Математические снежинки в Wolfram|Alpha

Зимние снежинки имеют самое непосредственное отношение к математике: все они имеют разнообразную, но характерную форму, которую узнаешь с первого взгляда, и являются хорошей иллюстрацией геометрического понятия симметрии. Ко всему прочему, на снежинки очень удобно сослаться, когда нужно пояснить такое непростое понятие, как "фрактал".

Оригинальная совершенная геометрия снежинок обусловлена сложными физическими процессами, лежащими в основе их образования. В результате происходит последовательное повторение, пошаговое воспроизведение, копирование и масштабирование одной и той же простой геометрической формы, и из кристалликов льда образуются удивительные по красоте конструкции, складывающиеся в причудливые узоры, неизменно восхищающие и радующие глаз своим своей непредсказуемостью и совершенством.

Из всего многообразия известных на сегодня фрактальных линий далее рассмотрим только их "новогодние" варианты - "математические снежинки", которые можно легко получить с помощью Wolfram|Alpha.

Наиболее известной из таких линий является "снежинка Коха" - один из первых, исследованных учеными фракталов. Снежинка Коха является классическим примером непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Она обладает целым рядом удивительных свойств, и впервые была описана в статье шведского математика Хельге фон Коха (Niels Fabian Helge von Koch) в 1904 году: Вот, как она выглядит:

Koch snowflake


Ссылка выше указывает на калькулятор снежинок Коха в Wolfram|Alpha. С его помощью вы сможете исследовать процедуру построения снежинок Коха, основанную на простом итерационном правиле.


Снежинка Коха, как и другие фракталы, имеет свою пару - антиснежинку Коха, которая получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника:

Koch anti‐snowflake




Интересные фракталы, по форме еще более напоминающие снежинки, можно строить на основе многих геометрических фигур, обладающих симметрией. Так, если взять за основу правильный пятиугольник, то получается следующее:

pentaflake



Точно также, симпатичную математическую снежинку можно получить на основе правильного шестиугольника:

hexaflake



Эту конструкцию можно сделать еще более похожей на ажурную снежинку, если вместо трех итераций, как на предыдущем рисунке, сделать четыре:



С некоторым приближением к "математическимснежинкам" можно отнести также "математические ледышки" - фрактальные объекты, которые своей формой отчасти напоминают кусочки льда:

triangle ice fractal и square ice fractal

Они также имеют парные им фракталы:

anti-triangle ice fractal и anti‐square ice fractal



Надеюсь, Вам понравилась тема математических снежинок в Wolfram|Alpha. На эту заметку меня вдохновил новогодний пост Как вырезать самую красивую снежинку, опубликованный в блоге Всё Бесплатное Сети