Преобразование координат и деформация кривых в Вольфрам Альфа

Статья содержит примеры, которые иллюстрируют утверждение о том, что геометрические деформации эквивалентны преобразованию координат.


Элементарные геометрические преобразования с помощью Вольфрам Альфа были рассмотрены ранее в статье Отражение, поворот и сдвиг точек в Wolfram|Alpha. Персонаж, использованный в примерах далее (математическая кривая - изображение Санта-Клауса), встречается также в статьях Санта Клаус и Вольфрам Альфа,  С Новым Годом! Как создать оригинальное поздравление с помощью Вольфрам Альфа, а также в ряде постов, посвященных теме Графики функций.

Начнем с того, что посмотрим на оригинальное изображение (при этом для удобства выключим отображение осей координат):

Santa-like curve image axes false


Важно учесть, что это изображение Санты, собственно, есть параметрическая кривая x(t), y(t). Причем, параметр t принимает значения от 0 до 100*Pi.

Теперь посмотрим, как изменится форма этой кривой, если применить к параметру t квадратичное преобразование, то есть заменить в параметрическом уравнении кривой параметр t на t^2. Этот пример иллюстрирует деформацию параметрической кривой при квадратичном преобразовании параметра: 

squared image of Santa-like curve


Кажется, здесь Санта немного похудел, а его мешок, наоборот, увеличился. По-моему, выглядит это комично.


Для сравнения, сразу же посмотрим обратное преобразование, при котором параметр t заменяется на квадратный корень (square root) из t:

square root image of Santa-like curve


Теперь, как видим, Санта, наоборот, поправился, а его мешок выглядит практически пустым.

Чтобы подтвердить эту тенденцию, заменим параметр t на кубический корень (cube root) из t:

cube root image of Santa-like curve


Четко видно, что при этом преобразовании Санта потолстел еще больше (прямо-таки, до неприличия), а его мешок с подарками совсем сдулся... (Кажется, по этим картинками можно написать интересную историю про новогодние похождения Санты).

На этом возможности геометрических трансформаций кривых с помощью Вольфрам Альфа не заканчиваются.

Следующее на очереди - экспоненциальное преобразование, при котором параметр t в параметрических уравнениях кривой заменяется на exp(t). При этом происходит вот какая деформация:

exponential image Santa-like curve


Если сравнить полученное изображение с предыдущими, то окажется, что живот у Санты снова увеличился, но мешок при этом остался практически, как в исходном варианте (или мне так кажется?)

В заключение посмотрим деформации, которые эквивалентны простейшим преобразованиям координат, таким как отражение и поворот на заданный угол.

reflect Santa-like curve (вертикальное отражение Санты)


Поворот Санты на 30, 60, 90 и 270 градусов:

rotate Santa-like curve by 30 degrees
rotate Santa-like curve by 60 degrees
rotate Santa-like curve by 90 degrees
rotate Santa-like curve by 270 degrees


В качестве бонуса для тех, кто дочитал статью до этого места, предлагаю посмотреть следующие примеры, которые показались мне интересными.

Во-первых, это преобразование, описанное в документации как, что-то похожее на "танцующий рисунок" (как по мне, так его просто "плющит"):

twisted image of Santa-like curve


Еще одно симпатичное преобразование координат, которое порождает весьма сложную геометрию контура (вероятно, каким-то образом может быть связано с моделированием вихревых полей, турбулентности пограничного слоя ...):

cross-hatched image Santa-like curve


И, наконец, в виде бонуса (дополнительного материала) к этой статье:

Santa with sleigh‐like curve image (Санта едет на оленях)


3D print image Santa-like curve (псевдо-3D-изображение, тисненая картинка)


И, наконец, как сложить мозаичное изображение Санты (также можно использовать как трафарет для бетонной дорожки или, как раскраску):

pebble stone image of Santa-like curve


На этом, надеюсь, что наши приключения с Сантой не заканчиваются)

Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Посетите страницу Как поддержать наш сайт?