Разложение (декомпозиция) матриц - задача, которая может возникать, как промежуточный этап в процессе решения систем линейных уравнений, обращения матриц, вычисления определителей, при отыскании собственных значений и собственных векторов матрицы, вычисления аналитических функций от матриц, при использовании метода наименьших квадратов, численном решении дифференциальных уравнений... При этом, в зависимости от решаемой задачи, используются различные виды разложения (декомпозиции) матриц.
Wolfram|Alpha легко справляется с отдельными видами разложения матриц. А именно, без проблем Wolfram|Alpha выводит LU-разложение, PLU-разложение, QR-разложение, разложение Холецкого, а также сингулярное разложение для тех матриц, к которым можно применять данный вид разложения.
В то же время, алгоритмы других известных разложений матриц, например таких, как спектральное разложение или полярное разложение (применяется, в частности, в функциональном анализе), в Wolfram|Alpha в настоящее время еще не реализованы.
LU-разложение (декомпозиция) матрицы - это представление матрицы A в виде A=LU, т. е. в виде произведения двух матриц LU, где L - нижняя треугольная матрица, а U - верхняя треугольная матрица. LU-разложение матрицы еще называют LU-факторизацией. LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц и вычисления определителей. Это - одна из разновидностей метода Гаусса.
Не все матрицы могут быть представлены в виде LU-разложения. Для произвольных матриц Wolfram|Alpha выводит PLU-разложение матрицы вида A=PLU, где P - перестановочная матрица, L - нижняя треугольная матрица с единицами по главной диагонали. PLU-разложение - это обобщение LU-разложения на случай произвольных матриц.
Чтобы получить LU-разложение матрицы в Wolfram|Alpha используйте запросы вида:
LU decomposition{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}} или, короче, LUD{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}}.
Аналогично сработает запрос LU factorisation{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}}
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW1okXLns5xeqbXNglcm75QXSo0BHYuRn6em5U3H4FoqJ5NzPuxdEa-hlavjmmgjiLVrNTuJVWrS5Py7kXanE4jCWqprFilH4QIqjEM8iDTZMHyzThbQ8Smks8HI42CPZXqR7kA9cJvso/s1600/LU-decomposition-matrix.png)
QR-разложение матрицы - представление матрицы A в виде A=QR, где Q - ортогональная матрица (или, в общем случае, унитарная), а R - верхняя треугольная матрица:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiah-uuKOcenJ0IRSVz1P-qjoxVWA36vRqRJAXEtIKuxL4FGQzx98lEtKqI9_auUxO8pNUbnZl7isRYBZnSGPkZHOGCg5A3QoLnrBvDDn0En_UnK7EI164By13lf4QNEsT10WXg6G3rZAQ/s1600/QR-decomposition-matrix.png)
Еще один пример: QR decomposition {{1,2},{3,4},{5,6}}
Чтобы получить LU-разложение или QR-разложение матрицы можно также воспользоваться калькулятором разложений матриц, который выводится по запросу matrix transformation:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBfDNgxMcCqf3DYsKSKfCutD-Mb_7BTCBiCTy6Lmi6hob6TgDJQHw1LdtkTry2L4VINufO52E1PEfrXwth2IAsbLaIsN04YpjewIUC32d0A-xoSnR29q40RnM6hT4YguYi7T60n6Txsvw/s1600/decomposition-matrix-calculator.png)
Wolfram|Alpha легко справляется с отдельными видами разложения матриц. А именно, без проблем Wolfram|Alpha выводит LU-разложение, PLU-разложение, QR-разложение, разложение Холецкого, а также сингулярное разложение для тех матриц, к которым можно применять данный вид разложения.
В то же время, алгоритмы других известных разложений матриц, например таких, как спектральное разложение или полярное разложение (применяется, в частности, в функциональном анализе), в Wolfram|Alpha в настоящее время еще не реализованы.
LU-разложение (декомпозиция) матрицы - это представление матрицы A в виде A=LU, т. е. в виде произведения двух матриц LU, где L - нижняя треугольная матрица, а U - верхняя треугольная матрица. LU-разложение матрицы еще называют LU-факторизацией. LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц и вычисления определителей. Это - одна из разновидностей метода Гаусса.
Не все матрицы могут быть представлены в виде LU-разложения. Для произвольных матриц Wolfram|Alpha выводит PLU-разложение матрицы вида A=PLU, где P - перестановочная матрица, L - нижняя треугольная матрица с единицами по главной диагонали. PLU-разложение - это обобщение LU-разложения на случай произвольных матриц.
Чтобы получить LU-разложение матрицы в Wolfram|Alpha используйте запросы вида:
LU decomposition{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}} или, короче, LUD{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}}.
Аналогично сработает запрос LU factorisation{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}}
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiW1okXLns5xeqbXNglcm75QXSo0BHYuRn6em5U3H4FoqJ5NzPuxdEa-hlavjmmgjiLVrNTuJVWrS5Py7kXanE4jCWqprFilH4QIqjEM8iDTZMHyzThbQ8Smks8HI42CPZXqR7kA9cJvso/s1600/LU-decomposition-matrix.png)
QR-разложение матрицы - представление матрицы A в виде A=QR, где Q - ортогональная матрица (или, в общем случае, унитарная), а R - верхняя треугольная матрица:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiah-uuKOcenJ0IRSVz1P-qjoxVWA36vRqRJAXEtIKuxL4FGQzx98lEtKqI9_auUxO8pNUbnZl7isRYBZnSGPkZHOGCg5A3QoLnrBvDDn0En_UnK7EI164By13lf4QNEsT10WXg6G3rZAQ/s1600/QR-decomposition-matrix.png)
Еще один пример: QR decomposition {{1,2},{3,4},{5,6}}
Чтобы получить LU-разложение или QR-разложение матрицы можно также воспользоваться калькулятором разложений матриц, который выводится по запросу matrix transformation:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBfDNgxMcCqf3DYsKSKfCutD-Mb_7BTCBiCTy6Lmi6hob6TgDJQHw1LdtkTry2L4VINufO52E1PEfrXwth2IAsbLaIsN04YpjewIUC32d0A-xoSnR29q40RnM6hT4YguYi7T60n6Txsvw/s1600/decomposition-matrix-calculator.png)
Wolfram|Alpha также позволяет получить отдельные специальные виды разложений матриц, которые имеют более специфическое применение, чем рассмотренные выше. Но это - тема другого поста :)