Оператор Лапласа - математическое действие применительно к скалярному или векторному полю (скалярной или векторной функции), которое чаще всего используется в электростатике, электродинамике, физике сплошных сред, при изучении равновесия мембран, пленок или же поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением, а также в стационарных задачах диффузии и теплопроводности.
Три формы запроса оператора Лапласа
Для математика, оператор Лапласа - это дифференциальный оператор, который определяется, как сумма вторых частных производных по координатам, и действие которого эквивалентно последовательному отысканию дивергенции и градиента функции.
Поэтому первая форма запроса, которая используется в системе Вольфрам Альфа, чтобы найти результат действия оператора Лапласа на некоторую скалярную функцию, выглядит так (порядок операторов важен):
div grad r^cos(phi)/(r^2+r*sin(phi))
Эта форма запроса оператора Лапласа применительно к векторной функции выглядит аналогично. Однако (это важно!), изменяется порядок операторов - сначала градиент, а потом дивергенция. Т.е. сначала вычисляется дивергенция векторной функции, а потом градиент ее компонентов:
grad div {x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}
Поскольку для вычисления дивергенции и градиента используется дифференциальный оператор Гамильтона (набла), то применить к скалярной или векторной функции оператор Лапласа значит то же самое, что применить к ней дважды подряд оператор "набла". Поэтому, наряду с символом "дельта", который чаще всего используют для обозначения оператора Лапласа, также используется обозначение "набла квадрат". В этом случае получаем результаты аналогичные предыдущим.
nabla nabla 1/(r^2+r*sin(phi))
nabla nabla {x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}
Вообще говоря, применить оператор Лапласа в системе Вольфрам Альфа можно, используя три основных формы запроса. Две из них рассмотрены выше.Для меня вторая из них более удобна. Естественно, обе они дают одинаковый результат. Поэтому используйте ту форму, которая более удобна для вас.
Теперь немного о третьей форме запроса, которая представляется наиболее естественной. Это обычный запрос Laplace. Это запрос без параметров система Вольфрам Альфа интерпретирует, как поиск информации об известном математике Пьере Лапласе, с именем которого связано название оператора Лапласа. Если же после ключевого слова Laplace указать какую-либо функцию, то Wolfram Alpha понимает это уже, либо как дифференциальный оператор Лапласа, либо как интегральное преобразование Лапласа.
Замечу, что запрос Laplace {x^2+z, sin(x)y, e^(3z) (с большой буквы L) система Вольфрам Альфа интерпретирует, как интегральное преобразование Лапласа. В результате такого запроса вы получите изображение функции по Лапласу (используется в операционном исчислении). В этом случае, чтобы получить результат дифференциального оператора Лапласа, достаточно кликнуть ссылку "the Laplace operator" , выделенную на картинке.
Кстати, эта форма запроса имеет краткую форму L[{x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}].
Если же ввести тот же самый запрос, но с маленькой (прописной) буквы l ("эль"), т.е. как laplace, то этот запрос система Вольфрам Альфа интерпретирует, как дифференциальный оператор Лапласа, и результат запроса будет следующий (аналогичный указанным выше). Этот запрос не имеет краткой формы. Ссылка "CalculateLaplaceTransform", выделенная на картинке ниже, позволяет перейти от дифференциального оператора Лапласа к интегральному преобразованию Лапласа.
laplace {x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}
Кроме способов применения дифференциального оператора Лапласа, указанных выше, в системе Вольфрам Альфа имеется специальный калькулятор оператора Лапласа, который выводится по запросу:
laplace operator
Как видим, этот калькулятор не очень удобен, поскольку он приспособлен к работе только со скалярными функциями.
Для математика, оператор Лапласа - это дифференциальный оператор, который определяется, как сумма вторых частных производных по координатам, и действие которого эквивалентно последовательному отысканию дивергенции и градиента функции.
