Вычисление миноров и алгебраических дополнений элементов квадратной матрицы - одна из часто встречающихся задач линейной алгебры.
Вычисление миноров
Для вычисления миноров в Wolfram|Alpha служит запрос minors. После этого запроса нужно указать квадратную матрицу для элементов которой вычисляются миноры. Например,
minors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikCjx-RN5nVe2s2rP1ItbA1FoWYZzaEnwwf08DcQ1T1PjTad5-MHh6D12Yv5QSN-_C7jnLaxdKi-ZXtJSoLmdyPOGJ1xCjaAvDYPlyQebL93TC92u2HnXQhpnKbMArOujgIckWrWnH_6c/s1600/minors.jpg)
В результате этого запроса Wolfram|Alpha выводит квадратную матрицу, элементами которой являются миноры соответствующих элементов исходной матрицы. Так, в приведенном выше примере минор элемента (1;1)=1 исходной матрицы равен 5 (элемент (1;1) результирующей матрицы), минор элемента (1;2)=2 исходной матрицы равен 7 (элемент (1;2) результирующей матрицы), минор элемента (1;3)=3 исходной матрицы равен -1 (элемент (1;3) результирующей матрицы) и т. д.
Вычисление алгебраических дополнений
Для вычисления алгебраических дополнений служит запрос cofactors
cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj77NxZjVSkZvMAoSpOn12JDAuZYVRYCoDzWPufWTlvDkd6QOxIT9XAyFF3nyAynFYloDut_uWcqj0YvmemccD50mDvVYOykXvyW7FyZTev2j8WgNJTfZ8ouHSnLth1A3M4ewjZgWrcgwY/s1600/cofactors.jpg)
В ответ на запрос cofactors Wolfram|Alpha выводит "присоединенную матрицу" - квадратную матрицу, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов исходной матрицы.
Пошаговое решение систем линейных алгебраических уравнений
При помощи данных запросов, а также используя уже известные сведения о действиях с матрицами в Wolfram|Alpha, можно сконструировать пошаговое решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом.
Рассмотрим пошаговое решение на примере системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:
x+2y+3z=0
3x+2y+z=1
2x+y+3z=2
1. Вычисляем главный определитель системы: det {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}
2. Находим присоединенную матрицу (матрицу из алгебраических дополнений) и транспонируем ее: transpose cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}
3. Находим обратную матрицу в "ручном режиме":
transpose cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}/det {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}
(Для проверки: найти обратную матрицу можно иначе: inverse {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}})
4. Умножаем обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов:
[transpose cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}/det {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}].{{0},{1},{2}}
В результате получим решение данной системы:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTrwMcZZvXytW6Ti8ttiDY170MTTE-ceWTTSoXkiZfHcycBxanQlRYAFLXzstm4MIgyj9SBF4f2nBaZ9wpCWHM3L28P4UxAeREoCavFWt1CPE8WpCAuQfhUSHC70FPV3h-m2-FXU8uMms/s1600/solver.jpg)
Проверка: solve x+2y+3z=0, 3x+2y+z=1, 2x+y+3z=2
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9HNxgHfOZ7bv_iI_J9kIvmMUAJOijJSa018AfXw9Iz0Q2vcH3OEeDegs71863Z2MyvagMkKrrjsm1zf-ej_W-fpFAvpFHWqaHUTi_nuTMQX4IYZzKiYkEcuK6jp1Pek-sFCEXsdOC58Y/s1600/solver-2.jpg)
Вычисление миноров
Для вычисления миноров в Wolfram|Alpha служит запрос minors. После этого запроса нужно указать квадратную матрицу для элементов которой вычисляются миноры. Например,
minors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikCjx-RN5nVe2s2rP1ItbA1FoWYZzaEnwwf08DcQ1T1PjTad5-MHh6D12Yv5QSN-_C7jnLaxdKi-ZXtJSoLmdyPOGJ1xCjaAvDYPlyQebL93TC92u2HnXQhpnKbMArOujgIckWrWnH_6c/s1600/minors.jpg)
В результате этого запроса Wolfram|Alpha выводит квадратную матрицу, элементами которой являются миноры соответствующих элементов исходной матрицы. Так, в приведенном выше примере минор элемента (1;1)=1 исходной матрицы равен 5 (элемент (1;1) результирующей матрицы), минор элемента (1;2)=2 исходной матрицы равен 7 (элемент (1;2) результирующей матрицы), минор элемента (1;3)=3 исходной матрицы равен -1 (элемент (1;3) результирующей матрицы) и т. д.
Вычисление алгебраических дополнений
Для вычисления алгебраических дополнений служит запрос cofactors
cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj77NxZjVSkZvMAoSpOn12JDAuZYVRYCoDzWPufWTlvDkd6QOxIT9XAyFF3nyAynFYloDut_uWcqj0YvmemccD50mDvVYOykXvyW7FyZTev2j8WgNJTfZ8ouHSnLth1A3M4ewjZgWrcgwY/s1600/cofactors.jpg)
В ответ на запрос cofactors Wolfram|Alpha выводит "присоединенную матрицу" - квадратную матрицу, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов исходной матрицы.
Пошаговое решение систем линейных алгебраических уравнений
При помощи данных запросов, а также используя уже известные сведения о действиях с матрицами в Wolfram|Alpha, можно сконструировать пошаговое решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом.
Рассмотрим пошаговое решение на примере системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:
x+2y+3z=0
3x+2y+z=1
2x+y+3z=2
1. Вычисляем главный определитель системы: det {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}
2. Находим присоединенную матрицу (матрицу из алгебраических дополнений) и транспонируем ее: transpose cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}
3. Находим обратную матрицу в "ручном режиме":
transpose cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}/det {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}
(Для проверки: найти обратную матрицу можно иначе: inverse {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}})
4. Умножаем обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов:
[transpose cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}/det {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}].{{0},{1},{2}}
В результате получим решение данной системы:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjTrwMcZZvXytW6Ti8ttiDY170MTTE-ceWTTSoXkiZfHcycBxanQlRYAFLXzstm4MIgyj9SBF4f2nBaZ9wpCWHM3L28P4UxAeREoCavFWt1CPE8WpCAuQfhUSHC70FPV3h-m2-FXU8uMms/s1600/solver.jpg)
Проверка: solve x+2y+3z=0, 3x+2y+z=1, 2x+y+3z=2
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9HNxgHfOZ7bv_iI_J9kIvmMUAJOijJSa018AfXw9Iz0Q2vcH3OEeDegs71863Z2MyvagMkKrrjsm1zf-ej_W-fpFAvpFHWqaHUTi_nuTMQX4IYZzKiYkEcuK6jp1Pek-sFCEXsdOC58Y/s1600/solver-2.jpg)