Таблица умножения в Wolfram|Alpha

Приветствую Вас, уважаемый читатель!

Посмотрите еще раз на эти символы. Знаете ли Вы, что они означают?

Признаюсь, я тоже этого не знал. И, думаю, навряд ли узнал бы, если бы не Wolfram|Alpha!

К чему это я? Да к тому, что у тех, кто систематически читает блог "Wolfram|Alpha по русски" может сложится впечатление, что Wolfram|Alpha - это математический монстр, который может по-настоящему пригодиться лишь тем, кто постоянно витает в сферах высшей математики. Если это так, прошу прощения - я вовсе не хотел, чтобы Вы так думали.

Напротив, я хочу показать Вам, что Wolfram|Alpha имеет очень широкую и разнообразную сферу применения. Надеюсь, со временем, я это Вам докажу. И даже для изучения элементарной математики Wolfram|Alpha может оказаться весьма полезным инструментом.

Надо сказать, что мои записки в этом блоге в значительной степени отражают те текущие задачи, которые мне приходится ежедневно решать в связи с моей основной деятельностью - преподаванием высшей математики и других математических дисциплин.

Вот и на этот раз, когда по ходу возникла срочная необходимость организовать повторение таблицы умножения, я первым делом подумал о Wolfram|Alpha.

Конечно, можно было бы и дальше использовать на занятиях калькуляторы в мобильных телефонах. Но, многолетняя практика показывает, что для более-менее успешного изучения математических дисциплин, кое-что обязательно нужно знать на память. Этого кое-чего не так уж много. И главное в этом перечне фактов, обязательных для запоминания - это, прежде всего, таблица умножения, таблица производных основных элементарных функций, и, конечно же, таблица интегралов.

Многие еще помнят, что в старых строгих школьных тетрадках в клеточку на задней стороне обложки обязательно была напечатана таблица умножения. Теперь тетрадки другие - с веселыми цветными обложками. А таблица умножения на них встречается довольно редко. В то же время, компьютер или смартфон с доступом к Интернету - самая обычная вещь.

Например, вот как выглядит мобильная версия Wolfram|Alpha на мобильных устройствах моих студентов:



Поэтому, если Вы вдруг подзабыли таблицу умножения :), то Вам, скорее всего, будет проще обратиться к Wolfram|Alpha с запросом multiplication table, чем найти тетрадку с таблицей умножения.

Как построить график функции f(x) по результатам проведенного исследования

В этом посте мы наконец-то построим график функции по результатам проведенного ранее исследования.

В серии постов, посвященной реализации общей схемы исследования функции одной переменной с применением Wolfram | Alpha, мы последовательно прошли целый ряд этапов, действуя так, как если бы мы проводили исследование функции "вручную". Wolfram | Alpha при этом мы использовали, как вспомогательный инструмент - своего рода калькулятор на все случаи жизни. Это позволило нам в значительной степени отвлечься от рутинных вычислений и сосредоточиться собственно на исследовании функции. Без Wolfram | Alpha некоторая часть необходимых вычислений оказалась бы слишком трудоемкой для ручных расчетов, и исследование данной функции показалось бы нам слишком сложной задачей.

Именно это соображение - возможность, невзирая на объемность и трудоемкость рутинных вычислений исследовать любые функции, - главный резон в пользу использования Wolfram | Alpha при решении подобного рода задач. Фактически, без ограничения общности решается прежде всего методическое задание - изучить и научиться применять на практике общую схему исследования функции.

Однако, на практике, при решении прикладных задач, навряд ли кто-либо станет идти таким сложным и запутанным путем, если только имеются иные возможности. А они имеются. По ходу решения, эти возможности я систематически рассматривал, и пытался акцентировать на них ваше внимание: это специфические запросы Wolfram | Alpha, которые позволяют " в один клик" по мере надобности находить все отдельные свойства и характерные точки функции. Подробное изложение "практического" подхода к исследованию функции с помощью Wolfram | Alpha, в отличие от "теоретического", которому мы следовали все это время, будет представлено в одном из следующих постов.

Никто кроме Вас не поможет мне выиграть ЭТО пари!

Здравствуйте, уважаемый читатель!

Надеюсь, что читая время от времени сообщения в этом блоге, Вы получаете от них пользу и такое же удовольствие, какое получаю я - автор этого блога, когда пишу их для Вас! Если так, то я очень рад этому. Ведь это значит, что я делаю это не зря, и кому-то это нужно.

Рассчитывая на Ваше хорошее отношение ко мне, как к автору этого блога и как к человеку, который бескорыстно отдает свое свободное время на благо всех и каждого, разбираясь с особенностями применения системы Wolfram|Alpha для изучения математики, обращаюсь к Вам с необычной просьбой.

Суть моей просьбы состоит в следующем: Помогите мне выиграть пари!

Как найти точки перегиба функции f(x) в Wolfram|Alpha

Здравствуйте, уважаемый читатель!

Как Вы помните, в предыдущем посте мы нашли критические точки второго рода данной функции



Мы определили, что у данной функции всего лишь одна критическая точка второго рода x=1.04905.

Теперь воспользуемся достаточным условием существования точек перегиба, чтобы определить, действительно ли эта точка является точкой перегиба или же она таковой не является.

Для этого последовательно выполним следующие шаги.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции f(x). Для этого нам следует найти интервалы знакопостоянства второй производной f`''(x), используя запросы solve f`''(x)>0 и solve f`''(x)<0 или просто f`''(x)>0 и f`''(x)<0.

Вот, как выглядит результат запроса f`''(x)>0, который позволяет определить интервалы вогнутости (выпуклости вниз) для данной функции:

d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))>0


Аналогично, по запросу  f`''(x)<0, найдем интервалы выпуклости (вверх) для данной функции:

d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))<0



Сделать выводы относительно точки перегиба. Теперь, когда у нас имеются все необходимые сведения, можно, используя достаточное условие существования точек перегиба, сделать выводы относительно точек перегиба функции функции f(x).

Для  удобства и наглядности, как и при отыскании точек экстремума, нанесем точки разрыва функции и найденную выше критическую точку второго рода на числовую ось:
number line -1, 0, 1.04905, 3



Используя достаточный признак существования точек перегиба функции одной переменной, определим, действительно ли найденная выше критическая точка второго рода является точкой перегиба графика данной функции (все отметки на этом рисунке, как и выше, сделаны мною вручную "на скорую руку"):



Итак, вывод относительно точки перегиба сделан: критическая точка второго рода x=1.04905 действительно является точкой перегиба. Позже этот результат мы проверим другим способом, который имеется в арсенале Wolfram|Alpha.

Осталось только вычислить значения функции f(x) в точках перегиба. Для этого используется запрос вида f(x), where x=…

(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)), where x=1.04905



Wolfram|Alpha позволяет легко проверить наши выводы относительно точки перегиба, а также непосредственно последний результат, можно с помощью запроса inflection points f(x), который специально предназначен именно для отыскания точек перегиба:

inflection points (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))



Как видим, результаты практически совпадают (с точностью до тысячных).

Итак, основная работа по реализации общей схемы исследования функции с помощью Wolfram|Alpha нами проделана.

Остался следующий этап в общей схеме исследования функции - построение графика функции по результатам исследования. Этот этап будет рассмотрен нами далее.

ShareThis