Численным интегрированием называют приближенное вычисление интегралов при помощи одного из численных методов. Численное интегрирование применяется часто в технических задачах, когда вычисление интегралов обычными методами требует чрезмерных усилий, либо интеграл относится к разряду "неберущихся". Здесь мы разберем, что Wolfram|Alpha понимает под численным интегрированием.
Интегралы от функций, для которых не существует первообразных, называют "неберущимися". Точнее, в некоторых случаях первообразные все таки существуют, но не выражаются через элементарные функции. Например, для таких функций, как:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXsfRvb7ioYWerTnKzZKMPgGy8yNUdAGQLZajIVDv2yAfdnG4579-LDTFILsrrAtr_1q-IjG-hs9FxUdSuOqUv1d2KrSaU2HPYH_rVSeD9243rk-wQzv0Xc-s5e_OcgWSP3TOACtxswQM/s1600/none-antiderivative.png)
Интегралы от функций, для которых не существует первообразных, называют "неберущимися". Точнее, в некоторых случаях первообразные все таки существуют, но не выражаются через элементарные функции. Например, для таких функций, как:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXsfRvb7ioYWerTnKzZKMPgGy8yNUdAGQLZajIVDv2yAfdnG4579-LDTFILsrrAtr_1q-IjG-hs9FxUdSuOqUv1d2KrSaU2HPYH_rVSeD9243rk-wQzv0Xc-s5e_OcgWSP3TOACtxswQM/s1600/none-antiderivative.png)
Попытки отыскать интегралы от этих функций при помощи Wolfram|Alpha приводят к следующим результатам:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxP5Omz0XycRr_lo8whtaJ_5NJjCa345RsAG9lkn7SeNtLZIdSSRoOITGzSa9M99IrZs6MGc6BYfOIpQyq329fZy_24YwpzQwzGpRhKm6PpTcjxoHeJ8iQ7nd4Qxmk__DCyK-wGVUKVCo/s1600/integrate-ex2.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixZrwxLCGQSqYkhyxtk29SVtDFAR-N1Z0yGu3JOEztqgzBgJxhoiR3iUu18lNqEJ25PRf887HZy_LsOCrT7uE3EUOXJt7iJfrQjVhP3zlzWG-DWKEl3pPbYQEGfRQopWmf78d6Qhro1c8/s1600/integrate-sinx2.png)
Есть и другие, более сложные, примеры "неберущихся" интегралов.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxP5Omz0XycRr_lo8whtaJ_5NJjCa345RsAG9lkn7SeNtLZIdSSRoOITGzSa9M99IrZs6MGc6BYfOIpQyq329fZy_24YwpzQwzGpRhKm6PpTcjxoHeJ8iQ7nd4Qxmk__DCyK-wGVUKVCo/s1600/integrate-ex2.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixZrwxLCGQSqYkhyxtk29SVtDFAR-N1Z0yGu3JOEztqgzBgJxhoiR3iUu18lNqEJ25PRf887HZy_LsOCrT7uE3EUOXJt7iJfrQjVhP3zlzWG-DWKEl3pPbYQEGfRQopWmf78d6Qhro1c8/s1600/integrate-sinx2.png)
Есть и другие, более сложные, примеры "неберущихся" интегралов.
Например, можно привести пример интеграла от функции, первообразная для которой вообще не существует. Но, это не является препятствием для его приближенного вычисления: для вычисления таких интегралов Wolfram|Alpha, как и в предыдущем примере, использует разложение в ряд Маклорена:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhM39PKcV8L9o9jNgsadtXKm-WuiEjYJ1VWKe51uluzPrZTJUDH26Nly_msF69sGNLo8J4ZkONfZdYdLyH4OrG8plqVEpcjflbYzQqUQhm7WcLxw4VReDDNOtqReX4h30rG2PbUrQ2K5QY/s1600/integrate-sqrt.png)
Сказанное выше полностью относится и к вычислению определенных "не берущихся" интегралов. При этом Wolfram|Alpha также выводит геометрическую интерпретацию полученного результата:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCabDsIlQ0m9Jdu3FEIPz7YrAain7vT4TOfB9ySpKPyoiXenBx2BVr2nCXT4XToE3Xi_WXdjVGKSyNAOD9qof7oIiSpecfQ9emcC5bj06Ub5hr3xznSyVlvm8Mj21HXITYZUk6XZr09TU/s1600/integrate-sin-cos.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgn49e1-ujHgE9WYjlzRIjdJMekHMqEVo6sxi-A2I9aemT5ozYCVmvWXGN3gaKWRCKgs4Gia4VQ1myhYmpWeuKRxIAzKlYMRR1vZUWQkVe9b08Fj7rLyqPMbWtb_VVYWJtX1v5Y_7H6C0I/s1600/integrate-ln-sin-cos.png)
Общий вывод: Wolfram|Alpha находит и вычисляет "не берущиеся" интегралы (если это вообще возможно). Однако при этом не предоставляет возможности выбирать метод интегрирования.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhM39PKcV8L9o9jNgsadtXKm-WuiEjYJ1VWKe51uluzPrZTJUDH26Nly_msF69sGNLo8J4ZkONfZdYdLyH4OrG8plqVEpcjflbYzQqUQhm7WcLxw4VReDDNOtqReX4h30rG2PbUrQ2K5QY/s1600/integrate-sqrt.png)
Сказанное выше полностью относится и к вычислению определенных "не берущихся" интегралов. При этом Wolfram|Alpha также выводит геометрическую интерпретацию полученного результата:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCabDsIlQ0m9Jdu3FEIPz7YrAain7vT4TOfB9ySpKPyoiXenBx2BVr2nCXT4XToE3Xi_WXdjVGKSyNAOD9qof7oIiSpecfQ9emcC5bj06Ub5hr3xznSyVlvm8Mj21HXITYZUk6XZr09TU/s1600/integrate-sin-cos.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgn49e1-ujHgE9WYjlzRIjdJMekHMqEVo6sxi-A2I9aemT5ozYCVmvWXGN3gaKWRCKgs4Gia4VQ1myhYmpWeuKRxIAzKlYMRR1vZUWQkVe9b08Fj7rLyqPMbWtb_VVYWJtX1v5Y_7H6C0I/s1600/integrate-ln-sin-cos.png)
Общий вывод: Wolfram|Alpha находит и вычисляет "не берущиеся" интегралы (если это вообще возможно). Однако при этом не предоставляет возможности выбирать метод интегрирования.