WolframAlpha для всех: Оператор Гамильтона (набла) в Вольфрам Альфа

Ирландская юбилейная монета 10 евро.
К 200-летию со дня рождения ирландского
физика, астронома и математика У. Р. Гамильтона.

Характерной особенностью системы Вольфрам Альфа является то, что ее запросы не являются строго регламентированными. В большинстве случаев Вольфрам Альфа отлично понимает запросы на выполнение различных математических преобразований и операций, составленные на "естественном" английском языке. Это значит, что математические запросы к системе Вольфрам Альфа можно задавать разными способами. Довольно часто пользователю достаточно иметь лишь самое общее представление о той математической операции, которую он хочет выполнить. Если Вы сумеете сообщить системе Вольфрам Альфа при помощи простейших английских слов и выражений о том, что именно Вам нужно, то немедленно получите желаемый результат. Это в равной степени касается как простых арифметических действий, так и самых сложных математических операций, например, таких, как применение дифференциальных операторов Гамильтона и Лапласа.

Оператор Гамильтона - это векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Название этого оператора связано с именем ирландского физика, астронома и математика Уильяма Гамильтона (Sir William Rowan Hamilton). Для записи оператора Гамильтона используется специальный символ "набла" (перевернутый треугольник), форма которого напоминает древнегреческий музыкальный инструмент "набла". Поэтому его другое название - оператор набла.

Оператор набла удобно рассматривать, как символический вектор, компонентами которого являются частные производные по координатам. Таким образом, применяя оператор набла достаточно следовать простым правилам, по которым выполняются различные операции над векторами.

Результат действия оператора набла зависит от того, к какому математическому объекту и как именно он применяется.

Градиент скалярного поля (скалярной функции)

Применяя оператор набла к скалярному полю (скалярной функции), получаем градиент этого скалярного поля (скалярной функции). Тут применение оператора набла равносильно умножению символического вектора набла на скалярную функцию. Таким образом в Вольфрам Альфа можно использовать три формы запроса для вычисления градиента.

Первая и вторая форма запроса для вычисления градиента в Вольфрам Альфа:

nabla (1/r) или grad (1/r)

Еще один пример:

nabla ln(x^2 + 2y) или grad ln(x^2 + 2y)

Третья форма запроса для вычисления градиента в Вольфрам Альфа:

del (1/sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Дивергенция векторного поля (векторной функции)

Применяя оператор набла к векторному полю (векторной функции), получим либо дивергенцию либо ротор векторного поля. Скалярное умножение символического вектора набла на данную векторную функцию дает дивергенцию векторного поля. Для вычисления дивергенции в Вольфрам Альфа используйте такую форму запроса:

div {x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}

Ротор векторного поля (векторной функции)

Векторное умножение символического вектора набла на данную векторную функцию дает ротор векторного поля. Для вычисления ротора векторного поля в Вольфрам Альфа используйте такие равносильные формы запроса:

curl {x^2+z, sin(x)y, e^(3z)} или rot {x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}

Калькуляторы на основе оператора Гамильтона

Кроме того, для удобства пользователей в Вольфрам Альфа имеются калькуляторы градиента, дивергенции и ротора, который выводятся по запросам:

grad calculator