Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал? Это одна из самых известных и простейших задач теории вероятностей, которая в Wolfram|Alpha решается довольно просто.
Вероятность попадания случайной величины X в числовой интервал (a; b) с помощью математической символики записывается следующим образом:
![Вероятность попадания в заданный интервал](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcPcPszLC7Oe8mHW199CKwAhVV-nqZYVdSluQWmdTPC66bEmxc1Aeg_4PioMNpNVESbEVj4qUWZsGSqHZBVjKQJJu4QHvibSVL_OM9GXG58OifhoowGQXWvxH-gm6D5dsmhOHrTPOTEIk/s1600/PXab.png)
Эта вероятность зависит от того, какое распределение вероятностей имеет данная случайная величина. Это важно понимать, и обязательно нужно учитывать при вычислениях.
Вузовские пособия и курсы по высшей математике и теории вероятностей чаще всего подробно рассматривают вопрос о вычислении вероятности попадания в заданный интервал, лишь для нормально распределенной случайной величины, а также для дискретных случайных величин, которые имеют биномиальное распределение вероятностей. Потому-то о том, как искать вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал, когда она имеет какое-либо иное распределение вероятностей, большинство студентов имеет лишь отдаленное представление.
Однако же, в курсах математического моделирования, в технических, экономических дисциплинах возникает необходимость вновь обращаться к этой задаче. Причем, здесь нельзя ограничиться только лишь нормальным или биномиальным распределением вероятностей.
Как найти вероятность попадания в заданный интервал для любой случайной величины? Ответ на этот вопрос также даст Wolfram|Alpha. Достаточно лишь ввести систему соответствующий запрос на вычисление вероятности. При этом нужно указать распределение случайной величины и параметры этого распределения.
Например, чтобы найти вероятность попадания непрерывной случайной величины X, которая имеет нормальное распределение с параметрами (математическое ожидание) mean=1 и (средне-квадратическое отклонение) sd=2 в интервал (-1.2; 2.3) используется такой запрос:
P(-1.2<X<2.3) X~normal mean=1 sd=2
![нормальное распределение с параметрами (математическое ожидание) mean=1 и (средне-квадратическое отклонение) sd=2](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZ1HBrM7pkk9ocrvITdxOpAhThsuh8ImRGASkfCZRPgicB1IOHlqYcnxS2kK5KYJku6PtYxmBcasfYhJGGdlLPiNVeTl75O4pOBc55PMsGV07vHMpl-is0k7jNC1t4yCh-STKXt_DQZP4/s1600/p-normal-distribution-X-a-b.png)
Как видите, здесь Wolfram|Alpha не только выводит числовой результат - значение искомой вероятности, равное 0,606488, но также и его графическую интерпретацию: на графике плотности нормального распределения обозначена фигура (криволинейная трапеция), площадь которой равна искомой вероятности 0,606488. Это соответствует известной формуле:
![Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjydKrNl8ABZtafb_rrt1wdvOSXSXD_Gi3EwB0egVRbo9BADDY_Mao-Gf41s7SCsZBzFWBoHypvXIPqr4u6fure6bG4GtweXSCURSbS2S4vFGnAay_UJJfLvkkjChjUxPj-WZBwIL9yrj0/s1600/p-normal-distribution-X-a-b-2.png)
где f(x) - плотность вероятности нормального распределения (pdf NormalDistribution[mean, sd]). Иначе говоря, для непрерывных случайных величин тот же самый результат можно было бы получить путем интегрирования.
