vector(12, 20, 8)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghymNHFF_P0Ouw9DIgkjt2BzXLjEG4p7zghs6E0Kyd505Ygi6oRTIEBQAK4Ec4leFB9YvS45UXUyvGVq4333q2FHd6dU_cipGi8nbUbdvRSYhI4HCsP7CaexX9Rke7uKhWql7AFc0JpKo/s1600/vector-3d-properties.png)
Вычисление суммы двух векторов в пространстве:
vector(5,20,15)+(20,5,10)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgb7FL_HiSyZZ4AsmkXuqRUQFRCo9b2seAjEKLwN7elmQslaPGHXindddqtGA4Oil3mLXV4cQ6PK42JoGM2glllnb0xZdMsv10hRq3BCTHbc-fzdpbmKx1ZzVsqhmuaBVwMRgSjb43ZXMY/s1600/vector-3d-sum.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBMODFr0cUTVnnGIkZPF-AG4fswtOO0SOBh7HOmNNgS9FXDM4ZsTlskdHtfC7myAJs7RkjzCa2swUiebEdVUcWwcSE_VI5Mafv2kFLF2BjddT2af3nSC39Qv0OmDRMkYcGlWels1hZQv0/s1600/vector-3d-minus.png)
Для геометрических векторов в пространстве, в отличие от геометрических векторов на плоскости, можно вычислять не только скалярное произведение векторов, но также векторное и смешанное произведение векторов.
Для вычисления скалярного произведения (vector dot product) векторов в пространстве используем знак "точка":
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYYtyImg70CqOJKf_sqy_H8xywW5s3ZTcBuPtr0A28aMEhx_qCzdjqSIHaFwoxEtbn5iBlrynXIje28AR_-EqC-HmEOgnQ1ZHhbQg-1eSc540XEGOAi1VJ8T4p-g89YBOy67DwHiqpgoQ/s1600/vector-3d-dot-product.png)
Соответственно, векторное произведение векторов в пространстве (vector cross product) вычисляется с помощью знака "x" (латиницей):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFVEGr9v920deZa3v0KPgJRWbAh8wGoIf4j527AQo5zdTlS9UDlxE0k_m2k3XioKyK5ZaHQmduc9Xpe55Q-WW5KKhpfx3lzAY7d19srGyZlih2GUDXkVYb8iC24tcK2xXhZ5kqHigO3e4/s1600/vector-3d-cross-product.png)
Наконец, смешанное произведение трех векторов (scalar triple product) получаем по запросу вида:
{a_1, a_2, a_3}.({b-1, b_2, b_3} x {c_1, c_2, c_3})
{a_1, a_2, a_3}.({b-1, b_2, b_3} x {c_1, c_2, c_3})
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj486rsXVAP4cYsqLuZCDReauZttkI5Gi9SxwioYr20u87pOrJAKZUw7rWlDs0bSCDTkPx1asDM1or5AcwB0CWBjQ0yG4zozuvgD4Au34YwgsATZpIPp7nv4CqEDNJOgFOyf4-JTfDw3Xo/s1600/scalar-triple-product.png)
Вычисление смешанного произведения векторов с помощью Wolfram|Alpha в числах выглядит так:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEpU6ZrTxpD5MihMKvAnrM4yp8dK33-lHySa9frTJkGdY4P3ZTQGjLcs7rAW8R8x-E6zSX8dgVl9_NzSQgtGlXTaBTG8Vx24ZfZUoknry5sbWgRe2P-Gj8y1a8t_ns5WWdjMNYMh7CsGk/s1600/scalar-triple-product-2.png)
Последний результат легко проверить опять-таки с помощью Wolfram|Alpha. Как известно, смешанное произведение векторов вычисляется. как определитель, составленный из координат этих векторов:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO6rd5lCfyhBR4L-rEfdTlg3zgt2R-9TRrfHyJWIPSAUzpjMntNaYk8rGdF8P8pUM2uvcCMwjFmHjg_9XKtthLTe0Qxn2Xis0qO9bXXnF8iGKhRHEv-oKLdWss-Ncpv_VhgeGoI44GLxQ/s1600/compute-scalar-triple-product.png)
Поэтому,
(1, 2, 3).((4,5,6)x(7,8,9)) = det((1, 2, 3),(4,5,6),(7,8,9))
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHAGmcD1NgyNffpOXpiG_hbJlW1xfJcxQf5dc5nJttkkGfmPBJSyPdyEf0BMMxnAykMoi8Bi_SSV4eZ33_hevR0QtfCGppx-WQux3uWepJD5KS7cmfbKsrY-pVZGL4-v3j4eLj9ml8Usc/s1600/scalar-triple-product-3.png)
Угол между двумя векторами в пространстве вычисляется в Wolfram|Alpha так же, как и угол между двумя векторами на плоскости.
Если у вас есть другие вопросы про геометрические векторы в пространстве, пишите в комментарии.