Как построить график функции f(x) по результатам проведенного исследования

В этом посте мы наконец-то построим график функции по результатам проведенного ранее исследования.

В серии постов, посвященной реализации общей схемы исследования функции одной переменной с применением Wolfram | Alpha, мы последовательно прошли целый ряд этапов, действуя так, как если бы мы проводили исследование функции "вручную". Wolfram | Alpha при этом мы использовали, как вспомогательный инструмент - своего рода калькулятор на все случаи жизни. Это позволило нам в значительной степени отвлечься от рутинных вычислений и сосредоточиться собственно на исследовании функции. Без Wolfram | Alpha некоторая часть необходимых вычислений оказалась бы слишком трудоемкой для ручных расчетов, и исследование данной функции показалось бы нам слишком сложной задачей.

Именно это соображение - возможность, невзирая на объемность и трудоемкость рутинных вычислений исследовать любые функции, - главный резон в пользу использования Wolfram | Alpha при решении подобного рода задач. Фактически, без ограничения общности решается прежде всего методическое задание - изучить и научиться применять на практике общую схему исследования функции.

Однако, на практике, при решении прикладных задач, навряд ли кто-либо станет идти таким сложным и запутанным путем, если только имеются иные возможности. А они имеются. По ходу решения, эти возможности я систематически рассматривал, и пытался акцентировать на них ваше внимание: это специфические запросы Wolfram | Alpha, которые позволяют " в один клик" по мере надобности находить все отдельные свойства и характерные точки функции. Подробное изложение "практического" подхода к исследованию функции с помощью Wolfram | Alpha, в отличие от "теоретического", которому мы следовали все это время, будет представлено в одном из следующих постов.

Однако, вернемся к заключительному этапу классической общей схемы исследования функции. Это четвертый этап в общей схеме исследования функции. Цель этого этапа - построить по результатам проведенного выше исследования график функции:


Основные задания четвертого этапа состоят в следующем: используя результаты предыдущего исследования построить график функции f(x). Для этого нам понадобятся результаты всех предыдущих этапов исследования функции.

Это задание, особенно для самостоятельной работы учащихся, требует дальнейшей детализации в виде отдельных заданий:

16.1. Начертить систему координат, учитывая найденные ранее область определения данной функции (см. также: область определения функции в Wolfram | Alpha) и множество значений данной функции (см. также: множество значений функции в Wolfram | Alpha). Эти сведения на данном этапе нужны, чтобы начертить систему координат так, чтобы график функции расположился в ней крупным масштабом и по центру, а не как "очень одинокий петух" в поучительной детской книжке про Карлсона, который живет на крыше :)

16.2. Обозначить на оси абсцисс точки разрыва функции. Сведения о точках разрыва были получены при исследовании области определения данной функции.

16.3. Обозначить точки пересечения графика функции с осью абсцисс и точки пересечения с осью ординат.

16.4. Начертить вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

16.5. Обозначить на чертеже с помощью условных обозначений характер поведения функции возле вертикальных асимптот (см. также: изучение разрывных функций).

16.6. Обозначить точки пересечения графика функции с ее асимптотами.

16.7. Обозначить на чертеже точки экстремума функции, угловые точки графика функции (если они есть).

16.8.  Обозначить на чертеже точки перегиба графика функции.

16.9. Начертить график функции с учетом всех обозначений и точек, нанесенных на чертеж. Я не стал здесь этого делать - просто поленился делать это вручную (рисовать график на бумаге, а потом фотографировать или сканировать...). Тем более, что в следующем пункте мы уже получим этот график с помощью Wolfram|Alpha.

17. Проверить визуально правильность построения графика функции, используется запрос: plot f(x) x=a..b, где [a, b] отрезок, который содержит все характерные точки функции, найденные ранее:

plot (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4) x=-3..7



Или запрос asymptotes f(x), который здесь, как и во многих других случаях, выводит более наглядный результат:

asymptotes (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)



18. Осталось, пользуясь полученным графиком функции, проанализировать геометрические свойства построенного графика (симметрия относительно оси ординат и начала отсчета системы координат и др.) и сформулировать выводы относительно свойств четности-нечетности и периодичности данной функции f(x). Эту часть оставляю вам на самостоятельную проработку.

P.S.
Как я обещал в начале этого поста,  в одном из следующих постов будет представлено подробное изложение "практического" подхода к исследованию функции с помощью Wolfram | Alpha, в отличие от "теоретического", которому мы следовали все это время.

ShareThis