Транспонированная матрица

Матрица, полученная из данной матрицы заменой каждой ее строки на столбец с тем же номером, называется транспонированной к данной.

В Wolfram|Alpha для получения транспонированной матрицы служит запрос transpose.

transpose {{a, b}, {c, d}}

Wolfram|Alpha по-русски. Транспонированная матрица.

Если вместо буквенных обозначений использовать числа, то Wolfram|Alpha, по запросу transpose кроме транспонированной матрицы выдает еще и другую сопутствующую информацию.

Обратная матрица

Обратная матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы. Матрица называется квадратной, если у неё одинаковое количество столбцов и строк. Квадратная матрица является вырожденной (matrix is singular), если ее определитель равен нулю.

Обычно, прежде чем приступать к вычислению обратной матрицы, следует проверить существует ли она вообще. Для этого нужно вычислить определитель данной матрицы, и если он не равен нулю, то обратная матрица для данной матрицы существует.

Однако, в Wolfram|Alpha в такой проверке нет необходимости. Wolfram|Alpha автоматически определяет является ли данная матрица вырожденной, и если она невырожденная, сразу вычисляет обратную матрицу. Если же данная матрица вырожденная, то Wolfram|Alpha выдает сообщение "matrix is singular", и вычисляет так называемую псевдообратную матрицу (о которой отдельный разговор, см. matrix 1‐inverse).

Для вычисления обратной матрицы в Wolfram|Alpha служит запрос inverse

Например, для квадратной матрицы 2х2 общего вида получаем

inverse {{a, b}, {c, d}}



Как видим, Wolfram|Alpha по запросу inverse вычисляет не только обратную матрицу, но также ее определитель (determinant), след (trace), характеристический многочлен (Characteristic polynomial), собственные значения (Eigenvalues) и собственные векторы (Eigenvectors).

"Сложные" графики в Wolfram|Alpha

Насколько сложные графики может строить Wolfram|Alpha? Сможет ли система справиться, например, с таким выражением?


При

по запросу

polar plot r=2((sin(theta)sqrt|cos(theta)|)/(sin(90theta)+1.5)-(sin(theta)+1)/.55)

Wolfram|Alpha выдает вот такой результат:


Однако, при n=100 этот график получить не удается. Возможно, причина не в самой системе, а в недостаточной скорости интернет-соединения?

Возведение матрицы в степень

В степень можно возводить только квадратные матрицы. Так, любую квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т. е. возвести в квадрат. При этом, естественно, получим матрицу того же размера (которую, в свою очередь, можно снова умножить на исходную матрицу - возвести в куб, и т.д.).

При помощи Wolfram|Alpha возведем матрицу в квадрат при помощи умножения на саму себя:

{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}.{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}


Тот же самый результат можно получить при помощи запроса на возведение матрицы в квадрат. Для этого служит команда matrixpower

Умножение матриц

Матрицу А можно умножать на матрицу В, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. При умножении матрицы нельзя менять местами.

Например, если перемножить эти две матрицы

то получим


В Wolfram|Alpha для умножения матриц используется знак "." - "точка". Запрос на умножение матриц в Wolfram|Alpha выглядит так:

AB={{a,b,c},{d,e,f}}.{{g,h},{i,j},{k,l}}


Сложение и вычитание матриц

Матрицы можно складывать и вычитать, если они имеют одинаковый размер.

Например, нам нужна сумма матриц

Записывается это так:
При сложении матриц их соответствующие элементы складываются:


Применение Wolrfam|Alpha

Чтобы найти сумму матриц, в Wolrfam|Alpha вводим такой запрос (обратите внимание, что элементы матриц вводятся построчно, через запятую, каждая строка заключается в скобки, вся матрица также берется в скобки):

{{a,b,c},{d,e,f}}+{{g,h,i},{j,k,l}}} или {{a,b,c},{d,e,f}} plus {{g,h,i},{j,k,l}}}


Вычитание матриц выполняется аналогично.

Вычисление определителей

Для вычисления определителей  в Wolfram|Alpha можно использовать две команды det и determinant : запросы det {{a, b}, {c, d}} и determinant {{a, b}, {c, d}} приводят к одинаковому результату (определитель 2-го порядка):


Или "в числах":

det {{1, 2}, {3, 4}}


ShareThis