Как найти точки экстремума функции f(x) в Wolfram|Alpha

Здравствуйте, дорогой читатель!

Продолжим изучение возможностей Wolfram|Alpha относительно реализации общей схемы исследования функции одной переменной f(x) на примере функции



Возможно, дочитав эту статью до конца, Вы скажете, что ее название не совсем удачное. И я с Вами соглашусь. Действительно, для отыскания точек экстремума в Wolfram|Alpha не обязательно прибегать к такой изощренной последовательности действий, как описано в этой и предыдущих статьях. Этот способ будет указан далее. Однако, если речь идет о реализации классической общей схемы исследования функции одной переменной средствами Wolfram|Alpha , то без этого шага, описанного в этой статье, никак не обойтись.

После последовательного выполнения предыдущих пунктов общей схемы исследования функции, теперь можно сделать вывод относительно точек экстремума функции функції f(x) по результатам п. п. 8 и 9 (1-е и 2-е задание 2-го этапа общей схемы исследования функции, соответственно). Для этого воспользуемся первым достаточным признаком существования экстремума функции одной переменной.
Для наглядности, нанесем все характерные точки данной функции, полученные в результате предыдущего исследования, на числовую ось:

number line -1.4595, -1, -0.795307, 0, 3, 5.92552



Используя первый достаточный признак существования экстремума функции одной переменной, определим точки экстремума (все отметки на этом рисунке сделаны мною вручную "на скорую руку"):



Итак, выводы относительно точек экстремума сделаны. Позже их можно будет проверить другим способом, который имеется в арсенале Wolfram|Alpha.

Как найти интервалы монотонности функции f(x) в Wolfram|Alpha

Здравствуйте, дорогой читатель!

Продолжаем изучение возможностей Wolfram|Alpha относительно реализации общей схемы исследования функции одной переменной f(x) на примере функции



После того, как нами найдены критические точки первого рода функции f(x), возникает следующий вопрос: Как найти интервалы монотонности функции f(x) в Wolfram|Alpha?

В предыдущих статьях был подробно рассмотрен первый этап общей схемы исследования функции, который включает в себя 7 основных заданий, с которыми можно ознакомится здесь. Как отмечалось, на первом этапе производная не применяется.

Решение заданий второго этапа уже требует применения производной, поскольку цель второго этапа - найти критические точки первого рода, интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремальные значения функции, угловые точки графика функции.

Первое задание второго этапа (но же восьмое по счету в общей схеме исследования функции) нами уже решено в предыдущей статье. Это задание: найти критические точки первого рода функции f(x).

Рассмотрим теперь второе задание второго этапа общей схемы исследования функции - оно же 9-е по счету в общей схеме исследования функции. Нам нужно найти интервалы монотонности функции f(x).

Вот, как это задание решается с помощью Wolfram|Alpha.

Сначала следует найти производную данной функции. Для данной функции производная найдена в предыдущей статье с помощью такого запроса:

d/dx (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))

Затем ищем непосредственно интервалы знакопостоянства производной f`(x), которые и являются интервалами монотонности данной функции, для этого используются запросы на решение неравенств: solve f`(x)>0 (интервалы возрастания) и solve f`(x)<0 (интервалы убывания).

Для данной функции интервалы возрастания:

solve (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)>0



Аналогично, интервалы убывания функции:

solve (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)<0




Чтобы окончательно сформулировать решение поставленного задания - найти интервалы монотонности функции f(x) - внимательно изучите результаты, которые выводит Wolfram|Alpha в ответ на эти запросы. На рисунках видны начало и конец каждого интервала: они подчеркнуты мною, чтобы вам было удобнее их видеть.

Как найти критические точки первого рода функции f(x)

Общую схему исследования функции удобно делить на этапы.

