Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D - еще одна задача на условный экстремум из числа тех, которые изучаются в курсе высшей математики.Существуют варианты этой задачи: когда область D задана неравенством, системой неравенств, как плоская линия или множество точек на плоскости, возможно, заданных, как точки пересечения нескольких плоских линий (совокупностью или системой уравнений).
Как известно, задачи на условный экстремум в Вольфрам Альфа решаются с помощью запросов minimize, maximize и extrema, к которым дополнительно присоединяются условия, определяющие заданную область. В этом состоит общий подход к решению подобных задач.
Первый, наиболее простой вариант этой задачи - найти наибольшее значение функции двух переменных f(x,y) в плоской области D, заданной одним неравенством, решается в Вольфрам Альфа с помощью запроса maximize:
maximize x^2 sin(y) over 4x^2-y-1<=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSFFPbgSdBnlYGKoq5H4RXmqX_vUdAXe1xTYti29cZ-pOD5U05GqkGIo9cRR8IuHmI45etPowLP3YDAg-sUBVOyXW51t2ACzw2vcTl27WPOJ5bj0toD_GDJRum2urEfVlEZJdOXUMPYaI/s1600/miximize-over-xy.png)
Аналогично, с помощью запроса minimize ищется наименьшее значение функции двух переменных f(x,y) в плоской области D, заданной одним неравенством:
minimize x^2 sin(y) over 4x^2-y-1<=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEu43nXSaK_IGhB7LpGwO_xV1uDA6pjqBLojtofuJXoe-0Zsu8wTR-TmXeaDCuWK_5s162_knau_J7Hs5-YFzS5U7rOPybr5cBatrbMWudI5fDxYtWARH7HJT8jV6xrN3PL91RXgILJZw/s1600/minimize-over-xy.png)
Запрос extrema, как было сказано, позволяет найти сразу наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в плоской области D, заданной одним неравенством:
extrema x^2 sin(y) over 4x^2-y-1<=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh67ygjflH_PUCabCjBhXUzRUVbKif582JTMgXmq3IJIDr84KLFAdPQZmu3Y7GQpR2nEG7qn5E3bs8uC04cSwk5KhaPMzQfCmRFkHaKHIvB1wLaTHSKlGgvXfcAWvSrDFCfzxK9c6AFXYU/s1600/extrema-over-xy.png)
Второй вариант рассматриваемой задачи: плоская область D, ограничена несколькими линиями,. В этом случае область D можно задать системой неравенств. Все остальное остается без изменений. Ниже вы можете увидеть, как это выглядит, на примере, где D - это часть предыдущей области, расположенная в первой четверти координатной плоскости.
extrema x^2 sin(y) over x>0, y>0, 4x^2-y-1<=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgphyphenhyphenfBpOSX1jNllqmUOA50rItGjirEEgq3758HLHt-5DLeMKpUE10xqKn67hK9EpBM1Vmbe0ZPJjgDKiN7m7QjlwHPtYGO9vQd_KduXuvlghu-C061_w1o_CE33QEsv-8RI8eGd9ibEzQ/s1600/extrema-over-xy-2.png)
Точно также ищется отдельно наименьшее значение функции двух переменных в области D заданной системой неравенств:
minimize x^2 sin(y) over x>0, y>0, 4x^2-y-1<=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZJBGi9Sxy7vawiRW5GlnkXkrFPNHyK0MFGVjE1WgRtW6t6Zs-fRGgr814pFqIPWBf0NcurVEkfZN1qnhttKtzSZWfZhkzqZiZuFxAYAgKiAa8gMhd8joW6arSLWIRqDkxOhsVmygcweE/s1600/minimize-over-xy-2.png)
Тот же самый пример - здесь ищется наибольшее значение функции:
maximize x^2 sin(y) over x>0, y>0, 4x^2-y-1<=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSOonT2WU76-yuFCZyBaV8DY6Hnl7gsHQhvSgaeSER9Daoz4EBmqskRVDUWcULjQXPoVV3WDMqTiyZjIwzN9mtI4doAx8aG_f2NMQJwlebKcc3d5h70Rd2kIZIinQdkx63aGNc1LcoBAg/s1600/maximize-over-xy-2.png)
Третий вариант задачи про отыскание наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в заданной плоской области - когда областью D является множество точек плоскости, расположенных на плоской линии. Обычно, такие задачи по каким-то причинам не рассматриваются в курсах высшей математики. Хотя они, безусловно, представляют теоретический и практический интерес, поскольку являются частным случаем более общих задач, рассмотренных выше.
Решение задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных на плоской линии L в Вольфрам Альфа аналогично предыдущему. Отличие в том, что вместо неравенства, которое определяет плоскую область D, дополнительным условием к запросу extrema является равенство, определяющее линию на плоскости xOyю
extrema x^2 sin(y) over 4x^2-y-1=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjoeI7Mqw_DNC-MG2QsGlegxKHki2ODd3KO7lMls63tolpoEtB9Hvow-4k0Ren5xUoqCRMgWHrQ_tTqjIYprIHosBvpxaKtIbcXOR0wjxcV-B0BKjK5ggO8bebkDgWPSoJfLJuy5MJUzsw/s1600/extrema-over-xy-L.png)
Отдельно наименьшее и наибольшее значение функции на плоской линии можно знайти аналогично.
Наконец, очевидный четвертый вариант рассматриваемой задачи - область D состоит из отдельно стоящих точек, заданных, как точки пересечения линий на плоскости. Ниже рассмотрен соответствующий пример.
extrema x^2 sin(y) on {4x^2-y-1=0, 2x+y-1=0}
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1PDgtGbn5e1pHcMfFOXcXoRVOzmrpUKpz1QDf1W_sss2lG6NG7TG6XSTtpwvncG0aDaLNBx1QBaGnjpd4IZQnmHhI2qCt-5XJFI_dLhUK5Cos4HkzytyaiiqrKJR81amdstDH-UwQBwg/s1600/extrema-over-xy-L-2.png)
minimize x^2 sin(y) on {4x^2-y-1=0, 2x+y-1=0}
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgCQAMmaLqu8CQrdKSpjytnacjhbWwpyBf59Kz5PHXZweXM-Sovcjzpdr4l1N3KnENI3jKruZ1LW9IYB1pi2tPsEd6CTpMH-TTvowxgwgJpOfdQkdYDgtdXALRCFvS7WO_SPsjrO3N04qY/s1600/minimize-on-xy-L-2.png)
maximize x^2 sin(y) on {4x^2-y-1=0, 2x+y-1=0}
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuG-Qmq5MWDHxKhmkgoEOypkbVwQsznN03gxrXGdMTweot3kjECnI8XuEDYoMhRBjC6NM4GZcVZWTQ0YX3Z20tFvNHCAeNdvGsp9cwrV3tXWllXca_ubJgHWer8QNSMqI_V08mntWnpNc/s1600/maximize-on-xy-L-2.png)
Понятно, что существуют еще и другие варианты задачи "Как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D". Надеюсь, после прочтения данного поста вам захочется рассмотреть самостоятельно.