Калькулятор определенных интегралов Вольфрам Альфа

На сегодняшний день в итогах текущего голосования "Статьи на какую тему наиболее интересны для Вас?" лидирует тема "Интегральное исчисление".

В статье Калькулятор интегралов в Wolfram|Alpha уже шла речь о калькуляторе неопределенных интегралов (indefinit integrals), который позволяет экономить время при решении неопределенных интегралов в Вольфрам Альфа.

В Вольфрам Альфа  имеется также и калькулятор определенных интегралов, который система выводит по запросу

definite integrals

Здесь достаточно ввести подынтегральную функцию, указать пределы интегрирования и нажать кнопку "=".

Кроме обычных определенных интегралов, калькулятор определенных интегралов Вольфрам Альфа справляется также и с несобственными интегралами первого рода.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений в Вольфрам Альфа

Чтобы получить общее решение системы дифференциальных уравнений, достаточно просто ввести эти уравнения в систему Вольфрам Альфа, используя принятую здесь нотацию.

Например,

solve {dx/dt=x-2y+1, dy/dt=2x+y-1}

Мне было интересно проследить, как изменится решение системы, если изменить лишь один из коэффициентов в первом уравнении (сравните):

solve {dx/dt=5x-2y+1, dy/dt=2x+y-1}

Угловые точки графика функции

Здесь показано, как найти угловые точки графика функции с помощью системы Вольфрам Альфа.

Система Вольфрам Альфа выводит информацию об угловых точках графика функции по запросам cusps и corners.

Рассмотрим функцию

Ее график имеет две угловые точки:

Чтобы вычислить координаты этих угловых точек, используем запросы

cusps sqrt |x-2| - cbrt |x+2| или coners sqrt |x-2| - cbrt |x+2|

Они дают аналогичный результат:



Далее приводятся дополнительные примеры отыскания координат угловых точек графика функции.

Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал с помощью калькуляторов вероятностный распределений

В статье Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал рассмотрен запрос, с помощью которого в Вольфрам Альфа  вычисляется вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

В случае нормального распределения, указанный упомянутой статье запрос имеет вид:

P(-1.2<X<2.3) X~normal mean=1 sd=2

Результат этого запроса:

Указанная форма удобна, если выполняется единичный расчет. В случае, когда необходимо выполнить несколько подобных расчетов подряд, для вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал удобнее использовать калькуляторы вероятностных распределений.

Ниже дан алгоритм решения рассмотренного выше примера с помощью калькулятора нормального распределения.

1. Сначала переходим в калькулятор нормального распределения системы Вольфрам Альфа по запросу: 

probabilities for the normal distribution

и последовательно активизируем указанные параметры:

2. В окне калькулятора указываем границы интервала, для которого нужно рассчитать вероятность попадания случайной величины, вводим параметры распределения и выполняем расчет:

 

Легко проверить, что результаты, полученные двумя способами, совпадают. 

Калькуляторы вероятностных распределений

Для проверки статистических гипотез используются таблицы вероятностных распределений, которые не всегда под рукой. Кроме того, чаще всего нам доступны учебные таблицы, которые имеют ограниченный размер, и в них не всегда можно найти все необходимые данные. К примеру, при проверке гипотезы относительно статистического распределения выборки скорее всего Вам потребуется таблица распределения Хи-квадрат. Если же такой таблицы у вас нет, можете использовать калькулятор распределения хи-квадрат, который предоставляет система Вольфрам Альфа по запросу

probabilities for the chi‐squared distribution



Калькулятор распределения хи-квадрат не единственный калькулятор статистических распределений в Вольфрам Альфа.

В статьях про Дискретные вероятностные распределения и Непрерывные вероятностные распределения из раздела Теория вероятностей приведен список доступных в Вольфрам Альфа непрерывных и дискретных вероятностных распределений. Следуя этому списку, можно получить доступ к некоторым основным калькуляторам статистических распределений, просто прибавляя к названию распределения ключевой запрос probabilities for the ...

