Модель "хищник-жертва" (модель Лоттки-Вольтерра) - это математическая модель межвидовой конкуренции биологических видов. Она описывает взаимодействие между двумя видами, находящимися в отношении "хищник-жертва", "паразит-хозяин" и т. п.
Данная модель представлена системой 2-х дифференциальных уравнений первого порядка:
Здесь: х=x(t) - количество "жертв", у=y(t) - количество "хищников", которые взаимодействуют в рамках закрытой экосистемы в момент времени t.
Если немного "поиграться" с параметрами модели "хищник-жертва", то можно заметить, что стационарная точка модели - теоретическая точка равновесного состояния системы Р, вокруг которой располагаются фазовые траектории - легко вычисляется. Ее координаты:
х = коэффициент убывания (вымирания) хищников / коєффициент рождаемости хищников;
у = коэффициент прироста (рождаемости) жертв / коєффициент поедания жертв хищниками.
Так это или не так, попробуйте проверить сами.
Здесь: х=x(t) - количество "жертв", у=y(t) - количество "хищников", которые взаимодействуют в рамках закрытой экосистемы в момент времени t.
Согласно этой модели, значения х и у подвержены колебаниям, что очевидно: возрастание количества потенциальных жертв естественно приводит к увеличению количества хищников, что в свою очередь приводит к уменьшению количества жертв, за счет чего уменьшается количество хищников и т. д. Этот процесс носит циклический характер, что графически описывается так: точка с координатами (х; у) движется вдоль некоторой замкнутой фазовой траектории вокруг точки равновесия, положение которой зависит от конкретной ситуации, параметров конкретной модели.
Численный эксперимент на основе модели Лоттки-Вольтерра позволяет установить главные закономерности, описывающие поведение конкретной системы "хищник-жертва" - найти точку равновесия системы и ее фазовую траекторию (фазовый портрет), описывающий поведение системы.
Однако, непосредственная реализация модели Лоттки-Вольтерра в конкретных случаях может быть затруднительной для специалистов-биологов.
Для начала нужно решить систему. Например, если задаться конкретными параметрами, это может выглядеть так:
solve x'(t)=x(t)(-1y(t)+2), y'(t)=y(t)(2y(t)+1)
После этого, нужно еще приложить немало усилий, чтобы исследовать полученное решение... В общем, морока.
В этом случае поможет калькулятор модели Лоттки-Вольтерра, который в Wolfram|Alpha выводится по запросу predator-prey model
Параметрами модели Лоттки-Вольтерра (в обозначениях Wolfram|Alpha) служат:
В калькуляторе модели Лоттки-Вольтерра достаточно указать параметры модели, чтобы тут же получить нужный результат - общее решение модели, точку равновесия системы и ее фазовый портрет (семейство ее фазовых траекторий):
Как видим, при данных параметрах системы одна из возможных ее фазовых траекторий проходит через точки (5;1) и (4;9) (приблизительно). Это означает, что в случае, когда на 5 потенциальных жертв приходится 1 хищник, дальнейшее развитие событий приводит к увеличению количества хищников с 1 до 9, что приводит к убыли популяции жертв с 5 до 4 и далее по фазовой траектории.
Для начала нужно решить систему. Например, если задаться конкретными параметрами, это может выглядеть так:
solve x'(t)=x(t)(-1y(t)+2), y'(t)=y(t)(2y(t)+1)
В этом случае поможет калькулятор модели Лоттки-Вольтерра, который в Wolfram|Alpha выводится по запросу predator-prey model
- коэффициент прироста (рождаемости) жертв (prey population growth parameter);
- коэффициент убывания (вымирания) хищников (predator population extinction parameter);
- коэффициент межвидового взаимодействия 1 (species interaction parameter 1) - коєффициент поедания жертв хищниками;
- коэффициент межвидового взаимодействия 2 (species interaction parameter 2) - коєффициент рождаемости хищников;
- начальное количество жертв в популяции (initial prey population);
- начальное количество хищников в популяции (initial predator population).
В калькуляторе модели Лоттки-Вольтерра достаточно указать параметры модели, чтобы тут же получить нужный результат - общее решение модели, точку равновесия системы и ее фазовый портрет (семейство ее фазовых траекторий):
Как видим, при данных параметрах системы одна из возможных ее фазовых траекторий проходит через точки (5;1) и (4;9) (приблизительно). Это означает, что в случае, когда на 5 потенциальных жертв приходится 1 хищник, дальнейшее развитие событий приводит к увеличению количества хищников с 1 до 9, что приводит к убыли популяции жертв с 5 до 4 и далее по фазовой траектории.
P. S.
Если немного "поиграться" с параметрами модели "хищник-жертва", то можно заметить, что стационарная точка модели - теоретическая точка равновесного состояния системы Р, вокруг которой располагаются фазовые траектории - легко вычисляется. Ее координаты:
х = коэффициент убывания (вымирания) хищников / коєффициент рождаемости хищников;
у = коэффициент прироста (рождаемости) жертв / коєффициент поедания жертв хищниками.
Так это или не так, попробуйте проверить сами.