Первый этап исследования функции, который не требует привлечения производной, уже рассмотрен нами выше. Этот этап включает выполнение семи основных заданий:
  1. Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва
  2. Найти множество значений функции f(x)
  3. Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x))
  4. Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy
  5. Найти асимптоты графика функции f(x)
  6. Исследовать поведение функции f(x) возле ее вертикальных асимптот
  7. Найти координаты точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами
На втором этапе для исследования функции уже применяется производная. Цель второго этапа - найти критические точки первого рода, интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремальные значения функции, угловые точки графика функции (используется первая производная).

Рассмотрим первое задание второго этапа (оно восьмое по счету в общей схеме исследования функции): найти критические точки первого рода (точки, где производная функции f(x) равна нулю или не существует).

Вот, как это задание решается с помощью Wolfram|Alpha для функции:



Сначала находим производную функции f(x), используется запрос: d/dx f(x):

d/dx (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))



Далее находим действительные нули производной, используется запрос: real roots of f`(x)Здесь, чтобы не вводить все выражение производной вручную заново можно щелкнуть это выражение в предыдущем окне - откроется новая страница, где выражение производной уже будет введено в поле запроса Wolfram|Alpha:




Кстати, это выражение для дальнейшего полезно скопировать в буфер обмена (и для надежности сохранить в Блокноте).

Теперь добавим перед производной префикс real roots of и выполним запрос - найдем действительные нули производной:

real roots of (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)




Два предыдущих действия можно объединить в одно: real roots of d/dx f(x).

real roots of d/dx[(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))]



И эти результаты тоже совпадают.

Теперь находим точки разрыва производной f'(x), которые принадлежат области определения функции f(x): domain f'(x).

domain (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)



Как видим, в данном случае область определения производной совпадает с областью определения функции. Поэтому в области определения функции производная функции разрывов не имеет. А значит, существует во всех точках области определения функции. Потому, в частности, график функции не имеет угловых точек - "переломов".

Косвенно проверить этот результат можно с помощью запроса corners f(x), который выводит координаты угловых точек (точек "перелома") графика функции:

corners (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))



Итак, восьмое задание в общей семе исследования функции решено. На очереди 9-е задание: Определить интервалы монотонности функции f(x). Как его решить? Об этом - в следующем посте.

Координаты точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами

Вопрос, вынесенный в заголовок этого поста, обычно не включают в классическую общую схему исследования функции. Причины этого банальны - трудоемкость и экономия времени. Однако, для получения более детального представления об изучаемой функции знание координат точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами представляется достаточно важным, чтобы уделить ему внимание. Тем более, что вопросы трудоемкости и экономии времени при использовании Wolfram|Alpha, как вспомогательного инструмента, отступают практически на последний план.

Продолжим изучение реализации общей схемы исследования функции одной переменной с помощью Wolfram|Alpha. Напомню, что в качестве примера мы избрали функцию


Пока что мы находимся на первом этапе общей схемы исследования функции, в который кроме темы данного поста вошли следующие вопросы, выяснение которых "вручную" (без Wolfram|Alpha) обычно занимает достаточно много времени. Вот эти вопросы, уже рассмотренные нами ранее:
  1. Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва.
  2. Найти множество значений функции f(x).
  3. Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).
  4. Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy.
  5. Найти асимптоты графика функции f(x).
  6. Поведение функции f(x) возле ее вертикальных асимптот.
Теперь рассмотрим 7-е задание, которое обычно не включают в классическую схему исследования функции - найдем координаты точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами (кроме вертикальных), если они есть.

Сначала найдем абсциссы точек пересечения графика функции f(x) и ее асимптоты g(x). для этого используется запрос real roots of f(x)=g(x).

Поскольку наклонная асимптота данной функции уже была найдена ранее, то в нашем случае данный запрос имеет вид:

real roots of (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))=-5x-14



Таким образом, график данной функции пересекается со его наклонной асимптотой в трех точках, абсциссы которых мы только что нашли.

Теперь, чтобы найти ординаты точек с найденными абсциссами x=a, b, c, … используем запрос f(x) where x=a, b, c, …

y=(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)) where x=-0.82909, -0.72703, 0.488718



Эти расчетом заканчивается первый этап исследования функции одной переменной.

ShareThis