Как приближенно найти действительные корни алгебраических и трансцендентных уравнений с помощью процессора вычисляемых знаний Wolfram|Alpha.
Приближенные методы отыскания корней алгебраических и трансцендентных уравнений - иначе, численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений (numerical root finding) - часто применяются в инженерных расчетах, поскольку такие уравнения, возникающие при решении практических задач, в большинстве случаев нельзя решить точными методами. Даже когда поиск их точного решения все же возможен, то при этом он, как правило, сопряжен со значительными затратами усилий и времени. Применение численных методов для приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений полезно и оправдано во всех случаях, когда не важен ход решения уравнения, а нужно лишь найти хотя бы приближенное решение уравнения с заданной точностью.
Wolfram|Alpha реализует алгоритмы основных численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, таких, как метод половинного деления (bisection method), метод хорд (метод секущих - secant method), метод касательных (метод Ньютона - Newton's method, Newton-Raphson method).
На практике, приближенное отыскания действительных корней уравнения вида f(x)=0 с помощью численных методов проходит в два этапа.
Сначала ищем интервалы изоляции корней уравнения, поскольку все численные методы позволяют искать лишь изолированные корни уравнений. Действительные корни уравнения f(x)=0 соответствуют точкам пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс. Поэтому, чтобы найти интервалы изоляции действительных корней заданного уравнения достаточно с помощью Wolfram|Alpha построить график функции f(x). Подробнее об этом - в статье
Изоляция корней и графическое решение уравнений в Wolfram|Alpha.
После того, как интервалы изоляции корней уравнения будут найдены, можно применить тот или иной численный метод для отыскания приближенного значения корней на каждом из интервалов изоляции. Как увидим далее, в Wolfram|Alpha эта процедура несколько упрощается.
Рассмотрим далее трансцендентное уравнение 5cos(x)-ln(x)-1=0.
По виду этого уравнения можно сразу предположить, что оно имеет несколько непериодических решений. Сколько именно, пока неизвестно.
Казалось бы, с помощью Wolfram|Alpha проще всего найти эти решения, используя стандартный запрос solve (без параметров). Пробуем. И вот, что получаем:
solve 5cos(x)-ln(x)-1=0
В ответ на наш запрос Wolfram|Alpha выводит 9 приближенных корней данного уравнения. Однако, можно предположить, что это не все его корни. И в самом деле, кроме указанных выше корней, данное уравнение также имеет еще действительные корни большие 30, которые отсутствуют в выдаче Wolfram|Alpha по запросу solve. В том, что такие корни действительно существуют, легко убедиться графическим методом, воспользовавшись следующим запросом на построение графика:
Приближенные методы отыскания корней алгебраических и трансцендентных уравнений - иначе, численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений (numerical root finding) - часто применяются в инженерных расчетах, поскольку такие уравнения, возникающие при решении практических задач, в большинстве случаев нельзя решить точными методами. Даже когда поиск их точного решения все же возможен, то при этом он, как правило, сопряжен со значительными затратами усилий и времени. Применение численных методов для приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений полезно и оправдано во всех случаях, когда не важен ход решения уравнения, а нужно лишь найти хотя бы приближенное решение уравнения с заданной точностью.
Wolfram|Alpha реализует алгоритмы основных численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, таких, как метод половинного деления (bisection method), метод хорд (метод секущих - secant method), метод касательных (метод Ньютона - Newton's method, Newton-Raphson method).
На практике, приближенное отыскания действительных корней уравнения вида f(x)=0 с помощью численных методов проходит в два этапа.
Сначала ищем интервалы изоляции корней уравнения, поскольку все численные методы позволяют искать лишь изолированные корни уравнений. Действительные корни уравнения f(x)=0 соответствуют точкам пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс. Поэтому, чтобы найти интервалы изоляции действительных корней заданного уравнения достаточно с помощью Wolfram|Alpha построить график функции f(x). Подробнее об этом - в статье
Изоляция корней и графическое решение уравнений в Wolfram|Alpha.
После того, как интервалы изоляции корней уравнения будут найдены, можно применить тот или иной численный метод для отыскания приближенного значения корней на каждом из интервалов изоляции. Как увидим далее, в Wolfram|Alpha эта процедура несколько упрощается.
Рассмотрим далее трансцендентное уравнение 5cos(x)-ln(x)-1=0.
По виду этого уравнения можно сразу предположить, что оно имеет несколько непериодических решений. Сколько именно, пока неизвестно.
Казалось бы, с помощью Wolfram|Alpha проще всего найти эти решения, используя стандартный запрос solve (без параметров). Пробуем. И вот, что получаем:
solve 5cos(x)-ln(x)-1=0
В ответ на наш запрос Wolfram|Alpha выводит 9 приближенных корней данного уравнения. Однако, можно предположить, что это не все его корни. И в самом деле, кроме указанных выше корней, данное уравнение также имеет еще действительные корни большие 30, которые отсутствуют в выдаче Wolfram|Alpha по запросу solve. В том, что такие корни действительно существуют, легко убедиться графическим методом, воспользовавшись следующим запросом на построение графика: