Миноры и алгебраические дополнения в Wolfram|Alpha

Вычисление миноров и алгебраических дополнений элементов квадратной матрицы - одна из часто встречающихся задач линейной алгебры.

Вычисление миноров

Для вычисления миноров в Wolfram|Alpha служит запрос minors. После этого запроса нужно указать квадратную матрицу для элементов которой вычисляются миноры. Например,

minors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}



В результате этого запроса Wolfram|Alpha выводит квадратную матрицу, элементами которой являются миноры соответствующих элементов исходной матрицы. Так, в приведенном выше примере минор элемента (1;1)=1 исходной матрицы равен 5 (элемент (1;1) результирующей матрицы), минор элемента (1;2)=2 исходной матрицы равен 7 (элемент (1;2) результирующей матрицы), минор элемента (1;3)=3 исходной матрицы равен -1 (элемент (1;3) результирующей матрицы) и т. д.

Вычисление алгебраических дополнений

Для вычисления алгебраических дополнений служит запрос cofactors

cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}



В ответ на запрос cofactors Wolfram|Alpha выводит "присоединенную матрицу" - квадратную матрицу, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов исходной матрицы.


Пошаговое решение систем линейных алгебраических уравнений

При помощи данных запросов, а также используя уже известные сведения о действиях с матрицами в Wolfram|Alpha, можно сконструировать пошаговое решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом.

Рассмотрим пошаговое решение на примере системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

x+2y+3z=0
3x+2y+z=1
2x+y+3z=2

1. Вычисляем главный определитель системы: det  {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}

2. Находим присоединенную матрицу (матрицу из алгебраических дополнений) и транспонируем ее: transpose cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}

3. Находим обратную матрицу в "ручном режиме":
transpose cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}/det  {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}

(Для проверки: найти обратную матрицу можно иначе: inverse {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}})

4. Умножаем обратную матрицу на матрицу-столбец свободных членов:

[transpose cofactors {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}/det  {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}].{{0},{1},{2}}

В результате получим решение данной системы:



Проверка: solve x+2y+3z=0, 3x+2y+z=1, 2x+y+3z=2

ShareThis