Тройной интеграл в Wolfram|Alpha

Чтобы найти тройной интеграл в Wolfram|Alpha, используйте следующий синтаксис (вместо integrate допускается сокращенный вариант int):


Обратите внимание, что здесь, как и для двойных интегралов, для Wolfram|Alpha крайне важен порядок записи дифференциалов dx, dy и dz в подынтегральном выражнении, который определяет последовательность повторного интегрирования.

В общем случае, результат, который выводит Wolfram|Alpha, зависит от того, в какой последовательности выполняется повторное интегрирование (в каком порядке записаны dx, dy и dz ). Сравните, к примеру, предыдущий пример со следующим:


Чтобы вычислить определенный тройной интеграл, нужно правильно указать пределы интегрирования.

Если все пределы интегрирования постоянные, то порядок записи dx, dy и dz не имеет значения. Например,


То же самое, когда речь идет про вычисление тройных интегралов с бесконечными пределами:


Однако же, если в тройном интеграле заданы переменные пределы интегрирования, то порядок записи dx, dy и dz опять становится важным. Нельзя забывать, что dx, dy и dz при вычислении тройного интеграла в  Wolfram|Alpha нужно записывать обязательно в обратном порядке к той последовательности, в которой должно выполняться повторное интегрирование при вычислении тройного интеграла. А именно так, как показано в этом примере:


Как видим, здесь порядок вычисления тройного интеграла следующий: сначала "берется" внутренний интеграл по dz (пределы интегрирования в котором зависят от x и y), затем - по dy (пределы интегрирования для переменной y зависят от x), и, наконец, "берется" внешний интеграл по dx. Именно поэтому в конце подынтегрального выражения стоит выражение dzdydx (последовательность важна!).

ShareThis