Как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D - еще одна задача на условный экстремум  из числа тех, которые изучаются в курсе высшей математики.
Существуют варианты этой задачи: когда область D задана неравенством, системой неравенств, как плоская линия или множество точек на плоскости, возможно, заданных, как точки пересечения нескольких плоских линий (совокупностью или системой уравнений).

Как известно, задачи на условный экстремум в  Вольфрам Альфа решаются с помощью запросов minimizemaximize и extrema, к которым дополнительно присоединяются условия, определяющие заданную область. В этом состоит общий подход к решению подобных задач.

Первый, наиболее простой вариант этой задачи - найти наибольшее значение функции двух переменных f(x,y) в плоской области D, заданной одним неравенством, решается в  Вольфрам Альфа с помощью запроса maximize:

maximize x^2 sin(y) over 4x^2-y-1<=0



Аналогично, с помощью запроса minimize ищется наименьшее значение функции двух переменных f(x,y) в плоской области D, заданной одним неравенством:
minimize x^2 sin(y) over 4x^2-y-1<=0


Запрос extrema, как было сказано, позволяет найти сразу наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в плоской области D, заданной одним неравенством:

extrema x^2 sin(y) over 4x^2-y-1<=0


Второй вариант рассматриваемой задачи: плоская область D, ограничена несколькими линиями,. В этом случае область D можно задать системой неравенств. Все остальное остается без изменений. Ниже вы можете увидеть, как это выглядит, на примере, где D - это часть предыдущей области, расположенная в первой четверти координатной плоскости.

extrema x^2 sin(y) over x>0, y>0, 4x^2-y-1<=0


Точно также ищется отдельно наименьшее значение функции двух переменных в области D заданной системой неравенств:

minimize x^2 sin(y) over x>0, y>0, 4x^2-y-1<=0


Тот же самый пример - здесь ищется наибольшее значение функции:

maximize x^2 sin(y) over x>0, y>0, 4x^2-y-1<=0


Третий вариант задачи про отыскание наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в заданной плоской области - когда областью D является множество точек плоскости, расположенных на плоской линии. Обычно, такие задачи по каким-то причинам не рассматриваются в курсах высшей математики. Хотя они, безусловно, представляют теоретический и практический интерес, поскольку являются частным случаем более общих задач, рассмотренных выше.

Решение задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных на плоской линии L в Вольфрам Альфа аналогично предыдущему. Отличие в том, что вместо неравенства, которое определяет плоскую область D, дополнительным условием к запросу extrema является равенство, определяющее линию на плоскости xOyю

extrema x^2 sin(y) over 4x^2-y-1=0


Отдельно наименьшее и наибольшее значение функции на плоской линии можно знайти аналогично.

Наконец, очевидный четвертый вариант рассматриваемой задачи - область D состоит из отдельно стоящих точек, заданных, как точки пересечения линий на плоскости. Ниже рассмотрен соответствующий пример.

extrema x^2 sin(y) on {4x^2-y-1=0, 2x+y-1=0}


minimize x^2 sin(y) on {4x^2-y-1=0, 2x+y-1=0}


maximize x^2 sin(y) on {4x^2-y-1=0, 2x+y-1=0}


Понятно, что существуют еще и другие варианты задачи "Как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D". Надеюсь, после прочтения данного поста вам захочется рассмотреть самостоятельно.

ShareThis