Линейная зависимость векторов в Wolfram|Alpha

Линейная зависимость и независимость системы векторов - один из важных вопросов в курсе линейной алгебры. Это связано с тем, что система n линейно независимых n-мерных векторов образует базис n-мерного пространства.

Если спрашивается, являются ли данные векторы линейно независимыми, это означает, что нужно проверить, образуют ли данная система векторов базис. И наоборот.

Как же проверить, являются ли данные векторы линейно независимыми?

Рассмотрим такую систему векторов: {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}.

Чтобы проверить, являются ли эти векторы линейно независимыми, достаточно вычислить определитель, составленный из их координат. Если такой определитель НЕ равен нулю, то данные векторы линейно независимы. Проверим:

det {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}



Итак, этот определитель не равен нулю (он равен -12). А это значит, что данная система векторов линейно независима, то есть образует базис 3-мерного пространства.

Система Wolfram|Alpha позволяет выполнить проверку линейной зависимость или независимости векторов несколько проще - при помощи запросов linear dependence и linear independence.

Например, проверим линейную зависимость системы векторов {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}} с помощью запроса linear dependence:

linear dependence {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}



Можно непосредственно убедиться, что запрос linear independence дает аналогичный результат:

linear independence {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}

Поэтому на практике, чтобы проверить зависимость или независимость системы векторов в Wolfram|Alpha, можно использовать любой из этих запросов по вашему усмотрению.

Запрос linear dependence аналогично применяется для любой системы векторов. В качестве примера, проверим линейную зависимость системы четырех 4-мерных векторов:

linear dependence {{1, 2, 3, 4}, {3, 2, 1, 5}, {2, 1, 3, 6}, {4, 5, 6, 7}}



В n-мерном пространстве любые (n+1) векторов линейно зависимы. В этом легко убедиться непосредственно на примере 3-мерного пространства:

linear dependence {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}, {-2, -1, 3}}



Это результат с помощью Wolfram|Alpha легко получить в общем виде:

linear dependence {{a_11, a_12, a_13}, {a_21, a_22, a_23}, {a_31, a_32, a_33}, {a_41, a_42, a_43}}



Проверка линейной зависимости и независимости системы векторов, это, обычной, первый этап более сложной задачи - найти разложение вектора по базису. Но эта задача будет рассмотрена нами в другом посте.