Однако, в настоящее время для описанных в данных статьях вероятностных распределений, в Вольфрам Альфа доступны только восемь калькуляторов - 3 для непрерывных распределений и 5 - для дискретных.

Для непрерывных вероятностных распределений, кроме калькулятора распределения хи-квадрат доступны также:

probabilities for the normal distribution - калькулятор нормального распределения;

probabilities for the student's t distribution - калькулятор t-распределения Стьюдента;

Коллекция калькуляторов дискретных вероятностных распределений в системе Вольфрам Альфа более богатая:

probabilities for the binomial distribution - биномиальное распределение;

probabilities for the negative binomial distribution - отрицательное нормальное распределение;

probabilities for the geometric distribution - геометрическое распределение;

probabilities for the hypergeometric distribution - гипергеометрическое распределение;

probabilities for the poisson distribution - распределение Пуассона;

Как видите, в этом списке фигурируют далеко не все вероятностные распределения, доступные в Вольфрам Альфа. Это означает, что соответствующие алгоритмы расчета еще не доступны в системе. Однако система ВА постоянно развивается, и, вполне возможно, что уже в ближайшее время этот список пополнится.

Точки пересечения графика функции с осями координат

Для того, чтобы найти точки пересечения графика функции одной переменной y=f(x) с координатными осями Ox и Oy при помощи Вольфрам Альфа, используйте запрос вида intercepts f(x).

Например,  intercepts (x^2-5)/(x+2.5)

В результате выполнения такого запроса Вольфрам Альфа выводит график функции y=f(x), на котором отмечены все точки пересечения графика функции с осями координат..


..а также числовые значения точек пересечения графика функции y=f(x) с координатными осями Ox и Oy:


Способ отыскания точек пересечения графика функции одной переменной y=f(x) с координатными осями Ox и Oy в Вольфрам Альфа при помощи запроса intercepts является лучшей (естественной) альтернативой тем запросам, при помощи которых мы находили точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox и точки пересечения графика функции f(x) с осью Oy, когда проводили полное исследование функции одной переменной с помощью Вольфрам Альфа.

Решение систем линейных алгебраических уравнений: если система выводит сообщение об ошибке "false"

Недавно столкнулся с одной проблемой: при решении системы линейных алгебраических уравнений в Вольфрам Альфа в ответ на запрос

solve{-1.1x1+3.8x2+7.2x3-2.1x4=3.5, 0.1x1+0.2x2+5.4x4=2.9, 7.6x1+2.8x2-1.4x3+3.2x4=11.1, 0.6x1+7.9x2+2.3x3+7.4x4=-2}

система Вольфрам Альфа выводит сообщение об ошибке "false"

Эта ошибка появляется вследствие того, что Вольфрам Альфа интерпретирует букву "х", которой обозначены неизвестные, как знак векторного умножения, и, соответственно, не может правильно интерпретировать запрос.

Существует несколько способов, как избежать этой проблемы.

Первый - простейший способ предотвратить появление сообщения "false" - обозначить неизвестные другой буквой, которая не похожа ни на один специальный математический знак. Например, можно обозначить неизвестные буквой "а". В результате получим вполне адекватный ответ,

solve{-1.1a1+3.8a2+7.2a3-2.1a4=3.5, 0.1a1+0.2a2+5.4a4=2.9, 7.6a1+2.8a2-1.4a3+3.2a4=11.1, 0.6a1+7.9a2+2.3a3+7.4a4=-2}

Как табулировать функцию в Вольфрам Альфа

Как табулировать функцию, т.е. вычислить таблицу значений функции, заданной аналитически с помощью Вольфрам Альфа?

