Как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y,z) в пространственной области Ω

В двух предыдущих статьях о решении основных математических задач на условный экстремум с помощью Вольфрам Альфа было рассмотрено: как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a; b]; как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D.

Продолжая тему, рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, z) в пространственной области Ω.

Как и следовало ожидать, Вольфрам Альфа позволяет решать задачи такого типа в более общей постановке, чем в это делается в обычных курсах высшей математики. Например, далее будет рассмотрено: как найти наибольшее и наименьшее значение функции трех переменных в пространственной области, на поверхности в пространстве, а также на пространственной линии, заданной общим уравнением (как пересечение двух поверхностей). Возможность, получать и анализировать решения подобных задач не только оправдывает, но и делает весьма целесообразным использование системы Вольфрам Альфа в изучении математических дисциплин.

Начнем с традиционной постановки задачи, и рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, z) в пространственной области Ω ограниченной некоторой поверхностью или несколькими поверхностями, т.е. в области, заданной неравенством или системой неравенств с тремя переменными.
В качестве примера, найдем наибольшее значение функции u=xy/z в области, ограниченной эллипсоидом x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24=0. Кстати, Вольфрам Альфа дает возможность наглядно представить такие поверхности:

image of x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24=0



Теперь с помощью запроса maximize найдем наибольшее значение функции u=xy/z во внутренней области данного эллипсоида:

maximize xy/z in x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24<=0




Аналогично, с помощью запроса minimize найдем наименьшее значение функции в данном эллипсоиде:

minimize xy/z in x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24<=0



Оба результата можно было получить сразу, с помощью запроса extrema:

extrema xy/z in x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24<=0



Способ отыскания наибольшего и наименьшего значения не изменится, если область Ω ограничена несколькими поверхностями, т.е. задана системой неравенств. В качестве примера рассмотрим область внутри данного эллипсоида, расположенную между двумя плоскостями x=0.5 и x=1.5:

extrema xy/z in x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24<=0, x>.5, x<1.5


Между просим, частным случаем рассмотренного примера является задача линейного программирования, когда данная функция и система ограничений линейны:

extrema 2x-3y+4z-1 in x+2y+3z-5<=0, x>1, y>2, z>-1


В отличие от стандартных задач вузовского курса высшей математики, система Вольфрам Альфа также позволяет находить экстремумы функций трех переменных на 3D-поверхности:

extrema x^y/z on x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24=0


Наконец, Вольфрам Альфа позволяет находить экстремумы функций трех переменных на 3D-линии (на линии в пространстве), заданной, как пересечение двух поверхностей:

extrema x^y/z on x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24=0, xyz=1



Таким образом, выше были рассмотрены задачи, как с помощью Вольфрам Альфа найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, z) в пространственной области Ω в нескольких основных случаях, а именно, когда область Ω :
  1. ограничена одной или несколькими поверхностями;
  2. является поверхностью (можно также рассмотреть случай, когда Ω является частью поверхности - дополнительное условие задачи в этом случае будет выглядеть, как: система, состоящая из уравнения поверхности и одного или нескольких неравенств, отделяющих на поверхности заданную часть);
  3. является линией в пространстве, образованной пересечением двух поверхностей (можно также рассмотреть случай, когда Ω является частью линии - дополнительное условие задачи в этом случае будет выглядеть, как: система, состоящая из двух уравнений поверхности и одного или нескольких неравенств, отделяющих на линии заданную часть).
P.S.

К слову сказать, все задачи такого типа можно рассматривать, как частные случаи задач линейного и нелинейного программирования, и соответственно интерпретировать полученные решения, как оптимальные планы задач математического программирования.

Хорошо, если вы дочитали этот пост до конца, и можете предложить свои варианты задач подобного типа. Напишите об этом в комментариях.

ShareThis