Учитывая сказанное, последующее изложение содержит многочисленные примеры, которые потребуют от вас внимания и сосредоточенности.
Итак, чтобы получить общее решение функционального уравнения в Вольфрам Альфа, в большинстве случаев достаточно просто ввести его в систему. В результате система выведет общее решение функционального уравнения, содержащее произвольную постоянную С:
2f(x)-f(x/2)=3x^2
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyZrkh2iLV18RBWCeuncQsBsFT8P2RA6lkimsj7yaio6khyphenhyphenq47JdWzjX_SsRht4vo1W3gw7TXHZoeLjJ1rsDIaTs28cigAnPgUH4WC7ACXRIScTGrPHdyG_fSbfTSTUXGINIrAeS2ZdKU/s1600/functional-equations-0.png)
Однако, на практике, чтобы решить функциональное уравнение в запросе следует использовать ключевое слово solve. В этом случае Вольфрам Альфа выведет результат в более компактном виде (сравните с предыдущим):
solve 2f(x)-f(x/2)=3x^2
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjuS8zWlPiCyj2o_9IX8AcpPFspWc_H-xmXjRo2bgCAwSD3g59omgBvWaqm0prtNgJlnMz3VA_wqja-xCixFZ-gojzNJ6WZ6tp0X1SsXXFYyQrX8nnAdsPBNN_M3LZc2jzZ3VPiSZLz3U/s1600/functional-equations-1.png)
В некоторых случаях, для Вольфрам Альфа требуется явно указать функцию, относительно которой следует решить данное функциональное уравнение. Проще всего это делается так:
solve f(x)-1/2f(x/2)=x^2 for f(x)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIK7YDJY36CkoJdwi4UM8fYYnNa8me_XbiYiwIZFaUTUFrMJjSCNhDS1yX6Uhped-NRJnKYhH_9c21GZ0rUWnk0rvWWeAj1BKwFRkcVQe99KqiIyEWz7dNsQrORB_mSWyTdxE1seZgNn4/s1600/functional-equations-2.png)
Чтобы получить частное решение функционального уравнения, следует указать начальное условие, которое позволит системе исключить произвольную постоянную С из решения уравнения. Следующий пример иллюстрирует эту возможность:
f(x)-1/2f(x/2)=x^2, f(0)=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkMJ_kA8ouH_-SKwlrScMyuuc11x35thAjUm0zKCHgn06JvcJKhEYWXnEhF8MNbtfRdm6YHnTRGPvput7vIHPRtZS-Wrfbos2JLfTMTG8vPDVcF7llW1wqLrFmUS37l5Bzg7pqnYEHEVc/s1600/functional-equations-4.png)
Вот еще один аналогичный пример. Я привожу его исключительно для того, чтобы закрепить навык и еще раз проиллюстрировать возможности Вольфрам Альфа по нахождению частного решения функционального уравнения:
f(x)-1/2f(x/2)=x, f(1)=2
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc4n14d6hBAA2Dk7Vt0VZ-RR5y2l-7Rc9clZQAzovqS8X1KVxaBUeiM3buEqaBaoZeVjhI4Q7Ksy6v9dmE0FQHjNN-lRSmamZUTuRAlHHJcq3QaVGJ1G47WQYATeMTUgqX5DAfluOlN-8/s1600/functional-equations-5.png)
Кроме того, для получения частного решения функционального уравнения используется такая (полная) форма запроса:
solve f(x)-1/2f(x/3)=x^2 where f(1)=0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibXSH_BhTd8EtbOEnzf-awPMRN8006dABgTdmnJLzWQT_qTvoYu_bZUO-aQKq4rfSH8QiGBaSBUHnq-8mnN19pUohvsAGom2vVFytyn_uUhdxWrxh3w48quQS1ehaaiuu5xvN07e1vR34/s1600/functional-equations-3.png)
Преимущества использования системы Вольфрам Альфа для решения функциональных уравнений становятся очевидными, когда ставится задача "исследовать, как меняется решение функционального уравнения в зависимости от вида его правой части". Вот три примера для внимательного сравнения:
solve f(x)-1/2f(x/2)=x
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibtoIrXFv1jNz1rG_RmV1VZ1sb7lBiw-l6HEsCrbXw1VPsBqMafYuNnaOO7EYUffB9ASXkjoU3dnminq1wS5zZrYAgMI4FKbixeVSe9I800Qp0Snc8zMs-wjXmH0TvKCdaGNjYFzyfb9E/s1600/functional-equations-8.png)
solve f(x)-1/2f(x/2)=x^2
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLeWfqMRj9xT-ufC75PDcfDbGx3wTuzH10_9qTk4t4uU6L6IX9ETt7uTejDPTM_oAlThexATjpoeNS9ijf0E9LauFIw1MDRivIh0A53URQ1Nh5pEDnLqVKWHbnqga5yBoEAVwsxVD_8KA/s1600/functional-equations-6.png)
solve f(x)-1/2f(x/2)=x^3+2
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhX7PDRujsjrZvb9TQ8f5QuPsqto7LQdw-GiL5f1YJIxRx691gFeYsaqY3WDEJLWNKbJCpD6h8U_afxqJ-F8Q4nI1MRxBg43SRKiICy1jElPEPU_EmbU7jm0tYdiLKA1-xTiLaDP86xgLw/s1600/functional-equations-7.png)
Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют.