Поэтому первая форма запроса, которая используется в системе Вольфрам Альфа, чтобы найти результат действия оператора Лапласа на некоторую скалярную функцию, выглядит так (порядок операторов важен):
div grad r^cos(phi)/(r^2+r*sin(phi))
Эта форма запроса оператора Лапласа применительно к векторной функции выглядит аналогично. Однако (это важно!), изменяется порядок операторов - сначала градиент, а потом дивергенция. Т.е. сначала вычисляется дивергенция векторной функции, а потом градиент ее компонентов:
grad div {x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}
Поскольку для вычисления дивергенции и градиента используется дифференциальный оператор Гамильтона (набла), то применить к скалярной или векторной функции оператор Лапласа значит то же самое, что применить к ней дважды подряд оператор "набла". Поэтому, наряду с символом "дельта", который чаще всего используют для обозначения оператора Лапласа, также используется обозначение "набла квадрат". В этом случае получаем результаты аналогичные предыдущим.
nabla nabla 1/(r^2+r*sin(phi))
nabla nabla {x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}
Вообще говоря, применить оператор Лапласа в системе Вольфрам Альфа можно, используя три основных формы запроса. Две из них рассмотрены выше.Для меня вторая из них более удобна. Естественно, обе они дают одинаковый результат. Поэтому используйте ту форму, которая более удобна для вас.
Теперь немного о третьей форме запроса, которая представляется наиболее естественной. Это обычный запрос Laplace. Это запрос без параметров система Вольфрам Альфа интерпретирует, как поиск информации об известном математике Пьере Лапласе, с именем которого связано название оператора Лапласа. Если же после ключевого слова Laplace указать какую-либо функцию, то Wolfram Alpha понимает это уже, либо как дифференциальный оператор Лапласа, либо как интегральное преобразование Лапласа.
Замечу, что запрос Laplace {x^2+z, sin(x)y, e^(3z) (с большой буквы L) система Вольфрам Альфа интерпретирует, как интегральное преобразование Лапласа. В результате такого запроса вы получите изображение функции по Лапласу (используется в операционном исчислении). В этом случае, чтобы получить результат дифференциального оператора Лапласа, достаточно кликнуть ссылку "the Laplace operator" , выделенную на картинке.
Кстати, эта форма запроса имеет краткую форму L[{x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}].
Если же ввести тот же самый запрос, но с маленькой (прописной) буквы l ("эль"), т.е. как laplace, то этот запрос система Вольфрам Альфа интерпретирует, как дифференциальный оператор Лапласа, и результат запроса будет следующий (аналогичный указанным выше). Этот запрос не имеет краткой формы. Ссылка "CalculateLaplaceTransform", выделенная на картинке ниже, позволяет перейти от дифференциального оператора Лапласа к интегральному преобразованию Лапласа.
laplace {x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}
Кроме способов применения дифференциального оператора Лапласа, указанных выше, в системе Вольфрам Альфа имеется специальный калькулятор оператора Лапласа, который выводится по запросу:
laplace operator
Как видим, этот калькулятор не очень удобен, поскольку он приспособлен к работе только со скалярными функциями.
Оператор Лапласа, если функция задана в общем виде
Система Вольфрам Альфа позволяет применить дифференциальный оператор Лапласа даже к функциям, заданным в общем виде. Вот несколько примеров:
nabla nabla f(x)*p(y)
nabla nabla p(y)*(1-cos(2*Pi*x/a)) или div grad p(y)*(1-cos(2*Pi*x/a))
Двойной оператор Лапласа
В некоторых задачах возникает необходимость применить оператор Лапласа дважды подряд. Соответствующие запросы в системе Вольфрам Альфа имеют следующий вид (два примера):
laplace laplace p(y)*f(x)
laplace laplace p(y)*(1-cos(2*Pi*x/a))
Последний пример - это ответ на вопрос одного из любознательных читателей блога, полученный мною через форму обратной связи. Именно он стал главной причиной этого поста.
Система Вольфрам Альфа позволяет применить дифференциальный оператор Лапласа даже к функциям, заданным в общем виде. Вот несколько примеров:
nabla nabla f(x)*p(y)
nabla nabla p(y)*(1-cos(2*Pi*x/a)) или div grad p(y)*(1-cos(2*Pi*x/a))
Двойной оператор Лапласа
В некоторых задачах возникает необходимость применить оператор Лапласа дважды подряд. Соответствующие запросы в системе Вольфрам Альфа имеют следующий вид (два примера):
laplace laplace p(y)*f(x)
laplace laplace p(y)*(1-cos(2*Pi*x/a))
Последний пример - это ответ на вопрос одного из любознательных читателей блога, полученный мною через форму обратной связи. Именно он стал главной причиной этого поста.