Больше года тому назад в этом блоге был опубликован пост о том, как построить график функции в Wolfram|Alpha, который сразу стал очень популярным, и привлек большое количество новых читателей к этому блогу, благодаря большому интересу к теме построения графиков функций.
После этого первого поста были и другие, посвященные построению графиков функций в
Wolfram|Alpha. Например, это Графики функций одной переменной в Wolfram|Alpha, Графики функций двух переменных в Wolfram|Alpha, Сложные" графики в Wolfram|Alpha, Графики функций в лог-линейной системе системе координат и другие.
Wolfram|Alpha может находить и анализировать точки разрыва функций действительного аргумента. Для этого служит специальный запрос discontinuities.
Как известно, существует три основных типа точек разрыва функций действительного аргумента. Первый тип - это "бесконечный" разрыв, который имеет место в точке, где функция возрастает до бесконечности и/или убывает до минус бесконечности. В точках бесконечного разрыва функция имеет вертикальную асимптоту. Типичный примером может служить функция 1/(х:-1)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEWIjNKF7ydEI5ugXry79ogmVCC5OU4KJXiYOnj1qYpzlgfwk2_PTjAup6dJjXmolrHSC3beqRIrs6oU7cdtSl66TJ-OWx9CH4J9iWfuJOq1lodCMtNtONIdk5i5HK_24t34xgFb2fBEU/s1600/discontinuities-0.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigWHxnE0lP4K8m6ediTAvdzvBa2PS_6PRZmIvuD6c5sOkLZ4kwgoFhOHKwdzfwaA-MQVhbc4hg7wHz70HKXCUgvRTLDb37a1aNOrJg8DgdnFnfQMyLZnATz1K0NZIk7qdbu4onIE8iVek/s1600/discontinuities-1.png)
Второй тип разрывов функций - это конечный неустранимый разрыв. Левый и правый пределы функции в точке конечного неустранимого разрыва существуют (конечны), но не равны между собой. Так, что функция в точке разрыва испытывает "скачок", величина которого равна разности правого и левого пределов функции в точке разрыва. Примером может служить ступенчатая функция Хевисайда, которая находит широкое применение в радиотехнике. В точке х=0 значение функции Хевисайда скачком изменяется на 1:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJgxXxwgYZMmJDoMzsuhPOx1B7jV2BbKdCP1MuqUiuvHGW8EGdUpA4QUmkVo6LM6_aUtDQXwon4jFyJD_posFFvIDXuupFTqefdJjcFbEqPPEqnVuYdAnfch9K0BLElqBkRQXms4tTuVc/s1600/discontinuities-2.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg17zvM5WfMsWVsVlFpnyk5q0cCpAYbDNH0wq-Aeu56bfOQ-07V-W6zC84qy-mpvdXhhBaThQVK5NerAiJBiDFr88VbdZ7j-qwl6X25nA6TUI-e25kf-FQqKLtyUfPIAdnXnCBXFEpXNZU/s1600/discontinuities-3.png)
Последний тип разрыва называется "устранимым" разрывом. Это когда в левый и правый пределы в точке разрыва существуют (конечны) и равны между собой, но не равны значению функции в точке разрыва. Простой пример - функция (х - 1)/(х - 1), которая равна 1 всюду, за исключением точки х = 1, где она не определена:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlRuzpiLQ9RAjQzvJLHbN6BsETlbC1RMU2jmpkJCr4X3ztZeBN-0h1Zo3YY7WjHTk6cY2Y11v5FSRmx8IfS4ODxdTkpsQkAd5zzPPgH3ZEgbJI4R2i_yDhr557C57uUdFIexDsJqINuVs/s1600/discontinuities-3-2.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSxcZFzoJRzVgBCPg5vv7maC-bMHsJoNgs6I2PfFP1TChgyjc9aP1ecz2wbBsj6qtjW6rjoT9Wwv0XYwOfBqIYwxSfp7901oCCZb_xUjh4yX63pqSPnWso5ZVPVf5G8cF2bDWIoDr272I/s1600/discontinuities-4.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrxCvrz-TP48RqlFY4OWA0rx-ffCkiMHcKJlyEhHVcKrU9jA91A0LLBCDqk7o4Ji5aThbnlZwThgKpCWCWRzPpCLtENuXt87mgw7ulgt6w_Eg8Z_IbHyN69WUQ7bhhjUy3zKNQRS574L0/s1600/discontinuities-5.png)
