Общую схему исследования функции удобно делить на этапы.
Первый этап исследования функции, который не требует привлечения производной, уже рассмотрен нами выше. Этот этап включает выполнение семи основных заданий:
Первый этап исследования функции, который не требует привлечения производной, уже рассмотрен нами выше. Этот этап включает выполнение семи основных заданий:
- Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва.
- Найти множество значений функции f(x).
- Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).
- Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy.
- Найти асимптоты графика функции f(x).
- Исследовать поведение функции f(x) возле ее вертикальных асимптот.
- Найти координаты точек пересечения графика функции f(x) с ее асимптотами
Рассмотрим первое задание второго этапа (оно восьмое по счету в общей схеме исследования функции): найти критические точки первого рода (точки, где производная функции f(x) равна нулю или не существует).
Вот, как это задание решается с помощью Wolfram|Alpha для функции:
Сначала находим производную функции f(x), используется запрос: d/dx f(x):
d/dx (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-octyZufP7XZLnFsp_U47xy4TNO59D68S0VBFxozeL5neEV-RcfylPkeUS_giD-v8FcZX6xlt7u-JxFEE3IgPIgCFgWalHBCLgrXDVzPmTpOMnEAhavh4q6V170a4tGa7wB2C_W5sRNY/s1600/diff-function.png)
Далее находим действительные нули производной, используется запрос: real roots of f`(x). Здесь, чтобы не вводить все выражение производной вручную заново можно щелкнуть это выражение в предыдущем окне - откроется новая страница, где выражение производной уже будет введено в поле запроса Wolfram|Alpha:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCKf5TEAHybRwwlzZgmLgy_WjX6Z2FJxCQ3pi0_CcSHCrY2SrFRhxhvQEqQc_lJAnCkaEGkMlzY47kLCOr9vzQ47drLo0vIthIdzKkyD_wnvV3scd12XsbIo_gcgBqGI68l7ABSPA19fU/s1600/diff-function-click.png)
Кстати, это выражение для дальнейшего полезно скопировать в буфер обмена (и для надежности сохранить в Блокноте).
Теперь добавим перед производной префикс real roots of и выполним запрос - найдем действительные нули производной:
real roots of (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioryPO2Ig_XRhdZgEvSp45j8ORJ_6N8K0ACj-ytf_6e2iT0NP-JGaLDGg_5fl_iSnKGrxJ4Y7ulAdPoPPbOFcZK2n2UJlaZd9QeIm2S1ALCO2hdWgR-VA14GkAzxsiZcuMXArATuSvi1g/s1600/real-roots-diff.png)
Два предыдущих действия можно объединить в одно: real roots of d/dx f(x).
real roots of d/dx[(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiB7h4KwJaVtRxEmAxmjo7NMTEiBjsa8B_SFtMZ0xa8HeZMRzANUDlbBsFPB_KW7WgBxysGKgaxgSAE18YCILqvx8YVMm7oDOtimi-H5UxjGzNIWhxPv2GTAV2Kz_Vt7COUoFCMqzcTWD0/s1600/real-roots-diff-2.png)
И эти результаты тоже совпадают.
Теперь находим точки разрыва производной f'(x), которые принадлежат области определения функции f(x): domain f'(x).
domain (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtMOkD0wHhEgIFP5lbfrOp-RlLwRRyNqshGVSBwbsplVV8tS1Dnrg0NNWplLYvJEUhx6RkvGvMPmwsTdj5xcSG2PGtkbDU9rA84Cp8nsKafw_85hRZ6NYaVhgC2nLEiMoJiMBwoTAIC5s/s1600/domain-diff.png)
Как видим, в данном случае область определения производной совпадает с областью определения функции. Поэтому в области определения функции производная функции разрывов не имеет. А значит, существует во всех точках области определения функции. Потому, в частности, график функции не имеет угловых точек - "переломов".
Косвенно проверить этот результат можно с помощью запроса corners f(x), который выводит координаты угловых точек (точек "перелома") графика функции:
corners (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFvQthS2rE9Fb9o9QG88cbm6Dk4KVpDIWxfg9vieWgZy6FdQM-m5wC34nD3q9luQsKsqqp5yz38EesPp7BBwS6Qzrx__BwLU-8nx_EmJlDVQH4Dev70QkHatC9pB5lQX5KK9E-NVw6PcI/s1600/coners-function.png)
Итак, восьмое задание в общей семе исследования функции решено. На очереди 9-е задание: Определить интервалы монотонности функции f(x). Как его решить? Об этом - в следующем посте.
