Как вычислить приближенное значение определенного интеграла в Wolfram|Alpha, используя численные методы решения интегралов

Приближенные методы вычисления определенного интеграла приходят на помощь, когда вычисление интегралов точными методами затруднительно, нецелесообразно или невозможно.

Уверен, все знают про "неберущиеся" интегралы. Называются они так не потому, что "за них даже не стоит браться", а потому, что их нельзя вычислить обычными методами, которыми оперирует интегральное исчисление потому, что они не выражаются в элементарных функциях. Но, если использовать методы численного интегрирования, например, такие, как метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (метод Симпсона), то вычислять "не берущиеся" интегралы ничуть не сложнее обычных "берущихся".

И если... вас интересует приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций (вычисление интегралов методом трапеций), нужен пример на метод Симпсона (метод Симпсона примеры решения), либо вы просто хотите знать, как решить интеграл методом Симпсона, срочно требуется метод Симпсона онлайн,  а также другое, связанное с приближенными методами вычислений определенных интегралов, вам определенно стоит дочитать этот пост до конца.

Вопрос про численное интегрирование уже обсуждался ранее, как раз в связи с вычислением "не берущихся" интегралов. По этому поводу был пост Численное интегрирование в Wolfram|Alpha, в котором приближенное вычисление определенного интеграла рассматривалось с точки зрения высшей математики. Здесь приближенное вычисление определенных интегралов будет рассмотрено более подробно с позиций прикладной математики.

Для начала, уточним, какие методы численного интегрирования (Numerical Integration Methods) используются чаще всего. Вот их названия: метод левых прямоугольников (left endpoint method), метод правых прямоугольников (right endpoint method), метод средних прямоугольников (midpoint method), метод трапеций (trapezoidal method), метод Симпсона (иначе, метод парабол) (Simpson's method) . Вместо "метод" также говорят "формула" или "правило", имея ввиду больше практический нежели теоретический аспект. Отсюда: формула левых прямоугольников (left endpoint rule), формула правых прямоугольников (right endpoint rule), формула средних прямоугольников (midpoint rule), формула трапеций (trapezoidal rule), формула Симпсона (формула парабол) (Simpson's rule). Конечно, есть и другие методы, например, метод Буля (Boole's rule)..

Для иллюстрации применения численных методов приближенного вычисления определенных интегралов можно было бы взять взять любой "берущийся" или "не берущийся" интеграл. Однако, для удобства визуального представления результатов мы рассмотрим такой пример:


(Коэффициент 10 введен здесь "для красоты" и особого значения не имеет.)

Во-первых, убедимся, что данный интеграл существует. Для этого достаточно построить график подынтегральной функции на отрезке интегрирования, чтобы визуально проверить условия существования определенного интеграла:

plot sqrt((1+10x^2)/(1+x^4)) x=0..1



Как видим, подынтегральная функция определена и непрерывна на отрезке интегрирования (во всех точках), поэтому данный интеграл существует.

Во-вторых, в том, что данный интеграл действительно "не берущийся", т.е. не выражается в элементарных функциях, можно убедиться непосредственно, попытавшись найти неопределенный интеграл:

integrate sqrt((1+10x^2)/(1+x^4))dx



(Синтаксис запросов на вычисление определенных интегралов Wolfram|Alpha в  рассматривался нами ранее в посте Определенный интеграл в Wolfram|Alpha.)

Как видим, наш интеграл действительно "не берущийся", но его можно найти приближенно, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд с ее последующим интегрированием, как это показано на картинке выше (см. также: Как разложить функцию в степенной ряд).


ShareThis