / 21 + 500, x = 0..4200



Таким образом, длина каждого троса составляет около 4354 футов в длину, чуть больше, чем расстояние между башнями. Обратите внимание, что Wolfram | Alpha показывает также интеграл, который нужно вычислить для нахождения длины дуги, а не только ответ.

Длина дуги пространственной кривой

Одно из обычных упражнений в стандартном курсе интегрального исчисления - найти длину дуги спирали. С прикладной точки зрения, это может быть, например, длина проволоки в катушке или количество ленты, которое потребуется, чтобы обернуть цилиндр, не оставляя промежутков.

Спираль может быть выражена как параметрическая кривая, в которой координаты х и у определяют круг, а координата z линейно возрастает. Например:

arc length (x, y, z) = (sin(t), cos(t), 2t), t =0..10



Длина дуги в полярных координатах

Можно также находить длину дуги кривых в полярных координатах. В приведенном ниже примере, использование переменных r, θ позволяет Wolfram | Alpha догадаться, что данная кривая задана уравнением в полярных координатах:

arc length r = theta*sin(theta), theta = 2..9



Калькулятор для вычисления длины дуги

Не обязательно указывать начальную и конечную точку кривой для вычисления длины дуги с помощью Wolfram | Alpha. Если этого не сделать, то Wolfram | Alpha выведет калькулятор, в котором можно динамически изменять значения.

Например, предположим, нужно узнать длину траектории мяча, брошенного под углом 45° к горизонту с начальной скоростью 50 метров в секунду. Если ввести уравнение движения мяча (известное из механики) и задать только начальный момент времени (t = 0), то можно исследовать, как эта длина меняется при изменении второго значения t:

arc length {x(t) = 35t, y(t) = 35t - 9.8t^2} from 0



На рисунке выше, Wolfram | Alpha автоматически выбрал второе значение значение t=2. Изменяя это значение, можно подобрать, что при t=3.571 получим такой результат:



1По материалам: by Peter Barendse

От себя

Просто запросу arc length Wolfram|Alpha выводит калькулятор для вычисления длины дуги, где можно задать произвольную функцию и указать пределы интегрирования:



Надеюсь, что вам понравилась функция arc length, и я с нетерпением ожидаю следующей возможности доставить вам удовольствием рассказом об интересных и полезных применениях Wolfram|Alpha.

ShareThis