Само по себе разложение на элементарные дроби в общем случае достаточно трудоемкая процедура, которая не имеет особого самостоятельного значения при решении практических задач. Разве что, как гимнастика ума. Поэтому, когда возникает вопрос о том, как разложить рациональную дробь на элементарные дроби, есть смысл обратиться к Вольфрам Альфа.
Разложение дробных рациональных выражений на элементарные дроби Вольфрам Альфа выполняет по запросу вида partial fraction [дробное выражение].
Рациональные дроби бываю правильные и неправильные. Вот пример разложения правильной рациональной дроби на элементарные дроби:
partial fraction (x^2-1)/(x^4-16)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLW6bjCoDE6nOe8jssRUQpE7FGeiX1xMoWHylj9kmda5AQG2K9-i2z8Pdyjdl4Gy5IwsIWtMT2DlUu8TTCoa4kdqR-09B0BaAXKh52tKTXpCrPuiKO9soZumVknqyAHV9OisM71-nLjAM/s1600/partial-fraction.png)
Если же дробь неправильная, то с этой задачей Вольфрам Альфа также легко справляется. В запросе ничего, как видите, не меняется:
partial fraction (x^7-1)/(x^4-16)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfhxdK24AzeEe8O5Bl_eZCM5qQDX-4hNaoBeVNLkqEHDwNsIphwLW6tz_hZ2dFrgaIHu2_AEPOrbQXzoh8RSHbWg7USUuy5z06tcWqGt79mlktpG7hAdf-ABKjiGuXgq2h57-2GEdl3wQ/s1600/partial-fraction-2.png)
P.S.
partial fraction (x^2-1)/(x^4-16)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLW6bjCoDE6nOe8jssRUQpE7FGeiX1xMoWHylj9kmda5AQG2K9-i2z8Pdyjdl4Gy5IwsIWtMT2DlUu8TTCoa4kdqR-09B0BaAXKh52tKTXpCrPuiKO9soZumVknqyAHV9OisM71-nLjAM/s1600/partial-fraction.png)
Если же дробь неправильная, то с этой задачей Вольфрам Альфа также легко справляется. В запросе ничего, как видите, не меняется:
partial fraction (x^7-1)/(x^4-16)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfhxdK24AzeEe8O5Bl_eZCM5qQDX-4hNaoBeVNLkqEHDwNsIphwLW6tz_hZ2dFrgaIHu2_AEPOrbQXzoh8RSHbWg7USUuy5z06tcWqGt79mlktpG7hAdf-ABKjiGuXgq2h57-2GEdl3wQ/s1600/partial-fraction-2.png)
P.S.
Написал это для первокурсников. На первом курсе по высшей математике как раз проходят такую тему "Интегрирование рациональных дробей". Надеюсь, эта заметка им пригодится.