Однако, соответствующий запрос, с которым естественно было обратиться к системе Wolfram|Alpha, к сожалению, не дает того результата, который ожидаешь. Посмотрите сами:
integrate pdf NormalDistribution[1, 2], x=-1.2..2.3
Поэтому, чтобы получить нужный результат путем интегрирования, придется вручную ввести подынтегральную функцию - плотность вероятности нормального распределения с заданными параметрами mean=1 и sd=2. В результате, естественно, получим ответ, который совпадает с предыдущим:
integrate (e^((-(x-1)^2)/8)/(2 sqrt(2 π)), x=-1.2..2.3
![Плотность вероятности нормального распределения с заданными параметрами mean=1 и sd=2](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhcvuElUs4e6I-grrslwAS5bRm6DfXvk0AmlfvcG7rtODEc7Gj8Eb2BiYtXULfLQgzeIzgM3poQawZ2uYH7CC3mhPVWcTJOaxi9DnVU71qOkwxEAS8ffwQnxK2YIPczKpvEWVAn4SOJ29M/s1600/p-normal-distribution-X-a-b-3.png)
Последний запрос можно также сформулировать несколько иначе. Результат будет представлен несколько в ином виде, но сам результат, конечно, будет тот же самый:
P(-1.2<X<2.3) = integrate (e^((-(x-1)^2)/8)/(2 sqrt(2 π)), x=-1.2..2.3
![Плотность вероятности нормального распределения с заданными параметрами mean=1 и sd=2](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEnejZmkHzujnQQn6H698vqqBItcC8JSiXfCHzV2z-rhTE6fsKVWpHwiSAxz2-B4Z1Nz7vYGdsYgYQuV2xP0_CGqty6OEBmmjae-0qqHdAmRLTvHupuRUSTV-r-UT1niyyxxN5sV1Jc00/s1600/p-normal-distribution-X-a-b-4.png)
Имеется еще один способ, как проверить полученные выше результаты. А именно: можно воспользоваться формулой для вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, которая использует функцию распределения вероятностей:
![Формула вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, которая использует функцию распределения вероятностей](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc6ridEmdhojEOgQ5GtsDXhKF8VosV0RtPcNh8GF8UQdfffrbMvo63q-rbmi2eX25Ne6MXnyof4bUogHF67_0Xeo3q_YnMzlp63KV0zRlDCS9l354I82VkMwHNeewT6Q4JBdnJxDI8kUg/s1600/p-normal-distribution-X-a-b-5.png)
Здесь: F(x) - функция плотности нормального распределения cdf normal distribution mean=1 sd=2. Далее подробности использования этого способа в Wolfram|Alpha не приводятся, поскольку он на поверку оказывается самым неудобным для практического использования.
Посмотрим теперь, как в Wolfram|Alpha решается поставленная в заголовке поста задача про вероятность попадания случайной величины в заданный интервал для других случайных величин, которые имеют распределения вероятностей отличные от нормального. При этом будем в качестве основного способа использовать запрос вида P(a<X<b) [распределение] [параметры].
Для величины, имеющей t-распределение Стьюдента с 12 степенями свободы получим:
P[-1.2<X<2.3] X~student t dof=12
![t-распределение Стьюдента с 12 степенями свободы](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3gQwQ8CF-9uwPLXzGTX_NoQ-mNkputfAl1TINcvt7V-wfnKyso31ugcimot9EOpOP98nYAPiu5TajUCDiU_bX76yk8Vrfhz3vgBGFJVjH98cwXnms9aY-nWf1LWnX8s7EWJglIyJbZM0/s1600/P-X-student-t-dof-12.png)
Для распределения хи-квадрат с 9-ю степенями свободы:
P(-1.2<X<2.3) X~chi-square dof=9
![Для распределения хи-квадрат с 9-ю степенями свободы](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyuINygZC1aNoI9I-cyDQCF1kLn0n5a6OVraXHfmgVzSBRsqSzA3_hbeKquMzaYhBlIW2UFG1nnT7THb1UGRUGS1XigXq3qWFSozGChVTJROV3Ks98_V4mYWvE_KP_jESNubQc4HHId-8/s1600/P-X-chi-square-dof-9.png)