Вот, как это задание решается с помощью Wolfram|Alpha для функции:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgszWQzAA2ScWaeHMycJhTz3_wrf2ZuwRZ1pWKaQuYmO-yCB1AL-ADZeGfoos_1XIQ8mYKdihu9-PV7O-qWT0wAsBkQahUbAT54_f5OXP2fo4pPvFhKE4nFNcXR6fMW_gNYI9ExFnoipw4/s1600/function-example.png)
Сначала находим производную функции f(x), используется запрос: d/dx f(x):
d/dx (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-octyZufP7XZLnFsp_U47xy4TNO59D68S0VBFxozeL5neEV-RcfylPkeUS_giD-v8FcZX6xlt7u-JxFEE3IgPIgCFgWalHBCLgrXDVzPmTpOMnEAhavh4q6V170a4tGa7wB2C_W5sRNY/s1600/diff-function.png)
Далее находим действительные нули производной, используется запрос: real roots of f`(x). Здесь, чтобы не вводить все выражение производной вручную заново можно щелкнуть это выражение в предыдущем окне - откроется новая страница, где выражение производной уже будет введено в поле запроса Wolfram|Alpha:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCKf5TEAHybRwwlzZgmLgy_WjX6Z2FJxCQ3pi0_CcSHCrY2SrFRhxhvQEqQc_lJAnCkaEGkMlzY47kLCOr9vzQ47drLo0vIthIdzKkyD_wnvV3scd12XsbIo_gcgBqGI68l7ABSPA19fU/s1600/diff-function-click.png)
Кстати, это выражение для дальнейшего полезно скопировать в буфер обмена (и для надежности сохранить в Блокноте).
Теперь добавим перед производной префикс real roots of и выполним запрос - найдем действительные нули производной:
real roots of (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioryPO2Ig_XRhdZgEvSp45j8ORJ_6N8K0ACj-ytf_6e2iT0NP-JGaLDGg_5fl_iSnKGrxJ4Y7ulAdPoPPbOFcZK2n2UJlaZd9QeIm2S1ALCO2hdWgR-VA14GkAzxsiZcuMXArATuSvi1g/s1600/real-roots-diff.png)
Два предыдущих действия можно объединить в одно: real roots of d/dx f(x).
real roots of d/dx[(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiB7h4KwJaVtRxEmAxmjo7NMTEiBjsa8B_SFtMZ0xa8HeZMRzANUDlbBsFPB_KW7WgBxysGKgaxgSAE18YCILqvx8YVMm7oDOtimi-H5UxjGzNIWhxPv2GTAV2Kz_Vt7COUoFCMqzcTWD0/s1600/real-roots-diff-2.png)
И эти результаты тоже совпадают.
Теперь находим точки разрыва производной f'(x), которые принадлежат области определения функции f(x): domain f'(x).
domain (36+30 x-18 x^2+24 x^6+53 x^7+20 x^8-5 x^9)/(x^5 (-3-2 x+x^2)^2)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtMOkD0wHhEgIFP5lbfrOp-RlLwRRyNqshGVSBwbsplVV8tS1Dnrg0NNWplLYvJEUhx6RkvGvMPmwsTdj5xcSG2PGtkbDU9rA84Cp8nsKafw_85hRZ6NYaVhgC2nLEiMoJiMBwoTAIC5s/s1600/domain-diff.png)
Как видим, в данном случае область определения производной совпадает с областью определения функции. Поэтому в области определения функции производная функции разрывов не имеет. А значит, существует во всех точках области определения функции. Потому, в частности, график функции не имеет угловых точек - "переломов".
Косвенно проверить этот результат можно с помощью запроса corners f(x), который выводит координаты угловых точек (точек "перелома") графика функции:
corners (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFvQthS2rE9Fb9o9QG88cbm6Dk4KVpDIWxfg9vieWgZy6FdQM-m5wC34nD3q9luQsKsqqp5yz38EesPp7BBwS6Qzrx__BwLU-8nx_EmJlDVQH4Dev70QkHatC9pB5lQX5KK9E-NVw6PcI/s1600/coners-function.png)
Итак, восьмое задание в общей семе исследования функции решено. На очереди 9-е задание: Определить интервалы монотонности функции f(x). Как его решить? Об этом - в следующем посте.