В математике любую плоскую фигуру, ограниченную кривыми линиями, принято называть криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла.
В Wolfram|Alpha для вычисления площадей криволинейных трапеций в простейших случаях можно использовать специальный запрос area between, параметрами которого служат уравнения кривых, ограничивающих данную фигуру. Например:
area between y=x^2-x+1, y=x^3+3x^2-2x-1
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO2zL0skqLb1ZSNNr9Ug57-eeqoABs_aTBC55PKtbqUWPId16yBjNwfisHZnffU76z_TK4yGsnupNQvP1ObvQbuqKHYwj4BPl3rUIAmhLTBBmk6XIBejhQ1xDmYbLMz8lwxtY2hRjc-P4/s1600/area-between.jpg)
К сожалению, для более сложных случаев запрос area between часто не срабатывает. Вот один из многочисленных примеров, когда Wolfram|Alpha не может правильно определить площадь между двумя кривыми по запросу area between:
area between y=x^2-1, y=lnx
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRwROFykaVfEGftRUlahFdfwwENQF8YwSjLAo2rxbNOARQIk9b185DctNWhfGTeGelClP_ynsW9IyQsipuBTZ9E-EHwdsDUMm8stN_lFLrZ3GcZCN6Tf3UO4QY9GJUNZgGmtE9MVUzhps/s1600/area-between-false.jpg)
Что же делать в таких случаях? Как найти площадь между этими двумя кривыми в Wolfram|Alpha?
Можно вычислить площадь обычным "ручным" способом, используя Wolfram|Alpha как калькулятор. Можно предложить следующий ход действий.
Сначала следует определить пределы интегрирования - найти абсциссы точек, в которых пересекаются две кривые. Для этого нужно решить уравнение x^2-1=lnx:
real solve x^2-1=lnx
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrMXvz-dodqPsBDWzeiiTiRHbaG-naWfcQoC9XdEyJzHyCxCTqXsU3pHUhICr47sZlMlMcAbflR8VBaT4YDx08Pz2MWFy0fKlxsyOzYd8j97pmkmEW0dBXlxSWMyE43SzQ-rMUMzo3sH4/s1600/real-solve.jpg)
После этого, чтобы найти площадь фигуры между данными кривыми, нужно просто вычислить определенный интеграл:
integrate lnx-(x^2-1) dx, x=0.450764..1
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDW8DfZ0Ixk-T-16_-uxMXM1nzOKf5Nr_lnqxg7_8awXM491CzZn792eCXwu7Q7zs1Ud2Tka0-iuDVRZVWgHW-pSWccheHHHxf-Za3kDrGyFA9QL1tertEbWvZFQjkkeIA-BFRiEIt_iI/s1600/area-between-ok.jpg)
Таким образом можно попытаться вычислить площадь между кривыми практически в любом случае, даже если он кажется достаточно сложным.
Традиционный способ вычисления площадей плоских фигур, когда Wolfram|Alpha фактически выступает в качестве своеобразного калькулятора, вполне оправдан при изучении основ интегрального исчисления. Однако, для решения прикладных задач использовать его не очень удобно.
Кстати, для вычисления определенного интеграла удобно использовать калькулятор интегралов Wolfram|Alpha.
В Wolfram|Alpha для вычисления площадей криволинейных трапеций в простейших случаях можно использовать специальный запрос area between, параметрами которого служат уравнения кривых, ограничивающих данную фигуру. Например:
area between y=x^2-x+1, y=x^3+3x^2-2x-1
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiO2zL0skqLb1ZSNNr9Ug57-eeqoABs_aTBC55PKtbqUWPId16yBjNwfisHZnffU76z_TK4yGsnupNQvP1ObvQbuqKHYwj4BPl3rUIAmhLTBBmk6XIBejhQ1xDmYbLMz8lwxtY2hRjc-P4/s1600/area-between.jpg)
К сожалению, для более сложных случаев запрос area between часто не срабатывает. Вот один из многочисленных примеров, когда Wolfram|Alpha не может правильно определить площадь между двумя кривыми по запросу area between:
area between y=x^2-1, y=lnx
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRwROFykaVfEGftRUlahFdfwwENQF8YwSjLAo2rxbNOARQIk9b185DctNWhfGTeGelClP_ynsW9IyQsipuBTZ9E-EHwdsDUMm8stN_lFLrZ3GcZCN6Tf3UO4QY9GJUNZgGmtE9MVUzhps/s1600/area-between-false.jpg)
Что же делать в таких случаях? Как найти площадь между этими двумя кривыми в Wolfram|Alpha?
Можно вычислить площадь обычным "ручным" способом, используя Wolfram|Alpha как калькулятор. Можно предложить следующий ход действий.
Сначала следует определить пределы интегрирования - найти абсциссы точек, в которых пересекаются две кривые. Для этого нужно решить уравнение x^2-1=lnx:
real solve x^2-1=lnx
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrMXvz-dodqPsBDWzeiiTiRHbaG-naWfcQoC9XdEyJzHyCxCTqXsU3pHUhICr47sZlMlMcAbflR8VBaT4YDx08Pz2MWFy0fKlxsyOzYd8j97pmkmEW0dBXlxSWMyE43SzQ-rMUMzo3sH4/s1600/real-solve.jpg)
После этого, чтобы найти площадь фигуры между данными кривыми, нужно просто вычислить определенный интеграл:
integrate lnx-(x^2-1) dx, x=0.450764..1
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDW8DfZ0Ixk-T-16_-uxMXM1nzOKf5Nr_lnqxg7_8awXM491CzZn792eCXwu7Q7zs1Ud2Tka0-iuDVRZVWgHW-pSWccheHHHxf-Za3kDrGyFA9QL1tertEbWvZFQjkkeIA-BFRiEIt_iI/s1600/area-between-ok.jpg)
Таким образом можно попытаться вычислить площадь между кривыми практически в любом случае, даже если он кажется достаточно сложным.
Традиционный способ вычисления площадей плоских фигур, когда Wolfram|Alpha фактически выступает в качестве своеобразного калькулятора, вполне оправдан при изучении основ интегрального исчисления. Однако, для решения прикладных задач использовать его не очень удобно.
Кстати, для вычисления определенного интеграла удобно использовать калькулятор интегралов Wolfram|Alpha.