Представляет также интерес изучение непрерывности функции sin(1/x), которая имеет в точке х=0 разрыв, который является сложным для классификации. Обратите внимание, что эта функция не определена в точке 0, а кроме того левый и правый пределы функции в точке 0 не существуют, хотя и не являются бесконечными. Неудивительно, что Wolfram|Alpha не выдает никакого заключения относительно классификации данного разрыва:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkAn_ozw6ZIRWK6FzoYCesgKeiivubZia1kodir41IJt9UhE2uDaWTFnXbe2JShXLATD4CNVaZcgUK3tcN2LraEV_Fo9ss7YItYcZ5WZmnaM1g7dpQa4cJ8_V2imSaiVUgmRn195prEq0/s1600/discontinuities-6.png)
Функция, заданная параметрически имеет разрывы в тех точках, где терпит разрыв хотя бы один из ее компонентов:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidFAlaNXuAXkqipdTxpgy2mwLa7SuAzee22AubfYRnNRzxbj8GqyVXH87BR6ZiHn0SanMq9zVCRZcCPfEjsAeyPJn0GN9ELHZBvvV_ECT3CXJNqZK8AtuAUGwwBQN_kFWhC42DK-P9j_k/s1600/discontinuities-7.png)
Отыскание точек разрыва функций комплексного переменного является более сложной задачей. В настоящее время Wolfram|Alpha успешно определяет полюсы. Этот вопрос уже рассматривался в посте Ряды Лорана в Wolfram|Alpha или Кто читает Wolfram|Alpha по-русски. Здесь приведу лишь один пример, сравните:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgujDCGtHmN59_qEhyphenhyphen5oGfAkab4SUWbS2FR7NfB67vhUqQVIKsOokfQMGgJ0nwJXOxFVaDjCZ2pMArvRpUXz8li1zQNckPTNdCswZOzfhXPFVq1GrOMuvgxPDIobsNqTObjsGCnM6FzJbY/s1600/discontinuities-8.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsi4VVwVnfbERC4ztpGzZVHDF5zGHTK6TRqWDarJH4wRYMnNekMINxJi7yLhCABkB5NDWyGU_Rkeg9ULuZI73Q1XhPP3bgcNFNePM2JGO5I_W670PPNQlGbAUtuBkbaaH1bMJINNsVUnE/s1600/poles-9.png)
См. также: Wolfram|Alpha.
Wolfram|Alpha может находить и анализировать точки разрыва функций действительного аргумента. Для этого служит специальный запрос discontinuities.
Кроме поиска разрывов, по запросу discontinuities Wolfram|Alpha будет пытаться вычислить левые и правые пределы в каждой разрыва, а также значение функции в точке разрыва, если оно существует. Чтобы получить эту информацию, нужно нажать кнопку "Show limits".
Как известно, существует три основных типа точек разрыва функций действительного аргумента. Первый тип - это "бесконечный" разрыв, который имеет место в точке, где функция возрастает до бесконечности и/или убывает до минус бесконечности. В точках бесконечного разрыва функция имеет вертикальную асимптоту. Типичный примером может служить функция 1/(х:-1)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEWIjNKF7ydEI5ugXry79ogmVCC5OU4KJXiYOnj1qYpzlgfwk2_PTjAup6dJjXmolrHSC3beqRIrs6oU7cdtSl66TJ-OWx9CH4J9iWfuJOq1lodCMtNtONIdk5i5HK_24t34xgFb2fBEU/s1600/discontinuities-0.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigWHxnE0lP4K8m6ediTAvdzvBa2PS_6PRZmIvuD6c5sOkLZ4kwgoFhOHKwdzfwaA-MQVhbc4hg7wHz70HKXCUgvRTLDb37a1aNOrJg8DgdnFnfQMyLZnATz1K0NZIk7qdbu4onIE8iVek/s1600/discontinuities-1.png)
Второй тип разрывов функций - это конечный неустранимый разрыв. Левый и правый пределы функции в точке конечного неустранимого разрыва существуют (конечны), но не равны между собой. Так, что функция в точке разрыва испытывает "скачок", величина которого равна разности правого и левого пределов функции в точке разрыва. Примером может служить ступенчатая функция Хевисайда, которая находит широкое применение в радиотехнике. В точке х=0 значение функции Хевисайда скачком изменяется на 1:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJgxXxwgYZMmJDoMzsuhPOx1B7jV2BbKdCP1MuqUiuvHGW8EGdUpA4QUmkVo6LM6_aUtDQXwon4jFyJD_posFFvIDXuupFTqefdJjcFbEqPPEqnVuYdAnfch9K0BLElqBkRQXms4tTuVc/s1600/discontinuities-2.png)
