Чтобы найти длину дуги плоской кривой 
(1) на отрезке 
(2), нужно вычислить интеграл (3)
Значение этого интеграла - это и есть та самая длина дуги, которую мы ищем.
Например, чтобы найти длину дуги кривой y=x^5 - 2 на отрезке от -1 до 1, используем такой запрос:
int sqrt(1+((x^5-2)')^2), x =-1..1
Тут мы сразу получаем искомый ответ. Одновременно выводится и геометрическая интерпретация вычисленного интеграла, которая, в данном случае, не особо нужна, и скорее даже вводит в заблуждение.
К сожалению, форма ввода запроса для вычисления длины дуги кривой получается довольно сложная, и поэтому возникает желание попробовать сначала задать уравнение кривой, и тут же попытаться вычислить нужный интеграл, заданный общей формулой (не забудьте указать пределы интегрирования):
y=x^5-2,int sqrt(1+(y')^2),x =-1..1
Однако, как мы видим, в данном случае Вольфрам Альфа выводит явно не что-то не совсем то, что нам нужно (по крайней мере, на сегодняшний день это так).
В качестве альтернативного способа вычисления дуги плоской кривой Вольфрам Альфа предлагает более лаконичную конструкцию запроса с использованием ключевого слова arclength (длина дуги):
arclength x^5-2, x =-1..1
Но вот проблема. Попробуем немного усложнить задачу - попытаемся найти длину дуги кривой y=e^x+sin(x^3) на отрезке от -2 до 3. И для начала просто посмотрим на эту кривую:
plot y=e^x+sin(x^3), x=-2..3
Как видим, данная кривая имеет более сложную форму, чем предыдущая. И, кстати, одновременно с ее графиком тут же выводится интеграл, который дает длину дуги кривой в указанных пределах. Однако, сам интеграл почему-то не вычисляется.
Попытаемся вычислить длину дуги этой кривой, используя arclength. Но при этом увидим сообщение о том, что невозможно вычислить интеграл. При этом сама дуга кривой представлена в выдаче системы:
arclength y=e^x+sin(x^3), x=-2..3
Таким образом, оказывается, что по запросу arclength Вольфрам Альфа не всегда может вычислить длину дуги.
Попытаемся обратиться к прямому способу - непосредственное вычисление длины дуги по формуле, который мы использовали вначале:
int sqrt(1+((e^x+sin(x^3))')^2), x =-1..1
Как видим, на этот раз все получилось.
Резюме: чтобы вычислить длину дуги плоской кривой в Вольфрам Альфа - лучше всего искать ее через непосредственное вычисление интеграла.
В следующей статье, продолжая эту тему, рассмотрим, как вычислить длину дуги плоской кривой, заданной параметрически или неявно.
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Посетите страницу Как поддержать наш сайт?
(1) на отрезке (2), нужно вычислить интеграл (3)Значение этого интеграла - это и есть та самая длина дуги, которую мы ищем.
Например, чтобы найти длину дуги кривой y=x^5 - 2 на отрезке от -1 до 1, используем такой запрос:
int sqrt(1+((x^5-2)')^2), x =-1..1
Тут мы сразу получаем искомый ответ. Одновременно выводится и геометрическая интерпретация вычисленного интеграла, которая, в данном случае, не особо нужна, и скорее даже вводит в заблуждение.
К сожалению, форма ввода запроса для вычисления длины дуги кривой получается довольно сложная, и поэтому возникает желание попробовать сначала задать уравнение кривой, и тут же попытаться вычислить нужный интеграл, заданный общей формулой (не забудьте указать пределы интегрирования):
y=x^5-2,int sqrt(1+(y')^2),x =-1..1
Однако, как мы видим, в данном случае Вольфрам Альфа выводит явно не что-то не совсем то, что нам нужно (по крайней мере, на сегодняшний день это так).
В качестве альтернативного способа вычисления дуги плоской кривой Вольфрам Альфа предлагает более лаконичную конструкцию запроса с использованием ключевого слова arclength (длина дуги):
arclength x^5-2, x =-1..1
Но вот проблема. Попробуем немного усложнить задачу - попытаемся найти длину дуги кривой y=e^x+sin(x^3) на отрезке от -2 до 3. И для начала просто посмотрим на эту кривую:
plot y=e^x+sin(x^3), x=-2..3
Как видим, данная кривая имеет более сложную форму, чем предыдущая. И, кстати, одновременно с ее графиком тут же выводится интеграл, который дает длину дуги кривой в указанных пределах. Однако, сам интеграл почему-то не вычисляется.
Попытаемся вычислить длину дуги этой кривой, используя arclength. Но при этом увидим сообщение о том, что невозможно вычислить интеграл. При этом сама дуга кривой представлена в выдаче системы:
arclength y=e^x+sin(x^3), x=-2..3
Таким образом, оказывается, что по запросу arclength Вольфрам Альфа не всегда может вычислить длину дуги.
Попытаемся обратиться к прямому способу - непосредственное вычисление длины дуги по формуле, который мы использовали вначале:
int sqrt(1+((e^x+sin(x^3))')^2), x =-1..1
Как видим, на этот раз все получилось.
Резюме: чтобы вычислить длину дуги плоской кривой в Вольфрам Альфа - лучше всего искать ее через непосредственное вычисление интеграла.
В следующей статье, продолжая эту тему, рассмотрим, как вычислить длину дуги плоской кривой, заданной параметрически или неявно.
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Посетите страницу Как поддержать наш сайт?