Как решить функциональное уравнение в Вольфрам Альфа

Функциональные уравнения, которые выражают связь между значением неизвестной функции (функций) в одной точке с её же значениями в других точках, некоторое время назад были довольно популярными на школьных математических олимпиадах. Это и не удивительно, ведь такие уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами.

Учитывая сказанное, последующее изложение содержит многочисленные примеры, которые потребуют от вас внимания и сосредоточенности.

Итак, чтобы получить общее решение функционального уравнения в Вольфрам Альфа, в большинстве случаев достаточно просто ввести его в систему. В результате система выведет общее решение функционального уравнения, содержащее произвольную постоянную С:

2f(x)-f(x/2)=3x^2



Однако, на практике, чтобы решить функциональное уравнение в запросе следует использовать ключевое слово solve. В этом случае Вольфрам Альфа выведет результат в более компактном виде (сравните с предыдущим):

solve 2f(x)-f(x/2)=3x^2



В некоторых случаях, для Вольфрам Альфа требуется явно указать функцию, относительно которой следует решить данное функциональное уравнение. Проще всего это делается так:

solve f(x)-1/2f(x/2)=x^2 for f(x)



Чтобы получить частное решение функционального уравнения, следует указать начальное условие, которое позволит системе исключить произвольную постоянную С из решения уравнения. Следующий пример иллюстрирует эту возможность:

f(x)-1/2f(x/2)=x^2, f(0)=0



Вот еще один аналогичный пример. Я привожу его исключительно для того, чтобы закрепить навык и еще раз проиллюстрировать возможности Вольфрам Альфа по нахождению частного решения функционального уравнения:

f(x)-1/2f(x/2)=x, f(1)=2



Кроме того, для получения частного решения функционального уравнения используется такая (полная) форма запроса:

solve f(x)-1/2f(x/3)=x^2 where f(1)=0



Преимущества использования системы Вольфрам Альфа для решения функциональных уравнений становятся очевидными, когда ставится задача "исследовать, как меняется решение функционального уравнения в зависимости от вида его правой части". Вот три примера для внимательного сравнения:

solve f(x)-1/2f(x/2)=x



solve f(x)-1/2f(x/2)=x^2



solve f(x)-1/2f(x/2)=x^3+2



Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют.

Например, с помощью Вольфрам Альфа легко проверить, что этому уравнению удовлетворяют:

f(x+y)=f(x)+f(y) - все линейные однородные функции;

f(x+y)=f(x)f(y) - показательные функции (аддитивное уравнение Коши);

f(xy)=f(x)+f(y) - все логарифмические функции;

f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)] - квадратичная функция (закон параллелограмма);

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) - уравнение Даламбера, которому удовлетворяют обычный и гиперболический косинус;
...

К сожалению, универсального алгоритма решения функциональных уравнений не существует. Видимо поэтому, в настоящее время Вольфрам Альфа решает еще не все известные типы функциональных уравнений.

Так, например, с помощью Вольфрам Альфа мне не удалось получить общее решение уравнения Йенсена f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2, которому, как всем известно, удовлетворяют все линейные функции вида f(x)=ax+b. То же самое касается и уравнения Лобачевского (версия уравнения Йенсена) f(x+y)f(x-y)=(f(x))^2, общим решением которого являются функции вида f(x)=a*c^x. В то же время, с уравнением Пексидера k(x+y) = g(x) +h(y), которое содержит аж три неизвестных функции, Вольфрам Альфа справляется без проблем:



А вот вам на закуску еще три поучительных примера.

Первый - иллюстрирует еще один способ представления решения в Вольфрам Альфа:

solve f(x)+2f(1/x)=3х



Следующие два наглядно показывают, насколько решение функционального уравнения зависит "всего лишь" от одного знака:

solve f(x)-2f(x/2)=3х



solve f(x)+2f(x/2)=3х



Пожалуй, на этом пока все.

Хорошая статья по функциональным уравнениям лежит здесь (PDF). Некоторые примеры для этого поста я взял как раз из этой статьи.

Если вам понравился это пост, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

ShareThis