Простые числа в Wolfram|Alpha

Простые числа - это натуральные числа, которые делятся нацело только на себя и на 1. Примерами простых чисел являются: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... Отыскание простых чисел - одна из важных задач арифметики и теории  чисел.

Wolfram|Alpha позволяет решать самые разнообразные задачи, связанные с простыми числами, и отвечать на многие вопросы, в которых фигурирует понятие простого числа.

Например, нужно проверить является ли данное число простым? Для этого можно обратиться к Wolfram|Alpha с запросом на "естественном" языке:

is 11099088 prime?, что означает: "является ли 11099088 простым числом?"

В результате получим исчерпывающий ответ:



Согласно основной теоремы арифметики (fundamental theorem of arithmetic): любое натуральное число можно разложить единственным способом в произведение простых чисел. То есть, если данное число не является простым, то можно найти разложение числа на простые множители (заметьте, что эта задача уже была решена предыдущим запросом):

Найти количество сомножителей в разложении числа на простые множители позволяет следующий запрос:

prime omega(11099088)

Как видим, этот результат (11 сомножителей в разложении данного числа на простые множители) нам уже известен из двух предыдущих запросов.

Еще один запрос, результат которого нам уже известен - найти простое число, ближайшее к данному числу:

prime nearest to 11099088


Еще Эвклид доказал, что множество простых чисел бесконечно. Однако, пока не найден простой алгоритм, который позволял бы найти любой член множества простых чисел по его номеру. Множество простых чисел постепенно пополняется новыми членами - ученые открывают все новые и новые простые числа. А Wolfram|Alpha позволяет узнать каково наибольшее известное на сегодня простое число. Для этого служит запрос:




Как видим, на январь 2012 года, по данным Wolfram|Alpha, наибольшее известное простое число  2^43112609 - 1.

Wolfram|Alpha может найти первое простое число, большее заданного числа. Например, нужно найти первое простое число после миллиарда:

NextPrime[1000000000]


Синонимами этого последнего запроса могут служить следующие: first prime greater than a billion или first prime > billion.

Чтобы найти все простые числа, меньшие или равные заданному числу, используйте запрос вида:

primes <= 100


Если же нужно найти только количество простых чисел, меньших или равных заданному числу, это можно сделать, например, так:

number primes <= 100 или pi[100]


Простые числа, расположенные между двумя заданными числами, например:

primes between 99999900 and 100000000



Арифметические действия с простыми числами, найденными Wolfram|Alpha,  Например:










Наконец, можно найти случайное простое число, состоящее из заданного количества цифр. Например, случайное 7-значное простое число:

random 7-digit prime



Специальные простые числа

Среди простых чисел часто встречаются особые пары - простые числа "близнецы", которые отличаются друг от друга на 2. Например, такие, как 3 и 5,  11 и 13, .... В английском языке они называются twin primes. Сколько существует простых близнецов неизвестно. Однако, Wolfram|Alpha уверенно может найти 100 000-ю пару простых чисел-близнецов:

100000th twin prime


Рассмотрение простых чисел будет неполным, если не упомянуть о том, что есть простые числа Мерсенна (Mersenne primes) и простые числа Ферма, с которыми также можно решать некоторые задачи  в Wolfram|Alpha. Например, такие

5th Mersenne prime



5th Fermat prime



Несмотря на то, что этот обзор возможностей Wolfram|Alpha по работе с простыми числами получился довольно обширным, он, конечно же, не может претендовать на исчерпывающую полноту. При этом, внимательному читателю должно быть понятно, что комбинируя рассмотренные выше запросы, можно с помощью Wolfram|Alpha решать довольно большое количество задач, связанных с простыми числами.

ShareThis