Для этого в Вольфрам Альфа существует специальный запрос, который имеет следующий синтаксис: table[функция, {аргумент,начальное значение, конечное значение, шаг табуляции}]

Например,

 table[x/(x+1),{x,0,5,1}]

Прогулка под дождем

Читая официальный блог WolframAlpha, часто обнаруживаю там информацию, которая представляет для меня лично особый интерес. Один из таких постов посвящен решению известной "олимпиадной" задаче по физике, с которой я познакомился еще в школьные годы. Задачу эту можно условно назвать "Прогулка под дождем", поскольку ее вопрос формулируется примерно так: с какой скоростью должен передвигаться человек во время дождя из пункта А в пункт В, чтобы промокнуть как можно меньше?


Источник: askville.amazon.com

Представьте, что внезапно пошел дождь, а ближайшее укрытие расположено на расстоянии 100 м. Жаль, конечно, но у Вас в руках нет зонтика. Однако, Вы вовсе не желаете сильно промокнуть. Вы должны принять решение - то ли быстро бежать к укрытию, или же неторопливо идти к нему, соблюдая достоинство :). От Вашего выбора зависит, насколько сильно Вы промокнете. Иначе говоря, Вы должны решить, как быстро Вам нужно передвигаться, чтобы промокнуть как можно меньше? Ну, и, конечно, немедленно действовать.

Формально, постановка этой задачи - на стыке физики и математики. Для физика - это задача на механическое движение, а для математика - на экстремум. Ее решение включает: (а) построение математической модели процесса перемещения под дождем (здесь мы используем свои знания из механики); (б) исследование этой математической модели - отыскание экстремума (минимума) (здесь нам нужна только математика).

Для получения адекватного ответа на эту задачу, условно приближенного к реальности, WolframAlpha использует готовую математическую модель, которая учитывает:

• геометрические параметры объекта, который перемещается под дождем (в нашем случае, человека), для простоты - высота (height:), ширина (width shoulder to shoulder), глубина (width front to back) (м); 
• скорость движения объекта (speed) (м/с); 
• расстояние - дистанция, которую нужно преодолеть (distance to travel) (м); 
• скорость капель дождя (rain speed) (м/с); 
• угол движения капель к направлению движения объекта (angle of rain to the direction of motion), а также угол к фронтальной части объекта (лица человека) (angle of rain to side of person) (градусы); 
• интенсивность осадков (rain rate) (мм/час). 

Данная модель позволяет исследовать "промокание при беге под дождем" (wetness from running in the rain, w). В WolframAlpha она реализуется при помощи специального калькулятора, который система выводит по запросам wetness from running in the rain или walking in the rain.



Этот калькулятор позволяет вычислять "промокание при беге под дождем" (w) с учетом всех указанных параметров. А именно, он вычисляет: (a) время проведенное под дождем (time to spent in the rain) и "промокание" (wetness) при заданном расстоянии "пробега" (distance to travel) и других параметрах; (b) расстояние "пробега под дождем" (distance to travel) и "промокание" (wetness) при заданном времени пребывания под дождем (time to spent in the rain). Переключение между (a) и (b) производится выбором соответствующей опции в выпадающем списке "Calculate", расположенном в верхней части калькулятора.

Золотое сечение (golden ratio) в Вольфрам Альфа

Золотое сечение (golden ratio) - один из самых популярных математических запросов в Интернете.

Наиболее наглядной иллюстрацией к понятию золотого сечения является так называемый золотой прямоугольник (golden rectangle), отношение сторон которого равно золотому сечению:

golden rectangle

В связи с этим, я решил поинтересоваться, что знает о золотом сечении Вольфрам Альфа?

Первое, что пришло на ум, обратится к Вольфрам Альфа непосредственно с запросом golden ratio:

golden ratio или golden number

Вольфрам Альфа поздравляет с 8 Марта

Милые женщины и девушки, в честь праздника 8 Марта примите от системы Вольфрам Альфа эту математическую розу.

rose-like curve image

Котовасия в Вольфрам Альфа: рисованные изображения котов и не только

Система Вольфрам Альфа известна тем, что кроме прочего по запросу предоставляет разнообразные изображения известных персонажей, представленные, как математические кривые в прямоугольной декартовой системе координат, вместе с соответствующими параметрическими уравнениями этих кривых.

