Для нахождения неопределенных двойных интегралов Wolfram|Alpha использует следующий синтаксис:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5Xl5SkFs6CnECF4TjVT3CeQOIQwYcX-p-6lT_ntuhMSn_yKGsjezlB64B_kAKTDHascMDYZA0_uTTigwE4U4dWkzZlsibvHnsA2SvVp7ARqsoLKlhL5xbiyFpLtRtOkh_68FS46hR7Po/s1600/double-integral-0.png)
Важное замечание: обязательно нужно явно указывать переменные интегрирования, добавляя dxdy в конце подынтегрального выражения. Иначе Wolfram|Alpha неправильно интерпретирует запрос на нахождение двойного интеграла.
Для вычисления определенных двойных интегралов нужно просто указать пределы интегрирования. В простейшем случае, вычисление двойного интеграла в Wolfram|Alpha выполняется по запросу следующего вида:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj03IFf5eVjBf3-s7OEv30DvaPUlH634dzfiuaaq3YDJ_piFqwZj58kHiysNVEnGukmzopu4F4a8HIQ_xSxXT1gXT1aLUS9JDBSSllFWdneTBOgi46K5q_RjYl9eQeCRRfRtCmhzXyeTR8/s1600/double-definite-integral-0.png)
Если двойной интеграл имеет переменные пределы, то форма запроса сохраняется. Однако, нужно быть внимательным и явно указывать порядок интегрирования. Так, если переменная x имеет постоянные пределы интегрирования, а переменная y - переменные пределы, то подынтегральное выражение должно заканчиваться символами dydx (сначала dy, а потом dx) (это поможет Wolfram|Alpha правильно определить последовательность повторного интегрирования при вычислении двойного интеграла). То есть корректный запрос на вычисление двойного интеграла в Wolfram|Alpha выглядит так:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0GxS_6lQWDVlvX-RI1Cd6bLWe3MWu3OjhquTtqGOiIB0i6FZ4u2RNj9UZumZ-8XpQkTEvPSoKYBRe-UPcFqFA6G8uhQl7RKH7g_RaDTpPH-nawVeYvBs-61tQ84hIalSLb0pmkDGA6Ds/s1600/double-definite-integral-1.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOENhQbtA2JlsfY8y9OW0TaUb-XSI7wCtNDWbYKjFSQtwLaHjXPu-jTQ7zH4GbISJ5_pZm5pVgv-zUD6Mcbm9gaAwjJckFg-hwVVuEZtzPASmiIl4QAVJWtar1-iPGgHBMF3Tg7vC1K9s/s1600/double-definite-integral-2.png)
Двойные интегралы с бесконечными пределами вычисляются в Wolfram|Alpha аналогично. Вот известный пример:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjup-LbH874tSoBeYyfypCCgCymmRnaheTqsJ55pbOPLPD0GVmpsfkui40rIr9VmHcZ_qtnSIfbqMhBkrTs0XCc8t1vgzsOItG4YzSbA3aeoRQwS-sDLQjptcfNX-vaMLzgqFDd7So5aA0/s1600/double-definite-integral-3.png)
Однако, самый простой способ найти двойной интеграл в Wolfram|Alpha - это воспользоваться калькулятором двойных интегралов.
Калькулятор двойных интегралов в Wolfram|Alpha выводится по запросу
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_q6LHj032FKhiKjqXETUiR0IkgtZebEztU5_wiMHJMUgvdn6icQXTL4pUJgYAoqz-US_nLuKIpmAombpHnaVbXFfHg36mNcdbm-MoTDbVQ-Cy987oV3JWCMP7woB3_npXtPucrVKqFwI/s1600/double-integral-calc.png)
Для нахождения неопределенных двойных интегралов с помощью этого калькулятора здесь нужно сначала ввести свою подынтегральную функцию, затем указать первую и вторую переменную интегрирования, а после этого клацнуть знак "=".
Чтобы вычислить определенный двойной интеграл при помощи калькулятора, нужно указать пределы интегрирования для каждой переменной. Для этого следует последовательно клацнуть ссылки domain of integration for 1st variable и domain of integration for 2nd variable, которые подчеркнуты на этом рисунке:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLTWgKmrTmOuBjNGVmw9tzpUOlyayo5YeDXT_JDAdlKN7Mk5195P5_9pbV-U_XMh6F12PGuKLwitBPc5jVR9-MuH4AqIA3uQTH3M8FDlXhQV_8FMCtvjuqiE7zz7zo64iYoCgaN0GNCsc/s1600/double-integral-calc-2.png)
После этого появится возможность ввести пределы интегрирования, и можно будет вычислить двойной интеграл, нажав кнопку "=":
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio91a64RxTkbPIKm6wJ5uFn18ZXRwowYDmkI4B7HQbqMtXusJ6S3Api9kkVJiLMD4Uoqg4gShj5nCcKkh9YjOuB7ZkqG9p481bH6htvfVdtWdOP6KRbqTrHanN7DtvK7TKtWvPUXbQ9-s/s1600/double-integral-calc-3.png)
Нужно сказать, что Wolfram|Alpha вычисляет двойные интегралы не безупречно. Некоторые интегралы система не вычисляет, а лишь выводит условие примера. Возможно, это объясняется особенностями интернет-подключения, которое использую я.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi5Xl5SkFs6CnECF4TjVT3CeQOIQwYcX-p-6lT_ntuhMSn_yKGsjezlB64B_kAKTDHascMDYZA0_uTTigwE4U4dWkzZlsibvHnsA2SvVp7ARqsoLKlhL5xbiyFpLtRtOkh_68FS46hR7Po/s1600/double-integral-0.png)
Важное замечание: обязательно нужно явно указывать переменные интегрирования, добавляя dxdy в конце подынтегрального выражения. Иначе Wolfram|Alpha неправильно интерпретирует запрос на нахождение двойного интеграла.