Комбинация двух предыдущих типов разрывов - точка бесконечного разрыва, в которой один односторонний предел конечный, а другой - бесконечный:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg17zvM5WfMsWVsVlFpnyk5q0cCpAYbDNH0wq-Aeu56bfOQ-07V-W6zC84qy-mpvdXhhBaThQVK5NerAiJBiDFr88VbdZ7j-qwl6X25nA6TUI-e25kf-FQqKLtyUfPIAdnXnCBXFEpXNZU/s1600/discontinuities-3.png)
Последний тип разрыва называется "устранимым" разрывом. Это когда в левый и правый пределы в точке разрыва существуют (конечны) и равны между собой, но не равны значению функции в точке разрыва. Простой пример - функция (х - 1)/(х - 1), которая равна 1 всюду, за исключением точки х = 1, где она не определена:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlRuzpiLQ9RAjQzvJLHbN6BsETlbC1RMU2jmpkJCr4X3ztZeBN-0h1Zo3YY7WjHTk6cY2Y11v5FSRmx8IfS4ODxdTkpsQkAd5zzPPgH3ZEgbJI4R2i_yDhr557C57uUdFIexDsJqINuVs/s1600/discontinuities-3-2.png)
Еще один пример функции, которая имеет устранимый разрыв в точке х=1:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSxcZFzoJRzVgBCPg5vv7maC-bMHsJoNgs6I2PfFP1TChgyjc9aP1ecz2wbBsj6qtjW6rjoT9Wwv0XYwOfBqIYwxSfp7901oCCZb_xUjh4yX63pqSPnWso5ZVPVf5G8cF2bDWIoDr272I/s1600/discontinuities-4.png)
Еще один стандартный пример устранимого разрыва:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrxCvrz-TP48RqlFY4OWA0rx-ffCkiMHcKJlyEhHVcKrU9jA91A0LLBCDqk7o4Ji5aThbnlZwThgKpCWCWRzPpCLtENuXt87mgw7ulgt6w_Eg8Z_IbHyN69WUQ7bhhjUy3zKNQRS574L0/s1600/discontinuities-5.png)
Представляет также интерес изучение непрерывности функции sin(1/x), которая имеет в точке х=0 разрыв, который является сложным для классификации. Обратите внимание, что эта функция не определена в точке 0, а кроме того левый и правый пределы функции в точке 0 не существуют, хотя и не являются бесконечными. Неудивительно, что Wolfram|Alpha не выдает никакого заключения относительно классификации данного разрыва:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkAn_ozw6ZIRWK6FzoYCesgKeiivubZia1kodir41IJt9UhE2uDaWTFnXbe2JShXLATD4CNVaZcgUK3tcN2LraEV_Fo9ss7YItYcZ5WZmnaM1g7dpQa4cJ8_V2imSaiVUgmRn195prEq0/s1600/discontinuities-6.png)
Функция, заданная параметрически имеет разрывы в тех точках, где терпит разрыв хотя бы один из ее компонентов:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidFAlaNXuAXkqipdTxpgy2mwLa7SuAzee22AubfYRnNRzxbj8GqyVXH87BR6ZiHn0SanMq9zVCRZcCPfEjsAeyPJn0GN9ELHZBvvV_ECT3CXJNqZK8AtuAUGwwBQN_kFWhC42DK-P9j_k/s1600/discontinuities-7.png)
Отыскание точек разрыва функций комплексного переменного является более сложной задачей. В настоящее время Wolfram|Alpha успешно определяет полюсы. Этот вопрос уже рассматривался в посте Ряды Лорана в Wolfram|Alpha или Кто читает Wolfram|Alpha по-русски. Здесь приведу лишь один пример, сравните:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgujDCGtHmN59_qEhyphenhyphen5oGfAkab4SUWbS2FR7NfB67vhUqQVIKsOokfQMGgJ0nwJXOxFVaDjCZ2pMArvRpUXz8li1zQNckPTNdCswZOzfhXPFVq1GrOMuvgxPDIobsNqTObjsGCnM6FzJbY/s1600/discontinuities-8.png)
Как видим, запрос discontinuities, который предназначен для исследования разрывности функций действительного переменного, дает ответ, что данная функция непрерывна.
Напротив, другой запрос - poles - предназначенный для нахождения полюсов функций комплексного переменного, находит не только полюсы данной функции, но и соответствующие им вычеты:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsi4VVwVnfbERC4ztpGzZVHDF5zGHTK6TRqWDarJH4wRYMnNekMINxJi7yLhCABkB5NDWyGU_Rkeg9ULuZI73Q1XhPP3bgcNFNePM2JGO5I_W670PPNQlGbAUtuBkbaaH1bMJINNsVUnE/s1600/poles-9.png)
Таким образом, для исследования разрывов функции действительного аргумента в Wolfram|Alpha следует использовать запрос discontinuities.