В математике любую плоскую фигуру, ограниченную кривыми линиями, принято называть криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла.
В Wolfram|Alpha для вычисления площадей криволинейных трапеций в простейших случаях можно использовать специальный запрос area between, параметрами которого служат уравнения кривых, ограничивающих данную фигуру. Например:
area between y=x^2-x+1, y=x^3+3x^2-2x-1
К сожалению, для более сложных случаев запрос area between часто не срабатывает. Вот один из многочисленных примеров, когда Wolfram|Alpha не может правильно определить площадь между двумя кривыми по запросу area between:
area between y=x^2-1, y=lnx
Что же делать в таких случаях? Как найти площадь между этими двумя кривыми в Wolfram|Alpha?
Можно вычислить площадь обычным "ручным" способом, используя Wolfram|Alpha как калькулятор. Можно предложить следующий ход действий.
Сначала следует определить пределы интегрирования - найти абсциссы точек, в которых пересекаются две кривые. Для этого нужно решить уравнение x^2-1=lnx:
real solve x^2-1=lnx
После этого, чтобы найти площадь фигуры между данными кривыми, нужно просто вычислить определенный интеграл:
integrate lnx-(x^2-1) dx, x=0.450764..1
Таким образом можно попытаться вычислить площадь между кривыми практически в любом случае, даже если он кажется достаточно сложным.
Традиционный способ вычисления площадей плоских фигур, когда Wolfram|Alpha фактически выступает в качестве своеобразного калькулятора, вполне оправдан при изучении основ интегрального исчисления. Однако, для решения прикладных задач использовать его не очень удобно.
Кстати, для вычисления определенного интеграла удобно использовать калькулятор интегралов Wolfram|Alpha.
В Wolfram|Alpha для вычисления площадей криволинейных трапеций в простейших случаях можно использовать специальный запрос area between, параметрами которого служат уравнения кривых, ограничивающих данную фигуру. Например:
area between y=x^2-x+1, y=x^3+3x^2-2x-1
К сожалению, для более сложных случаев запрос area between часто не срабатывает. Вот один из многочисленных примеров, когда Wolfram|Alpha не может правильно определить площадь между двумя кривыми по запросу area between:
area between y=x^2-1, y=lnx
Что же делать в таких случаях? Как найти площадь между этими двумя кривыми в Wolfram|Alpha?
Можно вычислить площадь обычным "ручным" способом, используя Wolfram|Alpha как калькулятор. Можно предложить следующий ход действий.
Сначала следует определить пределы интегрирования - найти абсциссы точек, в которых пересекаются две кривые. Для этого нужно решить уравнение x^2-1=lnx:
real solve x^2-1=lnx
После этого, чтобы найти площадь фигуры между данными кривыми, нужно просто вычислить определенный интеграл:
integrate lnx-(x^2-1) dx, x=0.450764..1
Таким образом можно попытаться вычислить площадь между кривыми практически в любом случае, даже если он кажется достаточно сложным.
Традиционный способ вычисления площадей плоских фигур, когда Wolfram|Alpha фактически выступает в качестве своеобразного калькулятора, вполне оправдан при изучении основ интегрального исчисления. Однако, для решения прикладных задач использовать его не очень удобно.
Кстати, для вычисления определенного интеграла удобно использовать калькулятор интегралов Wolfram|Alpha.