Разложение (декомпозиция) матриц в Wolfram|Alpha

Разложение (декомпозиция) матриц - задача, которая может возникать, как промежуточный этап в процессе решения систем линейных уравнений, обращения матриц, вычисления определителей, при отыскании собственных значений и собственных векторов матрицы, вычисления аналитических функций от матриц, при использовании метода наименьших квадратов, численном решении дифференциальных уравнений...  При этом, в зависимости от решаемой задачи, используются различные виды разложения (декомпозиции) матриц.

Wolfram|Alpha легко справляется с отдельными видами разложения матриц. А именно, без проблем Wolfram|Alpha выводит LU-разложение, PLU-разложение, QR-разложение, разложение Холецкого, а также сингулярное разложение для тех матриц, к которым можно применять данный вид разложения.

В то же время, алгоритмы других известных разложений матриц, например таких, как спектральное разложение или полярное разложение (применяется, в частности, в функциональном анализе), в Wolfram|Alpha в настоящее время еще не реализованы.

LU-разложение (декомпозиция) матрицы - это представление матрицы A в виде A=LU, т. е. в виде произведения двух матриц LU, где L - нижняя треугольная матрица, а U - верхняя треугольная матрица. LU-разложение матрицы еще называют LU-факторизацией. LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц и вычисления определителей. Это - одна из разновидностей метода Гаусса.

Не все матрицы могут быть представлены в виде LU-разложения. Для произвольных матриц Wolfram|Alpha выводит PLU-разложение матрицы вида A=PLU, где P - перестановочная матрица, L - нижняя треугольная матрица с единицами по главной диагонали. PLU-разложение - это обобщение LU-разложения на случай произвольных матриц.

Чтобы получить LU-разложение матрицы в Wolfram|Alpha используйте запросы вида:

LU decomposition{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}} или, короче, LUD{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}}.

Аналогично сработает запрос LU factorisation{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}}



QR-разложение матрицы - представление матрицы A в виде A=QR, где Q - ортогональная матрица (или, в общем случае, унитарная), а R - верхняя треугольная матрица:



Еще один пример: QR decomposition {{1,2},{3,4},{5,6}}

Чтобы получить LU-разложение или QR-разложение матрицы можно также воспользоваться калькулятором разложений матриц, который выводится по запросу matrix transformation:




Wolfram|Alpha также позволяет получить отдельные специальные  виды разложений матриц, которые имеют более специфическое применение, чем рассмотренные выше. Но это - тема другого поста :)

ShareThis