Квадратная невырожденная матрица А порядка n приводится к диагональному виду по формуле
где S - квадратная невырожденная матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А, а
- диагональная матрица, по диагонали которой располагаются собственные числа (значения) матрицы А.
Чтобы найти собственные векторы и собственные числа данной квадратной невырожденной матрицы система Вольфрам Альфа предлагает несколько запросов, а также встроенный калькулятор собственных векторов и собственных значений матрицы.
Собственные числа (значения) матрицы
Прежде всего, для отыскания собственных чисел (собственных значений) матрицы можно использовать такой запрос:
eigenvalues [{2,0,3},{10,-3,-6},{-1,0,-2}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKtf0Zm-0zob0xHTRREEb4uoxP1a-2xmQeeePME9j9LumLvmkMlT_v3a-00ZkkBZvidqxiDilrn28k9aja0z-3lsSpEYHCDUzZIQBzpBorvFMauR5s_yCWz69_g5CTyH-uRoIf_ZKCIvE/s1600/eigenvalues-1.png)
Собственные векторы матрицы
Прежде всего, для отыскания собственных чисел (собственных значений) матрицы можно использовать такой запрос:
eigenvalues [{2,0,3},{10,-3,-6},{-1,0,-2}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKtf0Zm-0zob0xHTRREEb4uoxP1a-2xmQeeePME9j9LumLvmkMlT_v3a-00ZkkBZvidqxiDilrn28k9aja0z-3lsSpEYHCDUzZIQBzpBorvFMauR5s_yCWz69_g5CTyH-uRoIf_ZKCIvE/s1600/eigenvalues-1.png)
Собственные векторы матрицы
Для отыскания собственных векторов исходной матрицы служит такой запрос
eigenvectors [{2,0,3},{10,-3,-6},{-1,0,-2}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOqK7GlvruDIYkE9v0-bPoCmz3SRvKvEn64A7Q4z-4qDTYjHAh6k0NwMubQ0sOPsFiCrGtpVI2Vurv68eNC1FLsA9A8yALE_KBeWky0FHLMHjN1pR7oDqWrioq7woDkkicwRB4TqkHXZc/s1600/eigenvectors-1.png)
Проверка результатов
Правильность этих результатов можно легко проверить, используя данную выше формулу преобразования исходной матрицы к диагональному виду. Напомню, что собственные векторы матрицы А являются столбцами (а не строками!) матрицы S.
Таким образом, получим:
inverse[{0,-1,-3},{1,-8,-9},{0,1,1}]*[{2,0,3},{10,-3,-6},{-1,0,-2}]*[{0,-1,-3},{1,-8,-9},{0,1,1}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcbvtMlMKNq0F-QvErT-ej9aHdIvNYMkU55NoVDdGlsaD-Yc_vwJGWdvN8_JXNDEgjFmH2B5thyphenhyphenpdQbe7oT3meLVUWUA3vVLxV6I7lmS1sCt4zgFeIl7FLxPqfrqOMK_RjC3piILcFegY/s1600/eigenvalues-3.png)
В Вольфрам Альфа можно использовать еще один запрос на отыскание собственных векторов и собственных чисел матрицы, который может оказаться более удобным, поскольку результаты выводятся в наиболее компактном формате:
eigensystem [{2,0,3},{10,-3,-6},{-1,0,-2}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1vvadHnL6d6P3zwfbKY8jPIE1hWTvIt1HKGcwjOmPFPPkh1T7Mp5kgMjVxXXaPgZ2k9OCSvsdxlJ-lX3KgXtaY5l5DY7uTC5mEfA_yc3LUZ7foU_ALtEqZCcJntfI_guNicEHw8f1QxQ/s1600/eigenvectors-2.png)
Калькулятор собственных числе и собственных векторов
inverse[{0,-1,-3},{1,-8,-9},{0,1,1}]*[{2,0,3},{10,-3,-6},{-1,0,-2}]*[{0,-1,-3},{1,-8,-9},{0,1,1}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcbvtMlMKNq0F-QvErT-ej9aHdIvNYMkU55NoVDdGlsaD-Yc_vwJGWdvN8_JXNDEgjFmH2B5thyphenhyphenpdQbe7oT3meLVUWUA3vVLxV6I7lmS1sCt4zgFeIl7FLxPqfrqOMK_RjC3piILcFegY/s1600/eigenvalues-3.png)
В Вольфрам Альфа можно использовать еще один запрос на отыскание собственных векторов и собственных чисел матрицы, который может оказаться более удобным, поскольку результаты выводятся в наиболее компактном формате:
eigensystem [{2,0,3},{10,-3,-6},{-1,0,-2}]
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1vvadHnL6d6P3zwfbKY8jPIE1hWTvIt1HKGcwjOmPFPPkh1T7Mp5kgMjVxXXaPgZ2k9OCSvsdxlJ-lX3KgXtaY5l5DY7uTC5mEfA_yc3LUZ7foU_ALtEqZCcJntfI_guNicEHw8f1QxQ/s1600/eigenvectors-2.png)
Калькулятор собственных числе и собственных векторов
Наконец, для отыскания собственных векторов и собственных значений матрицы в Вольфрам Альфа имеется специальный калькулятор:
eigenvalue calculator
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5snW9Wofk9MhxF6iJ1AhBd2WaOK0XdY3VH_2mNYhuAleZuNBWvySgJUyDKRhOFzZAXPfEJVmWVRMpNRyKx5cxOxXshBENlLFtF1wOpFYf_pF1HOalv1pIwWBSDlpxIHFgIYoiITIw2Dc/s1600/eigenvalue-calculator.png)