Wolfram|Alpha позволяет рассчитать геометрические преобразования точек плоскости и пространства. Например, такие, как симметрия точки относительно прямой или плоскости, поворот точки на заданный угол в заданном направлении относительно заданного центра, сдвиг.
При этом Wolfram|Alpha выводит не только сам окончательный результат - координаты точки после преобразования, но также матрицу преобразования координат, уравнения трансформации, в том числе и в матричной форме, а также визуальное представление результата.
Рассмотрим некоторые основные задачи на геометрические преобразования точек.
reflect {1,2,3} across x+y+z=1
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDj_pYia3utjAnCxybuBhmaEkjlAAOwRHcsu3_fqE3WarySwD3EBlPVoJ-mt5qWqLM1Ax6DT4fETsd39bxLL26Z58qyIZ3SVJHgxDL9g7S4_e6GpxvAOYm9xPaOauEFVdOoXVfSXx9024/s1600/reflect-point-across-mirror-plane.png)
Аналогично, если точка не указана, то Wolfram|Alpha выводит результат преобразования в общем виде:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhW3aOnyzx7VmoQvBLFD8tleT4Yk1ENgCRnbLRvQ_nuNZ09fRCHPfZaRhkEVhp-uBePhihPdjGu-_pXdbsxLBWHkdvF1hiQnTqg4a1Y-SOAIZKXWAq-6SVJWumgEjIdqQg6juihGsFioz0/s1600/reflect-across-mirror-plane.png)
Наиболее полная форма запроса на вычисление координат точки после ее поворота, когда указываются координаты данной точки, угол поворота, центр поворота и его направление, выглядит так:
rotate (1,3) by 90 degrees center (5,4) anticlockwise
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6mV6N5i6oPjSFD2W-yp2wvq98Q1b83BH04zchNZa8L4nu3epU30W4F8bh1CFDHYAWe1UqXInBIr1aD55evVf8eMbLJOfDugtX67S7JaoU4q3zOLv8pEa214-D45U0qluJ7NUIrClZ3cE/s1600/rotate-point-by-degrees-center-anticlock.png)
Угол поворота можно задавать по-разному. Например, если угол в градусах - вместо 90 degrees, можно написать 90 deg, или 90^o. Префикс by необязательный. Угол можно задавать также в радианах, например, pi/2. Направление anticlockwise - означает "против часовой стрелки", clockwise - "по часовой стрелке". Если направление не задано, то предполагается поворот против часовой стрелки. Вместо center можно написать around. В общем, запрос rotate позволяет множество вариантов. Посмотрите:
Центральная симметрия или поворот на 180 градусов
rotate (1,3) by 180^o center (5,4)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhF88BAeB6DIJ0S0X4VYXPbWY17kLj6fizek00xnAyJKwo5ZqJsbW6XIp6gjbPPRyjDNPMYYRgLRQeJ2OvGgup01W7XyCiFcy_v-F_iKj-Dvo4E6dlA9fPAKs28bcnccFNngmJXJ9jvBhc/s1600/rotation-180-deg.png)
Калькулятор поворотов
Калькулятор поворотов значительно упрощает расчет преобразования координат точек при повороте. Он позволяет без использования специальных служебных слов задать угол поворота, направление и центр (ось) поворота:
rotation matrix
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjY_982GVaAmjxAZHwdLiL-Ma3qgjsKgkN9RHpQFIsFCTl7ktU1q7r61aDYJQI1RiUxXi0uxXZANa5eLnK2E_dqWV3ifumPQAf-tSHWMYamCvq0LpJQlPMrCPS74WSlA13l_mXhaar2vxc/s1600/rotation-matrix.png)
Сдвиг точек (скос): вертикальный и горизонтальный
Для расчета сдвига используются запросы vertical shear (вертикальный сдвиг) и horisontal shear (горизонтальный сдвиг), параметрами которых являются координаты данной точки, угол сдвига и ось сдвига - вертикальная или горизонтальная прямая, относительно которой рассчитываются результаты сдвига. Обратите внимание, что угол сдвига отсчитывается против часовой стрелки, а поэтому направление сдвига существенно зависит от положения оси сдвига. Сравните:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsRrxnSMpAuwLFPHFodVk-M6hyaOqCkUfyhz6VIL0Un5hCzFer4eov9nRiq29LEBzSFKY3hW6mLT9awLlNZtOoD3IUJF00dHjM9a8FdQUBqbkgRApOo5CwGvLcAHO-zz3T2VZJ0SS9nNU/s1600/vertical-shear-1.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZqFpnbifFOBAgf5I005VHv3B0ktDdPj-pUDnBXMriZGH5UXxaSIW3IJIDvzeDwdP3rzB_QHypt_-9yWRGOlE7z-1_-rPA-nWbgkrKzlQWalpj_69csfucPyBlYFhgyQTfz1w29tvvNWY/s1600/vertical-shear-2.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgl-ln_D6m49bHy432oXL1U0hAgyCqILNHWyyrKnsgulxRQJOciSNzEWzO9IsDXVx2d3p_hXMxiiCz-6WD94dSoC8pm2x7IdAJAO9zGkFi4gsWErsq6iq4uGhQ5RYm3x1v0rF9KJX6K2G0/s1600/vertical-shear-3.png)
При этом Wolfram|Alpha выводит не только сам окончательный результат - координаты точки после преобразования, но также матрицу преобразования координат, уравнения трансформации, в том числе и в матричной форме, а также визуальное представление результата.