Аналогичный результат также дают запросы на "естественном языке". Посмотрите такие примеры:
x chi-square with 9 dof, probabiality 3x-5<7
probabiality 3x-5<7 where x chi-square with 9 dof
P(3x-5<7) where x chi-square with 9 dof
P(3x-5<7), x chi-square with 9 dof
P(3x-5<7) x chi-square dof 9
Еще один пример. Для распределения Рэлея с параметром scale=3 получаем:
P(1.5<X<4.7) X~rayleigh distribution scale=3
![Вероятность попадания в заданный интервал для распределения Рэлея с параметром scale=3](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeNvDvWsSRfANOsya1O7g9tY3kIYWrysnQqozV2nMQHtfxkvCSj45HdIKuyYBzGnIjIq77gDh774lDx_QInhsSFrNIobjUgXBGWV8QTdYP7No-BqK1ksh9FXLIPXdVehyphenhyphenNaOoImScEV4Y/s1600/P-X-rayleigh-distribution-scale-3.png)
Пример для дискретного распределения. Распределение Пуассона с параметром mean=5
P(1.5<X<4.7) X~poisson distribution mean=5
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg6LCDfBNym3cfe_s7nOyQBt8imsC36vhtslyjLalnEUqOWk832NwftdB6ciUD4wokQ9WoUDkgdYBPNGYOVZg_N6jTgpnzEdKtgaSfUjVSYSFyyvXSx-FWgAZKLQZ7yAgIlfRW-K4e9js/s1600/P-poisson-distribution-mean-5.png)
Надеюсь, что выше сказано уже достаточно, чтобы Вы смогли с помощью Wolfram|Alpha самостоятельно вычислить вероятность попадания любой случайной величины в любой заданный интервал.
Конечно, Вам нужно будет получить информацию о названиях других вероятностных распределений случайных величин и их параметрах. Подробности об этом Вы найдете в предыдущих постах Непрерывные вероятностные распределения в Wolfram|Alpha и Дискретные вероятностные распределения в Wolfram|Alpha.
P. S.
Есть также еще один способ вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал - использование калькуляторов вероятностей. Но об этом будет отдельный пост.
Вероятность попадания случайной величины X в числовой интервал (a; b) с помощью математической символики записывается следующим образом:
![Вероятность попадания в заданный интервал](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcPcPszLC7Oe8mHW199CKwAhVV-nqZYVdSluQWmdTPC66bEmxc1Aeg_4PioMNpNVESbEVj4qUWZsGSqHZBVjKQJJu4QHvibSVL_OM9GXG58OifhoowGQXWvxH-gm6D5dsmhOHrTPOTEIk/s1600/PXab.png)
Эта вероятность зависит от того, какое распределение вероятностей имеет данная случайная величина. Это важно понимать, и обязательно нужно учитывать при вычислениях.
Вузовские пособия и курсы по высшей математике и теории вероятностей чаще всего подробно рассматривают вопрос о вычислении вероятности попадания в заданный интервал, лишь для нормально распределенной случайной величины, а также для дискретных случайных величин, которые имеют биномиальное распределение вероятностей. Потому-то о том, как искать вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал, когда она имеет какое-либо иное распределение вероятностей, большинство студентов имеет лишь отдаленное представление.
Однако же, в курсах математического моделирования, в технических, экономических дисциплинах возникает необходимость вновь обращаться к этой задаче. Причем, здесь нельзя ограничиться только лишь нормальным или биномиальным распределением вероятностей.
Как найти вероятность попадания в заданный интервал для любой случайной величины? Ответ на этот вопрос также даст Wolfram|Alpha. Достаточно лишь ввести систему соответствующий запрос на вычисление вероятности. При этом нужно указать распределение случайной величины и параметры этого распределения.
