Вычисление вероятностей в схеме Бернулли с помощью Вольфрам Альфа

В теории вероятностей серия из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события - вероятность "успеха" (probability of success) одинакова и равна p, называется схемой Бернулли (Bernoulli).

Основная задача, которая рассматривается в схеме Бернулли: "Найти вероятность того, что в серии из n независимых испытаний количество "успехов" будет равно k, если вероятность "успеха" в каждом отдельном испытании равна p". Кроме этой задачи, в схеме Бернулли также рассматриваются и другие задачи. О них скажем далее.

Если вычислять вероятности в схеме Бернулли "вручную", то обычно для точного решения при n<=10 и p>0.1 используют формулу Бернулли, поскольку при n>10 и p<0.1 формула Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Когда  n>10, p>0.1 или же n>10, p<0.1,  используют приближенные формулы Лапласа и Пуассона соответственно.

С Вольфрам Альфа, Вы можете не обращать внимание на эти отдельные случаи. Вольфрам Альфа все задачи на схему Бернулли решает одинаково, независимо от того, какое значение имеют n и p.

Задача 1. Найти вероятность заданного количества успехов (compute the probability of a specific outcome). Пример: найти вероятность 10 успехов (successes) в 15-ти испытаниях (trials), если вероятность успеха в каждом испытании равна 0.6.

Ответ получим при помощи запроса, который выводит также множество дополнительных сведений (см. картинку), которые обычно рассматриваются, как отдельные задачи в схеме Бернулли





Задача 2. Найти распределение вероятностей количества успехов в серии независимых испытаний (compute probabilities for a sequence of trials), если указана вероятность успеха p (specify a success probability).

15 trials p=.55


Здесь Вольфрам Альфа выводит распределение вероятностей лишь в виде графика. Точные значения вероятностей выводятся только для отдельных (типичных) частных случаев.

Задача 3. Найти математическое ожидание числа испытаний (наиболее вероятное число испытаний) до достижения 15 "успехов" (analyze waiting time probabilities).

number of trials until 15th success p=0.6


Задача 4. Найти вероятность того, что 30-й успех произойдет при 100-м испытании, если вероятность успеха p=0.33:

observe 30th success on 100th trial p=0.33


Как видим, здесь искомая вероятность близка к вероятности ожидаемого количества испытаний.

Задача 5. Найти вероятность 12-ти успехов подряд в 48-ти испытаниях (find the probability of a run).

streak of 12 successes in 48 trials p=.6


Здесь, как видим, Вольфрам Альфа выводит не только искомую вероятность, но и оценку наиболее вероятного количества успехов подряд. Кроме того, выводится наглядный результат имитационного моделирования серии испытаний.

Таким образом, выше были рассмотрены основные задачи на вычисление вероятностей в схеме Бернулли. Возможно, вы захотите предложить свою задачу или свой вариант ее решения. Пишите в комментарии.

ShareThis