Пусть даны векторы:
Чтобы разложить вектор b по базису a1, a2, a3, a4 выполним запрос:
LinearSolve[{{1, 1, 1, -1}, {2, 1, 1, -2}, {1, 1, 2, 1}, {1, 1, 2, 4}}, {1, 1, 1, 2}]
Таким образом, разложение вектора b по базису a1, a2, a3, a4 имеет вид:
Далее, для самых любознательных, приводится краткое обоснование этого способа.
Базисом n-мерного пространства служит любая система n линейно независимых n-мерных векторов.
Ранее уже рассмотрена линейная зависимость векторов в Wolfram|Alpha, и было показано, как с помощью Wolfram|Alpha можно проверить, являются ли данные векторы линейно независимыми.
Задача "разложить, вектор b по базисным векторам a1, a2 ..., an", означает - выразить вектор b через базисные векторы a1, a2, ..., an, то есть - найти коэффициенты x1, x2,..., xn, при которых линейная комбинация векторов a1, a2, ..., an равна вектору b:
Коэффициенты x1, x2,..., xn этого разложения (этой линейной комбинации) являются координатами вектора b в базисе a1, a2, ..., an.
Указанное векторное уравнение можно представить в координатной форме:
В свою очередь, это уравнение эквивалентно следующей системе линейных алгебраических уравнений, в которой координаты вектора b в базисе a1, a2, ..., an в базисе являются неизвестными:
Вот почему, чтобы разложить вектор b по базису a1, a2, ..., an (то есть найти его координаты x1, x2,..., xn в этом базисе) нужно просто составить и решить систему линейных алгебраических уравнений, указанную выше. В данном случае, для этого лучше всего использовать Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Именно это и было сделано в начале этой статьи.