Например, чтобы найти вероятность попадания непрерывной случайной величины X, которая имеет нормальное распределение с параметрами (математическое ожидание) mean=1 и (средне-квадратическое отклонение) sd=2 в интервал (-1.2; 2.3) используется такой запрос:
P(-1.2<X<2.3) X~normal mean=1 sd=2
![нормальное распределение с параметрами (математическое ожидание) mean=1 и (средне-квадратическое отклонение) sd=2](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZ1HBrM7pkk9ocrvITdxOpAhThsuh8ImRGASkfCZRPgicB1IOHlqYcnxS2kK5KYJku6PtYxmBcasfYhJGGdlLPiNVeTl75O4pOBc55PMsGV07vHMpl-is0k7jNC1t4yCh-STKXt_DQZP4/s1600/p-normal-distribution-X-a-b.png)
Как видите, здесь Wolfram|Alpha не только выводит числовой результат - значение искомой вероятности, равное 0,606488, но также и его графическую интерпретацию: на графике плотности нормального распределения обозначена фигура (криволинейная трапеция), площадь которой равна искомой вероятности 0,606488. Это соответствует известной формуле:
![Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjydKrNl8ABZtafb_rrt1wdvOSXSXD_Gi3EwB0egVRbo9BADDY_Mao-Gf41s7SCsZBzFWBoHypvXIPqr4u6fure6bG4GtweXSCURSbS2S4vFGnAay_UJJfLvkkjChjUxPj-WZBwIL9yrj0/s1600/p-normal-distribution-X-a-b-2.png)
где f(x) - плотность вероятности нормального распределения (pdf NormalDistribution[mean, sd]). Иначе говоря, для непрерывных случайных величин тот же самый результат можно было бы получить путем интегрирования.
Однако, соответствующий запрос, с которым естественно было обратиться к системе Wolfram|Alpha, к сожалению, не дает того результата, который ожидаешь. Посмотрите сами:
integrate pdf NormalDistribution[1, 2], x=-1.2..2.3
Поэтому, чтобы получить нужный результат путем интегрирования, придется вручную ввести подынтегральную функцию - плотность вероятности нормального распределения с заданными параметрами mean=1 и sd=2. В результате, естественно, получим ответ, который совпадает с предыдущим:
integrate (e^((-(x-1)^2)/8)/(2 sqrt(2 π)), x=-1.2..2.3
![Плотность вероятности нормального распределения с заданными параметрами mean=1 и sd=2](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhcvuElUs4e6I-grrslwAS5bRm6DfXvk0AmlfvcG7rtODEc7Gj8Eb2BiYtXULfLQgzeIzgM3poQawZ2uYH7CC3mhPVWcTJOaxi9DnVU71qOkwxEAS8ffwQnxK2YIPczKpvEWVAn4SOJ29M/s1600/p-normal-distribution-X-a-b-3.png)
Последний запрос можно также сформулировать несколько иначе. Результат будет представлен несколько в ином виде, но сам результат, конечно, будет тот же самый:
P(-1.2<X<2.3) = integrate (e^((-(x-1)^2)/8)/(2 sqrt(2 π)), x=-1.2..2.3
![Плотность вероятности нормального распределения с заданными параметрами mean=1 и sd=2](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhEnejZmkHzujnQQn6H698vqqBItcC8JSiXfCHzV2z-rhTE6fsKVWpHwiSAxz2-B4Z1Nz7vYGdsYgYQuV2xP0_CGqty6OEBmmjae-0qqHdAmRLTvHupuRUSTV-r-UT1niyyxxN5sV1Jc00/s1600/p-normal-distribution-X-a-b-4.png)
Имеется еще один способ, как проверить полученные выше результаты. А именно: можно воспользоваться формулой для вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, которая использует функцию распределения вероятностей:
![Формула вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, которая использует функцию распределения вероятностей](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc6ridEmdhojEOgQ5GtsDXhKF8VosV0RtPcNh8GF8UQdfffrbMvo63q-rbmi2eX25Ne6MXnyof4bUogHF67_0Xeo3q_YnMzlp63KV0zRlDCS9l354I82VkMwHNeewT6Q4JBdnJxDI8kUg/s1600/p-normal-distribution-X-a-b-5.png)
Здесь: F(x) - функция плотности нормального распределения cdf normal distribution mean=1 sd=2. Далее подробности использования этого способа в Wolfram|Alpha не приводятся, поскольку он на поверку оказывается самым неудобным для практического использования.
