Собственные векторы и собственные числа матрицы в Вольфрам Альфа

Диагональная матрица - это наиболее "удобный" вид матриц, действия с такими матрицами выполняются наиболее просто.

Квадратная невырожденная матрица А порядка n приводится к диагональному виду по формуле


где S - квадратная невырожденная матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А, а


- диагональная матрица, по диагонали которой располагаются собственные числа (значения) матрицы А.

Чтобы найти собственные векторы и собственные числа данной квадратной невырожденной матрицы система Вольфрам Альфа предлагает несколько запросов, а также встроенный калькулятор собственных векторов и собственных значений матрицы.

Собственные числа (значения) матрицы

Прежде всего, для отыскания собственных чисел (собственных значений) матрицы можно использовать такой запрос:

eigenvalues [{2,0,3},{10,-3,-6},{-1,0,-2}]



Собственные векторы матрицы

Для отыскания собственных векторов исходной матрицы служит такой запрос

eigenvectors [{2,0,3},{10,-3,-6},{-1,0,-2}]



Проверка результатов

Правильность этих результатов можно легко проверить, используя данную выше формулу преобразования исходной матрицы к диагональному виду. Напомню, что собственные векторы матрицы А являются столбцами (а не строками!) матрицы S.

Оператор Лапласа в Вольфрам Альфа

Это пост посвящен использованию оператора Лапласа в системе Вольфрам Альфа. В конце поста я дам ответ на вопрос одного из читателей блога, связанный с этой темой.

Оператор Лапласа - математическое действие применительно к скалярному или векторному полю (скалярной или векторной функции), которое чаще всего используется в электростатике, электродинамике, физике сплошных сред, при изучении равновесия мембран, пленок или же поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением, а также в стационарных задачах диффузии и теплопроводности.

Три формы запроса оператора Лапласа

Для математика, оператор Лапласа - это дифференциальный оператор, который определяется, как сумма вторых частных производных по координатам, и действие которого эквивалентно последовательному отысканию дивергенции и градиента функции.

Поэтому первая форма запроса, которая используется в системе Вольфрам Альфа, чтобы найти результат действия оператора Лапласа на некоторую скалярную функцию, выглядит так (порядок операторов важен):

div grad r^cos(phi)/(r^2+r*sin(phi))



Эта форма запроса оператора Лапласа применительно к векторной функции выглядит аналогично. Однако (это важно!), изменяется порядок операторов - сначала градиент, а потом дивергенция. Т.е. сначала вычисляется дивергенция векторной функции, а потом градиент ее компонентов:

grad div {x^2+z, sin(x)y, e^(3z)}



ShareThis