Пусть даны векторы:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihUVqFQ9gPgnINWaDLI0-TnQKy1jFkjlmnuNDYkh2WmQZoNzyt_IurhrFEM2RlWXcLAk4JlYiCOsnELgjPO5KA70CGEKkTLzoGxJMxdUsjJk6RZg8P_vkrBeMkmvvdbDB_cXwKQXJNf7A/s1600/vector-basis-task.png)
Чтобы разложить вектор b по базису a1, a2, a3, a4 выполним запрос:
LinearSolve[{{1, 1, 1, -1}, {2, 1, 1, -2}, {1, 1, 2, 1}, {1, 1, 2, 4}}, {1, 1, 1, 2}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS24LL_jBjZt6o7G2wuiifz6i2fBZS5-7S-tFjuz911SOFWESu3CLj6vmes-xBZeYv2a2m77myupvKeOnqBmDy8D8xYs09jDPXGqXyp87svMilYG3qUNvrPpk4EzzKNYzpMmTiG-qpHe8/s1600/vector-b-basis.png)
Таким образом, разложение вектора b по базису a1, a2, a3, a4 имеет вид:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZJHHYEHbDupyPBzRGTjM0a0Zi9Lk0oNPeMMnfXRSOp9e3ZEX6ofQuIed_0-x4V_oL-Bg3x3VPAnF44hl65VMcy5MvbdL_6vEmgaUhmDX5qEsAOIbck1qsq-v70AqO6NrdyY5WO6VbwDE/s1600/rozklad-vector.png)
Далее, для самых любознательных, приводится краткое обоснование этого способа.
Базисом n-мерного пространства служит любая система n линейно независимых n-мерных векторов.
Ранее уже рассмотрена линейная зависимость векторов в Wolfram|Alpha, и было показано, как с помощью Wolfram|Alpha можно проверить, являются ли данные векторы линейно независимыми.
Задача "разложить, вектор b по базисным векторам a1, a2 ..., an", означает - выразить вектор b через базисные векторы a1, a2, ..., an, то есть - найти коэффициенты x1, x2,..., xn, при которых линейная комбинация векторов a1, a2, ..., an равна вектору b:
Коэффициенты x1, x2,..., xn этого разложения (этой линейной комбинации) являются координатами вектора b в базисе a1, a2, ..., an.
Указанное векторное уравнение можно представить в координатной форме:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiaXfLT5saLD3OKWLHIGMsfK7zHBkP3AyWm9985bNY6GFjp6PM1TpjnWT9vJtL5vrolan7DEQhItBe1iPfWCE84MMzv5xvlF8E6g1Q_Jf7r5jCZJYbfotB0tkqaiiUgh5IKtgqcOj-VTI/s1600/vector-sysnem-2.png)
В свою очередь, это уравнение эквивалентно следующей системе линейных алгебраических уравнений, в которой координаты вектора b в базисе a1, a2, ..., an в базисе являются неизвестными:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieYnGMjQX4SWyWZXaJKKsoUKywayJlRIz-cIw01A3z_Qgu-ha6V00I74yBKljDIMj-CG0_0pbjoVZ9jsRi-9JxSF8jtfISSdKvoRbySdOUxU0AGqiDGNVAKgod37CYDihi8FEjMKhJwOc/s1600/vector-basis-slar-system.png)
Вот почему, чтобы разложить вектор b по базису a1, a2, ..., an (то есть найти его координаты x1, x2,..., xn в этом базисе) нужно просто составить и решить систему линейных алгебраических уравнений, указанную выше. В данном случае, для этого лучше всего использовать Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Именно это и было сделано в начале этой статьи.