Само по себе разложение на элементарные дроби в общем случае достаточно трудоемкая процедура, которая не имеет особого самостоятельного значения при решении практических задач. Разве что, как гимнастика ума. Поэтому, когда возникает вопрос о том, как разложить рациональную дробь на элементарные дроби, есть смысл обратиться к Вольфрам Альфа.
Разложение дробных рациональных выражений на элементарные дроби Вольфрам Альфа выполняет по запросу вида partial fraction [дробное выражение].
Рациональные дроби бываю правильные и неправильные. Вот пример разложения правильной рациональной дроби на элементарные дроби:
partial fraction (x^2-1)/(x^4-16)

Если же дробь неправильная, то с этой задачей Вольфрам Альфа также легко справляется. В запросе ничего, как видите, не меняется:
partial fraction (x^7-1)/(x^4-16)

P.S.
partial fraction (x^2-1)/(x^4-16)

Если же дробь неправильная, то с этой задачей Вольфрам Альфа также легко справляется. В запросе ничего, как видите, не меняется:
partial fraction (x^7-1)/(x^4-16)

P.S.
Написал это для первокурсников. На первом курсе по высшей математике как раз проходят такую тему "Интегрирование рациональных дробей". Надеюсь, эта заметка им пригодится.