Посмотрим теперь, как в Wolfram|Alpha решается поставленная в заголовке поста задача про вероятность попадания случайной величины в заданный интервал для других случайных величин, которые имеют распределения вероятностей отличные от нормального. При этом будем в качестве основного способа использовать запрос вида P(a<X<b) [распределение] [параметры].
Для величины, имеющей t-распределение Стьюдента с 12 степенями свободы получим:
P[-1.2<X<2.3] X~student t dof=12
![t-распределение Стьюдента с 12 степенями свободы](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3gQwQ8CF-9uwPLXzGTX_NoQ-mNkputfAl1TINcvt7V-wfnKyso31ugcimot9EOpOP98nYAPiu5TajUCDiU_bX76yk8Vrfhz3vgBGFJVjH98cwXnms9aY-nWf1LWnX8s7EWJglIyJbZM0/s1600/P-X-student-t-dof-12.png)
Для распределения хи-квадрат с 9-ю степенями свободы:
P(-1.2<X<2.3) X~chi-square dof=9
![Для распределения хи-квадрат с 9-ю степенями свободы](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyuINygZC1aNoI9I-cyDQCF1kLn0n5a6OVraXHfmgVzSBRsqSzA3_hbeKquMzaYhBlIW2UFG1nnT7THb1UGRUGS1XigXq3qWFSozGChVTJROV3Ks98_V4mYWvE_KP_jESNubQc4HHId-8/s1600/P-X-chi-square-dof-9.png)
Аналогичный результат также дают запросы на "естественном языке". Посмотрите такие примеры:
x chi-square with 9 dof, probabiality 3x-5<7
probabiality 3x-5<7 where x chi-square with 9 dof
P(3x-5<7) where x chi-square with 9 dof
P(3x-5<7), x chi-square with 9 dof
P(3x-5<7) x chi-square dof 9
Еще один пример. Для распределения Рэлея с параметром scale=3 получаем:
P(1.5<X<4.7) X~rayleigh distribution scale=3
![Вероятность попадания в заданный интервал для распределения Рэлея с параметром scale=3](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeNvDvWsSRfANOsya1O7g9tY3kIYWrysnQqozV2nMQHtfxkvCSj45HdIKuyYBzGnIjIq77gDh774lDx_QInhsSFrNIobjUgXBGWV8QTdYP7No-BqK1ksh9FXLIPXdVehyphenhyphenNaOoImScEV4Y/s1600/P-X-rayleigh-distribution-scale-3.png)
Пример для дискретного распределения. Распределение Пуассона с параметром mean=5
P(1.5<X<4.7) X~poisson distribution mean=5
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg6LCDfBNym3cfe_s7nOyQBt8imsC36vhtslyjLalnEUqOWk832NwftdB6ciUD4wokQ9WoUDkgdYBPNGYOVZg_N6jTgpnzEdKtgaSfUjVSYSFyyvXSx-FWgAZKLQZ7yAgIlfRW-K4e9js/s1600/P-poisson-distribution-mean-5.png)
Надеюсь, что выше сказано уже достаточно, чтобы Вы смогли с помощью Wolfram|Alpha самостоятельно вычислить вероятность попадания любой случайной величины в любой заданный интервал.
Конечно, Вам нужно будет получить информацию о названиях других вероятностных распределений случайных величин и их параметрах. Подробности об этом Вы найдете в предыдущих постах Непрерывные вероятностные распределения в Wolfram|Alpha и Дискретные вероятностные распределения в Wolfram|Alpha.
P. S.
Есть также еще один способ вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал - использование калькуляторов вероятностей. Но об этом будет отдельный пост.