Продолжая тему, рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, z) в пространственной области Ω.
Как и следовало ожидать, Вольфрам Альфа позволяет решать задачи такого типа в более общей постановке, чем в это делается в обычных курсах высшей математики. Например, далее будет рассмотрено: как найти наибольшее и наименьшее значение функции трех переменных в пространственной области, на поверхности в пространстве, а также на пространственной линии, заданной общим уравнением (как пересечение двух поверхностей). Возможность, получать и анализировать решения подобных задач не только оправдывает, но и делает весьма целесообразным использование системы Вольфрам Альфа в изучении математических дисциплин.
Начнем с традиционной постановки задачи, и рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, z) в пространственной области Ω ограниченной некоторой поверхностью или несколькими поверхностями, т.е. в области, заданной неравенством или системой неравенств с тремя переменными.
В качестве примера, найдем наибольшее значение функции u=xy/z в области, ограниченной эллипсоидом x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24=0. Кстати, Вольфрам Альфа дает возможность наглядно представить такие поверхности:
image of x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEin5A56AxNG5PGCyMsLdmfGxDtm4-M8mRdDlJZ90LPEpE4irxXR8ZfjagR-s7sMPa8ltA75jZIw0VBMGZeUKfHT70E7-B7qRetLduGIEjuJRcyOE_PGlGWI-KjF2-4IdhFNOtpAEQsTgmc/s1600/ellipsoid-wolframalpha-ru.png)
Теперь с помощью запроса maximize найдем наибольшее значение функции u=xy/z во внутренней области данного эллипсоида:
maximize xy/z in x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24<=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrseH6VW0XZUdQBWDht-Pq3BUEQ5LtjLPRwC2fSIqUGf59Djgyc_h6BL6J0pCPA9_LD4bDtDe0pgPk-TKf1eLOZoIu7pEA_SqMOdJZEP-GR9hS5gAE70ot4rZFEa3hAdCdaGD2zRnGk54/s1600/maximize-xyz.png)
Аналогично, с помощью запроса minimize найдем наименьшее значение функции в данном эллипсоиде:
minimize xy/z in x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24<=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOrxPqwD4q2zWJf2MhNzx4CAJVEVyXjZteGjD-rS_E-0yjwBw4VT3O3SNCdd2bHorAfxzHeZjukyWHSF35YZxIzzJz2qKGGWyjhUXV2DpYmXH1InvzHHakBq8AU7AglGTpRLZJG-o8WcE/s1600/minimize-xyz.png)
Оба результата можно было получить сразу, с помощью запроса extrema:
extrema xy/z in x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24<=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicQhqElH-otCQml0c1KgxTsiumJlV2b8Ytp95skfDnCTbeuQTUysIKqyRKFTXBoJ-p91ia5fu5dmPnKrgryAP8QpxrjkN4GTShuPmJyP2kvHwR0kTaxCOPYP1b3GpaiC4cKOqDkvgpAck/s1600/extrema-xyz.png)
Способ отыскания наибольшего и наименьшего значения не изменится, если область Ω ограничена несколькими поверхностями, т.е. задана системой неравенств. В качестве примера рассмотрим область внутри данного эллипсоида, расположенную между двумя плоскостями x=0.5 и x=1.5:
extrema xy/z in x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24<=0, x>.5, x<1.5
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhel0oIYEYFQ0Zdw40-l2Grd-81JqrWr38BZcAujjj71fyvalQK90ql_TO0l4Tz4dgAV8kazpvv8HyQ2UbH2Z2GYzn_9zQ2kfyknFHE8oykcH6MeuXb_HryKaX1_bmZf2WTykjQkt8mC0k/s1600/extrema-xyz-wolframalpharu.png)
Между просим, частным случаем рассмотренного примера является задача линейного программирования, когда данная функция и система ограничений линейны:
extrema 2x-3y+4z-1 in x+2y+3z-5<=0, x>1, y>2, z>-1
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7wvuwvU-6aVX4lIQebjcER9BQB4iSs5ZfiLpEI1BvLT8omRABPvT5uSf9cDWD5dekwVLeWFBUR8D0U98Nwljen36ErDb1fbDgDJ9JGprGsmbV0hoHJx0hFu97VHhO34iZBM9HJNR8P_Q/s1600/extrema-LP-3D.png)
В отличие от стандартных задач вузовского курса высшей математики, система Вольфрам Альфа также позволяет находить экстремумы функций трех переменных на 3D-поверхности:
extrema x^y/z on x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhFSsK8nv5DYJOpzEsydDD8UvpWAuLp6AuhGa8nZQAYKG8RmcOEY0qDk4LLxyJmfUCDmN7pfsnNmqxVP_OTq44TI05dCTjg3sAtZoZApyY53xUYX5ct1M5KB_MshCSTIttPcUCsYpqwzMA/s1600/extrema-xyz-wolframalpharu-3D.png)
Наконец, Вольфрам Альфа позволяет находить экстремумы функций трех переменных на 3D-линии (на линии в пространстве), заданной, как пересечение двух поверхностей:
extrema x^y/z on x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24=0, xyz=1
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiss4WedtgfNWNgSmDoFVjbSKI40fwFf7sT9UGpGstJBvHg3QqojMkRkcP_OyVFQfy_aAK1Lgt3Zi8CqWfhB9t6lD2k-QqPcXhpKCN7nV2iyar8qEIzvfDhQrAem8A-qWfaTGZYhPjVH50/s1600/extrema-xyz-wolframalpharu-on-3D-line.png)
Таким образом, выше были рассмотрены задачи, как с помощью Вольфрам Альфа найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, z) в пространственной области Ω в нескольких основных случаях, а именно, когда область Ω :
- ограничена одной или несколькими поверхностями;
- является поверхностью (можно также рассмотреть случай, когда Ω является частью поверхности - дополнительное условие задачи в этом случае будет выглядеть, как: система, состоящая из уравнения поверхности и одного или нескольких неравенств, отделяющих на поверхности заданную часть);
- является линией в пространстве, образованной пересечением двух поверхностей (можно также рассмотреть случай, когда Ω является частью линии - дополнительное условие задачи в этом случае будет выглядеть, как: система, состоящая из двух уравнений поверхности и одного или нескольких неравенств, отделяющих на линии заданную часть).
К слову сказать, все задачи такого типа можно рассматривать, как частные случаи задач линейного и нелинейного программирования, и соответственно интерпретировать полученные решения, как оптимальные планы задач математического программирования.
Хорошо, если вы дочитали этот пост до конца, и можете предложить свои варианты задач подобного типа. Напишите об этом в комментариях.