Как найти аналитическую функцию комплексной переменной по ее действительной или мнимой части

Как найти аналитическую функцию комплексной переменной по ее действительной или мнимой части?

Существует несколько способов решения этой задачи. Мы воспользуемся одним из них, наиболее простым, на мой взгляд. И рассмотрим его на примере, который давно описан в учебниках (к сожалению, сейчас уже не вспомню в каком именно). Мы с вами решим этот пример с помощью Вольфрам Альфа.

Восстановим аналитическую функцию f(z)=u(x,y) + iv(x,y) по ее действительной части u(x,y)=e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x и значению f(0)=0.

Действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного являются гармоническими функциями в R^2, и следовательно, удовлетворяют уравнению Лапласа:


Используя этот факт, для начала с помощью Вольфрам Альфа проверим, является ли данная функция u(x,y) гармонической, т. е. может ли она вообще являться действительной частью аналитической функции комплексного переменного. Вариантов, как сформулировать соответствующий запрос есть несколько, но я использую такой:

d2/dx2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x) + d2/dy2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x)=0


Можно также использовать запросы d2/dx2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x) + d2/dy2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x) или laplace (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x). Они также позволяют проверить, является ли данная функция гармонической, и дают тот же ответ, хоть и несколько в иной форме.

ShareThis