Для вычисления определенных двойных интегралов нужно просто указать пределы интегрирования. В простейшем случае, вычисление двойного интеграла в Wolfram|Alpha выполняется по запросу следующего вида:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj03IFf5eVjBf3-s7OEv30DvaPUlH634dzfiuaaq3YDJ_piFqwZj58kHiysNVEnGukmzopu4F4a8HIQ_xSxXT1gXT1aLUS9JDBSSllFWdneTBOgi46K5q_RjYl9eQeCRRfRtCmhzXyeTR8/s1600/double-definite-integral-0.png)
Если двойной интеграл имеет переменные пределы, то форма запроса сохраняется. Однако, нужно быть внимательным и явно указывать порядок интегрирования. Так, если переменная x имеет постоянные пределы интегрирования, а переменная y - переменные пределы, то подынтегральное выражение должно заканчиваться символами dydx (сначала dy, а потом dx) (это поможет Wolfram|Alpha правильно определить последовательность повторного интегрирования при вычислении двойного интеграла). То есть корректный запрос на вычисление двойного интеграла в Wolfram|Alpha выглядит так:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0GxS_6lQWDVlvX-RI1Cd6bLWe3MWu3OjhquTtqGOiIB0i6FZ4u2RNj9UZumZ-8XpQkTEvPSoKYBRe-UPcFqFA6G8uhQl7RKH7g_RaDTpPH-nawVeYvBs-61tQ84hIalSLb0pmkDGA6Ds/s1600/double-definite-integral-1.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOENhQbtA2JlsfY8y9OW0TaUb-XSI7wCtNDWbYKjFSQtwLaHjXPu-jTQ7zH4GbISJ5_pZm5pVgv-zUD6Mcbm9gaAwjJckFg-hwVVuEZtzPASmiIl4QAVJWtar1-iPGgHBMF3Tg7vC1K9s/s1600/double-definite-integral-2.png)
Двойные интегралы с бесконечными пределами вычисляются в Wolfram|Alpha аналогично. Вот известный пример:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjup-LbH874tSoBeYyfypCCgCymmRnaheTqsJ55pbOPLPD0GVmpsfkui40rIr9VmHcZ_qtnSIfbqMhBkrTs0XCc8t1vgzsOItG4YzSbA3aeoRQwS-sDLQjptcfNX-vaMLzgqFDd7So5aA0/s1600/double-definite-integral-3.png)
Однако, самый простой способ найти двойной интеграл в Wolfram|Alpha - это воспользоваться калькулятором двойных интегралов.
Калькулятор двойных интегралов в Wolfram|Alpha выводится по запросу
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_q6LHj032FKhiKjqXETUiR0IkgtZebEztU5_wiMHJMUgvdn6icQXTL4pUJgYAoqz-US_nLuKIpmAombpHnaVbXFfHg36mNcdbm-MoTDbVQ-Cy987oV3JWCMP7woB3_npXtPucrVKqFwI/s1600/double-integral-calc.png)
Для нахождения неопределенных двойных интегралов с помощью этого калькулятора здесь нужно сначала ввести свою подынтегральную функцию, затем указать первую и вторую переменную интегрирования, а после этого клацнуть знак "=".
Чтобы вычислить определенный двойной интеграл при помощи калькулятора, нужно указать пределы интегрирования для каждой переменной. Для этого следует последовательно клацнуть ссылки domain of integration for 1st variable и domain of integration for 2nd variable, которые подчеркнуты на этом рисунке:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLTWgKmrTmOuBjNGVmw9tzpUOlyayo5YeDXT_JDAdlKN7Mk5195P5_9pbV-U_XMh6F12PGuKLwitBPc5jVR9-MuH4AqIA3uQTH3M8FDlXhQV_8FMCtvjuqiE7zz7zo64iYoCgaN0GNCsc/s1600/double-integral-calc-2.png)
После этого появится возможность ввести пределы интегрирования, и можно будет вычислить двойной интеграл, нажав кнопку "=":
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio91a64RxTkbPIKm6wJ5uFn18ZXRwowYDmkI4B7HQbqMtXusJ6S3Api9kkVJiLMD4Uoqg4gShj5nCcKkh9YjOuB7ZkqG9p481bH6htvfVdtWdOP6KRbqTrHanN7DtvK7TKtWvPUXbQ9-s/s1600/double-integral-calc-3.png)
Нужно сказать, что Wolfram|Alpha вычисляет двойные интегралы не безупречно. Некоторые интегралы система не вычисляет, а лишь выводит условие примера. Возможно, это объясняется особенностями интернет-подключения, которое использую я.