Например, с помощью Вольфрам Альфа легко проверить, что этому уравнению удовлетворяют:
f(x+y)=f(x)+f(y) - все линейные однородные функции;
f(x+y)=f(x)f(y) - показательные функции (аддитивное уравнение Коши);
f(xy)=f(x)+f(y) - все логарифмические функции;
f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)] - квадратичная функция (закон параллелограмма);
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) - уравнение Даламбера, которому удовлетворяют обычный и гиперболический косинус;
...
К сожалению, универсального алгоритма решения функциональных уравнений не существует. Видимо поэтому, в настоящее время Вольфрам Альфа решает еще не все известные типы функциональных уравнений.
Так, например, с помощью Вольфрам Альфа мне не удалось получить общее решение уравнения Йенсена f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2, которому, как всем известно, удовлетворяют все линейные функции вида f(x)=ax+b. То же самое касается и уравнения Лобачевского (версия уравнения Йенсена) f(x+y)f(x-y)=(f(x))^2, общим решением которого являются функции вида f(x)=a*c^x. В то же время, с уравнением Пексидера k(x+y) = g(x) +h(y), которое содержит аж три неизвестных функции, Вольфрам Альфа справляется без проблем:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFhXNZAOJjRwlCLkWmxpt_8zKcKO8-XSzR7_niEULnztEHeB68voYI7AjyP2GGKrM7fk2WAFHS58fljalpJXj4Nx3g5hHbjJTbOHwbqwaR1_2J90Mh_enqvgNi1v9wjRlQqlDjWfU47zk/s1600/functional-equations-9.png)
А вот вам на закуску еще три поучительных примера.
Первый - иллюстрирует еще один способ представления решения в Вольфрам Альфа:
solve f(x)+2f(1/x)=3х
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1wWwzE9AkpF8MWOgw_4hZ3-fo1lyZmS7X1yrVjO-25EUUg6Dl32OM4xqqp5mzEHQDTW3v6EsZg6_tKtZovjYBFtVTujx_WD05uYpNS4y5Ag5rWecS5ecBg7F5fAKY011MAOvLdTU-V88/s1600/functional-equations-10.png)
Следующие два наглядно показывают, насколько решение функционального уравнения зависит "всего лишь" от одного знака:
solve f(x)-2f(x/2)=3х
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuL9mnv1wrWtBAb3-opjTrB5D8kMb61hFZKZTUlclv9QQJy1V7vHDDUx96Vh6KFcucKeKO3swTqw2OvB-4Ab6aFmFWISgBr3MRF9itoRiRjeOYRWjYVPwUpo4mLkLb8AQgRRDfHhZalRk/s1600/functional-equations-12.png)
solve f(x)+2f(x/2)=3х
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8i8nScgb4OVJTgqCsrxPNyeFFKOQ2rm4H5eSRwskVc4HISPzdUVF1VJGguMBjmnvUKhekBSL_3r6zBo0Knp3MQqQfxC8WTlO7gGk0gOnpPsB6gQn-GlCI5gDMRQfx8PXg68I46UtJfAA/s1600/functional-equations-13.png)
Пожалуй, на этом пока все.
Хорошая статья по функциональным уравнениям лежит здесь (PDF). Некоторые примеры для этого поста я взял как раз из этой статьи.
Если вам понравился это пост, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.