Недавно, с целью популяризации системы Вольфрам Альфа среди пользователей социальной сети ВКонтакте, я решил принять участие в конкурсе рисунков, организованном в этой молодежной сети пользователем с ником Ленивый Кот. Суть конкурса: участники присылают Ленивому Коту рисованные изображения котов и кошек, которые он размещает в своей группе Истории Ленивого Кота для голосования. Победитель получает "почет и уважение", а также граффити-автограф, нарисованный на стене пользователя "собственнолапно" Ленивым Котом. Идея конкурса мне понравилась. Кроме того, и сам Ленивый Кот показался мне довольно забавным, что стало еще одним аргументом за то, чтобы принять участие в конкурсе.

К моему сожалению, в рисовании я не силен. Тем не менее, используя упомянутое выше свойство Вольфрам Альфа, мне удалось присоединится к участникам конкурса.

Ниже представлены коллекция изображений котов, которые я отправил на конкурс (проголосуйте за меня), а также справочные сведения о котах (что тоже весьма познавательно и интересно), которые выводит система Вольфрам Альфа по запросам.

first cat curve image

second cat curve image

Как разложить дробно-рациональное выражение на элементарные дроби

Интегрирование рациональных дробей непосредственно связано с разложением дробно-рациональных выражений на элементарные дроби. Собственно, это - первый шаг, который нужно сделать при интегрировании рациональной дроби.

Само по себе разложение на элементарные дроби в общем случае достаточно трудоемкая процедура, которая не имеет особого самостоятельного значения при решении практических задач. Разве что, как гимнастика ума. Поэтому, когда возникает вопрос о том, как разложить рациональную дробь на элементарные дроби, есть смысл обратиться к Вольфрам Альфа.

Разложение дробных рациональных выражений на элементарные дроби Вольфрам Альфа выполняет по запросу вида partial fraction [дробное выражение].

Рациональные дроби бываю правильные и неправильные. Вот пример разложения правильной рациональной дроби на элементарные дроби:

partial fraction (x^2-1)/(x^4-16)

Такой же день рождения

Какова вероятность того, что хотя бы у двух человек в вашей компании (классе, группе) совпадет день рождения?

Вольфрам Альфа решает эту задачу по запросу birthday problem [n], где n - кол-во людей в группе.

Так, например, если в группе 12 человек, то вероятность того, что хотя бы у двоих в этой группе совпадет день рождения, будет такая

birthday problem 12

Как найти аналитическую функцию комплексной переменной по ее действительной или мнимой части

Как найти аналитическую функцию комплексной переменной по ее действительной или мнимой части?

Существует несколько способов решения этой задачи. Мы воспользуемся одним из них, наиболее простым, на мой взгляд. И рассмотрим его на примере, который давно описан в учебниках (к сожалению, сейчас уже не вспомню в каком именно). Мы с вами решим этот пример с помощью Вольфрам Альфа.

Восстановим аналитическую функцию f(z)=u(x,y) + iv(x,y) по ее действительной части u(x,y)=e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x и значению f(0)=0.

Действительная и мнимая части аналитической функции комплексного переменного являются гармоническими функциями в R^2, и следовательно, удовлетворяют уравнению Лапласа:

Используя этот факт, для начала с помощью Вольфрам Альфа проверим, является ли данная функция u(x,y) гармонической, т. е. может ли она вообще являться действительной частью аналитической функции комплексного переменного. Вариантов, как сформулировать соответствующий запрос есть несколько, но я использую такой:

d2/dx2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x) + d2/dy2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x)=0

Можно также использовать запросы d2/dx2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x) + d2/dy2 (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x) или laplace (e^x cosy + x^2 - y^2 + 3x). Они также позволяют проверить, является ли данная функция гармонической, и дают тот же ответ, хоть и несколько в иной форме.