Рассмотрим некоторые основные задачи на геометрические преобразования точек.
Найти точку симметричную данной точке относительно
прямой
reflect (1,2) across 2x+y+3=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNc7JIaM9vm77LQfgdylTn02j_hpPv1jfemaZwGakp4-RtS98Hg-N9a0NZWpKhRgUETzy1OR3szRle50iNc-pYxyHvYARUzL-kjDoGnJqAcvdIq7gUTIm5rxRBH3-jGXVSmyxvi1G8OMg/s1600/reflect-point-across-mirror.png)
Если точка не указана, то Wolfram|Alpha выводит результат преобразования в общем виде. Убедитесь в этом сами, например:
Симметрия точки относительно плоскости
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiNc7JIaM9vm77LQfgdylTn02j_hpPv1jfemaZwGakp4-RtS98Hg-N9a0NZWpKhRgUETzy1OR3szRle50iNc-pYxyHvYARUzL-kjDoGnJqAcvdIq7gUTIm5rxRBH3-jGXVSmyxvi1G8OMg/s1600/reflect-point-across-mirror.png)
Если точка не указана, то Wolfram|Alpha выводит результат преобразования в общем виде. Убедитесь в этом сами, например:
reflect {1,2,3} across x+y+z=1
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDj_pYia3utjAnCxybuBhmaEkjlAAOwRHcsu3_fqE3WarySwD3EBlPVoJ-mt5qWqLM1Ax6DT4fETsd39bxLL26Z58qyIZ3SVJHgxDL9g7S4_e6GpxvAOYm9xPaOauEFVdOoXVfSXx9024/s1600/reflect-point-across-mirror-plane.png)
Аналогично, если точка не указана, то Wolfram|Alpha выводит результат преобразования в общем виде:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhW3aOnyzx7VmoQvBLFD8tleT4Yk1ENgCRnbLRvQ_nuNZ09fRCHPfZaRhkEVhp-uBePhihPdjGu-_pXdbsxLBWHkdvF1hiQnTqg4a1Y-SOAIZKXWAq-6SVJWumgEjIdqQg6juihGsFioz0/s1600/reflect-across-mirror-plane.png)
Поворот точки на заданный угол
Наиболее полная форма запроса на вычисление координат точки после ее поворота, когда указываются координаты данной точки, угол поворота, центр поворота и его направление, выглядит так:
rotate (1,3) by 90 degrees center (5,4) anticlockwise
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6mV6N5i6oPjSFD2W-yp2wvq98Q1b83BH04zchNZa8L4nu3epU30W4F8bh1CFDHYAWe1UqXInBIr1aD55evVf8eMbLJOfDugtX67S7JaoU4q3zOLv8pEa214-D45U0qluJ7NUIrClZ3cE/s1600/rotate-point-by-degrees-center-anticlock.png)
Угол поворота можно задавать по-разному. Например, если угол в градусах - вместо 90 degrees, можно написать 90 deg, или 90^o. Префикс by необязательный. Угол можно задавать также в радианах, например, pi/2. Направление anticlockwise - означает "против часовой стрелки", clockwise - "по часовой стрелке". Если направление не задано, то предполагается поворот против часовой стрелки. Вместо center можно написать around. В общем, запрос rotate позволяет множество вариантов. Посмотрите:
- rotate (1,3) by 90^o center (5,4)
- rotate (3 pi)/4 radians around z-axis - поворот в пространстве вокруг оси Oz;
- rotate 30 degrees - поворот на плоскости вокруг начала координат.
