Как найти асимптоты графика функции f(x)

Найти асимптоты графика функции f(x) - это пятое по счету задание в общей схеме исследования функции, которое следует после четырех предыдущих.

Вот эти первые четыре задания, о которых идет речь:
  1. Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва.
  2. Найти множество значений функции f(x).
  3. Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).
  4. Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy.
Для отыскания асимптот служит запрос asymptotes f(x), который позволяет найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

asymptotes (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)



Чтобы найти отдельно вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты используются запросы, соответственно: vertical asymptotes f(x), horisontal asymptotes f(x) и oblique asymptotes f(x). Кроме того, по запросу asymptotes f(x) выводятся также полиномиальные и параболические асимптоты графика функции (если они есть).

Горизонтальные асимптоты можно найти вычислив пределы функции f(x) на бесконечности. Для этого служат запросы вида: lim f(x) x->-oo и lim f(x) x->+oo. Вместо символа бесконечности можно использовать слово «infinity» или же символы «оо».

lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4) x->-oo



lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4) x->+oo



Как видим, данная функция не имеет горизонтальных асимптот: на минус бесконечности она неограниченно возрастает, а на плюс бесконечности - неограниченно убывает.

Наклонные асимптоты также можно найти пошагово, воспользовавшись уравнением наклонной асимптоты



параметрами которого являются угловой коэффициент k и свободный член b. здесь используются такие запросы: для отыскания k служит запрос lim f(x)/x x->oo, для отыскания b - запрос lim (f(x)-kx) x->oo (вместо k нужно подставить его значение, найденное на предыдущем шаге).

Найдем k:

k = lim ((5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))/x x->oo



Найдем b:

b = lim [(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))-(-5)x] x->oo



Как видим, этот результат совпадает с тем, что было найдено выше при помощи запроса asymptotes.

ShareThis