Изучение разрывных функций с помощью Wolfram|Alpha

Больше года тому назад в этом блоге был опубликован пост о том, как построить график функции в Wolfram|Alpha, который сразу стал очень популярным, и привлек большое количество новых читателей к этому блогу, благодаря большому интересу к теме построения графиков функций.

После этого первого поста были и другие, посвященные построению графиков функций в  Wolfram|Alpha. Например, это Графики функций одной переменной в Wolfram|Alpha, Графики функций двух переменных в Wolfram|Alpha, Сложные" графики в Wolfram|Alpha, Графики функций в лог-линейной системе системе координат  и другие.

Wolfram|Alpha может находить и анализировать точки разрыва функций действительного аргумента. Для этого служит специальный запрос discontinuities.

Кроме поиска разрывов, по запросу discontinuities Wolfram|Alpha будет пытаться вычислить левые и правые пределы в каждой разрыва, а также значение функции в точке разрыва, если оно существует. Чтобы получить эту информацию, нужно нажать кнопку "Show limits".

Как известно, существует три основных типа точек разрыва функций действительного аргумента. Первый тип - это "бесконечный" разрыв, который имеет место в точке, где функция возрастает до бесконечности и/или убывает до минус бесконечности. В точках бесконечного разрыва функция имеет вертикальную асимптоту. Типичный примером может служить функция 1/(х:-1)




Аналогичный результат можно получить и для более сложной функции:




Второй тип разрывов функций - это конечный неустранимый разрыв. Левый и правый пределы функции в точке конечного неустранимого разрыва существуют (конечны), но не равны между собой.  Так, что функция в точке разрыва испытывает "скачок", величина которого равна разности правого и левого пределов функции в точке разрыва. Примером может служить ступенчатая функция Хевисайда, которая находит широкое применение в радиотехнике. В точке х=0 значение функции Хевисайда скачком изменяется на 1:




Комбинация двух предыдущих типов разрывов - точка бесконечного разрыва, в которой один односторонний предел конечный, а другой - бесконечный:




Последний тип разрыва называется "устранимым" разрывом. Это когда в левый и правый пределы в точке разрыва существуют (конечны) и равны между собой, но не равны значению функции в точке разрыва. Простой пример - функция (х - 1)/(х - 1), которая равна 1 всюду, за исключением точки х = 1, где она не определена:




Еще один пример функции, которая имеет устранимый разрыв в точке х=1:




Еще один стандартный пример устранимого разрыва:


   

Представляет также интерес изучение непрерывности функции sin(1/x), которая имеет в точке х=0 разрыв, который является сложным для классификации. Обратите внимание, что эта функция не определена в точке 0, а кроме того левый и правый пределы функции в точке 0 не существуют, хотя и не являются бесконечными. Неудивительно, что Wolfram|Alpha не выдает никакого заключения относительно классификации данного разрыва:




Функция, заданная параметрически имеет разрывы в тех точках, где терпит разрыв хотя бы один из ее компонентов:




Отыскание точек разрыва функций комплексного переменного является более сложной задачей. В настоящее время Wolfram|Alpha успешно определяет полюсы. Этот вопрос уже рассматривался в посте Ряды Лорана в Wolfram|Alpha или Кто читает Wolfram|Alpha по-русски. Здесь приведу лишь один пример, сравните:




Как видим, запрос discontinuities, который предназначен для исследования разрывности функций действительного переменного, дает ответ, что данная функция непрерывна.

Напротив, другой запрос - poles - предназначенный для  нахождения полюсов функций комплексного переменного, находит не только полюсы данной функции, но и соответствующие им вычеты:




Таким образом, для исследования разрывов функции действительного аргумента в Wolfram|Alpha следует использовать запрос discontinuities.

См. также: Wolfram|Alpha.

ShareThis