rotate (1,3) by 180^o center (5,4)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhF88BAeB6DIJ0S0X4VYXPbWY17kLj6fizek00xnAyJKwo5ZqJsbW6XIp6gjbPPRyjDNPMYYRgLRQeJ2OvGgup01W7XyCiFcy_v-F_iKj-Dvo4E6dlA9fPAKs28bcnccFNngmJXJ9jvBhc/s1600/rotation-180-deg.png)
Калькулятор поворотов
Калькулятор поворотов значительно упрощает расчет преобразования координат точек при повороте. Он позволяет без использования специальных служебных слов задать угол поворота, направление и центр (ось) поворота:
rotation matrix
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjY_982GVaAmjxAZHwdLiL-Ma3qgjsKgkN9RHpQFIsFCTl7ktU1q7r61aDYJQI1RiUxXi0uxXZANa5eLnK2E_dqWV3ifumPQAf-tSHWMYamCvq0LpJQlPMrCPS74WSlA13l_mXhaar2vxc/s1600/rotation-matrix.png)
Сдвиг точек (скос): вертикальный и горизонтальный
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsRrxnSMpAuwLFPHFodVk-M6hyaOqCkUfyhz6VIL0Un5hCzFer4eov9nRiq29LEBzSFKY3hW6mLT9awLlNZtOoD3IUJF00dHjM9a8FdQUBqbkgRApOo5CwGvLcAHO-zz3T2VZJ0SS9nNU/s1600/vertical-shear-1.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZqFpnbifFOBAgf5I005VHv3B0ktDdPj-pUDnBXMriZGH5UXxaSIW3IJIDvzeDwdP3rzB_QHypt_-9yWRGOlE7z-1_-rPA-nWbgkrKzlQWalpj_69csfucPyBlYFhgyQTfz1w29tvvNWY/s1600/vertical-shear-2.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgl-ln_D6m49bHy432oXL1U0hAgyCqILNHWyyrKnsgulxRQJOciSNzEWzO9IsDXVx2d3p_hXMxiiCz-6WD94dSoC8pm2x7IdAJAO9zGkFi4gsWErsq6iq4uGhQ5RYm3x1v0rF9KJX6K2G0/s1600/vertical-shear-3.png)
Если ось сдвига не задана, то ее роль играет соответствующая ось координат:
verticalshear 30^o
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnhyphenhyphenaUW6KeYd7aVQOhWbyHcro_vR4rTV09esc0Hn_p3vYd5ksU_pwYulZQ8vZo60tQBTl-RQdELlyojuZvm_0JgB3B2m6LAylPfazrOLzFXPtvDet-wEWf9Bmv5Zk20K982rBxgpoH_WI/s1600/vertical-shear-4.png)
Аналогичным образом Wolfram|Alpha рассчитывает горизонтальный сдвиг:
horisontal shear (1,2) 45^o along y=3
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAFOmJ3xqqg7k_hfdikQ2XHWKFqoNS3cCfT93jQBv_lWe2M8yFsX0g7KJieAkaqAvTXV6r115EFWy1VPlB-eAbw1sOJ4mkG2W1Dt_DibGusb-eGd_mxiNq9ga2hdcrtmboVs-wSLFAYMo/s1600/horisontal-shear-1.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIpbrRgn3Uz_mhsTiXZLfuC63kFuYM5PIPQ2sdduUTABDZE_MuSVlYrruVmjDX4vHKh7vWmD6Lj-r2TDgdZV5I3odA74BquxodlL0-natTTnqpMSwXQTwxYgE7Xvh-R_4fx6E5fvq6AH8/s1600/horisontal-shear-2.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnhyphenhyphenaUW6KeYd7aVQOhWbyHcro_vR4rTV09esc0Hn_p3vYd5ksU_pwYulZQ8vZo60tQBTl-RQdELlyojuZvm_0JgB3B2m6LAylPfazrOLzFXPtvDet-wEWf9Bmv5Zk20K982rBxgpoH_WI/s1600/vertical-shear-4.png)
Аналогичным образом Wolfram|Alpha рассчитывает горизонтальный сдвиг:
horisontal shear (1,2) 45^o along y=3
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAFOmJ3xqqg7k_hfdikQ2XHWKFqoNS3cCfT93jQBv_lWe2M8yFsX0g7KJieAkaqAvTXV6r115EFWy1VPlB-eAbw1sOJ4mkG2W1Dt_DibGusb-eGd_mxiNq9ga2hdcrtmboVs-wSLFAYMo/s1600/horisontal-shear-1.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIpbrRgn3Uz_mhsTiXZLfuC63kFuYM5PIPQ2sdduUTABDZE_MuSVlYrruVmjDX4vHKh7vWmD6Lj-r2TDgdZV5I3odA74BquxodlL0-natTTnqpMSwXQTwxYgE7Xvh-R_4fx6E5fvq6AH8/s1600/horisontal-shear-2.png)