Как найти критические точки первого рода функции f(x)

Общую схему исследования функции удобно делить на этапы.

Первый этап исследования функции, который не требует привлечения производной, уже рассмотрен нами выше. Этот этап включает выполнение семи основных заданий:
  1. Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва
  2. Найти множество значений функции f(x)
  3. Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x))
  4. Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy
  5. Найти асимптоты графика функции f(x)
  6. Исследовать поведение функции f(x) возле ее вертикальных асимптот
  7. Найти координаты точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами
На втором этапе для исследования функции уже применяется производная. Цель второго этапа - найти критические точки первого рода, интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремальные значения функции, угловые точки графика функции (используется первая производная).

Рассмотрим первое задание второго этапа (оно восьмое по счету в общей схеме исследования функции): найти критические точки первого рода (точки, где производная функции f(x) равна нулю или не существует).

Вот, как это задание решается с помощью Wolfram|Alpha для функции:



Сначала находим производную функции f(x), используется запрос: d/dx f(x):

d/dx (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))



Далее находим действительные нули производной, используется запрос: real roots of f`(x)Здесь, чтобы не вводить все выражение производной вручную заново можно щелкнуть это выражение в предыдущем окне - откроется новая страница, где выражение производной уже будет введено в поле запроса Wolfram|Alpha:




Кстати, это выражение для дальнейшего полезно скопировать в буфер обмена (и для надежности сохранить в Блокноте).

Теперь добавим перед производной префикс real roots of и выполним запрос - найдем действительные нули производной:

real roots of (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)




Два предыдущих действия можно объединить в одно: real roots of d/dx f(x).

real roots of d/dx[(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))]



И эти результаты тоже совпадают.

Теперь находим точки разрыва производной f'(x), которые принадлежат области определения функции f(x): domain f'(x).

domain (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)



Как видим, в данном случае область определения производной совпадает с областью определения функции. Поэтому в области определения функции производная функции разрывов не имеет. А значит, существует во всех точках области определения функции. Потому, в частности, график функции не имеет угловых точек - "переломов".

Косвенно проверить этот результат можно с помощью запроса corners f(x), который выводит координаты угловых точек (точек "перелома") графика функции:

corners (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))



Итак, восьмое задание в общей семе исследования функции решено. На очереди 9-е задание: Определить интервалы монотонности функции f(x). Как его решить? Об этом - в следующем посте.

ShareThis