Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений в Wolfram|Alpha

Как приближенно найти действительные корни алгебраических и трансцендентных уравнений с помощью процессора вычисляемых знаний Wolfram|Alpha.

Приближенные методы отыскания корней алгебраических и трансцендентных уравнений - иначе, численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений (numerical root finding) - часто применяются в инженерных расчетах, поскольку такие уравнения, возникающие при решении практических задач, в большинстве случаев нельзя решить точными методами. Даже когда поиск их точного решения все же возможен, то при этом он, как правило, сопряжен со значительными затратами усилий и времени. Применение численных методов для приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений полезно и оправдано во всех случаях, когда не важен ход решения уравнения, а нужно лишь найти хотя бы приближенное решение уравнения с заданной точностью.

Wolfram|Alpha реализует алгоритмы основных численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, таких, как метод половинного деления (bisection method), метод хорд (метод секущих - secant method), метод касательных (метод Ньютона - Newton's method, Newton-Raphson method).

На практике, приближенное отыскания действительных корней уравнения вида f(x)=0 с помощью численных методов проходит в два этапа.

Сначала ищем интервалы изоляции корней уравнения, поскольку все численные методы позволяют искать лишь изолированные корни уравнений. Действительные корни уравнения f(x)=0 соответствуют точкам пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс. Поэтому, чтобы найти интервалы изоляции действительных корней заданного уравнения достаточно с помощью Wolfram|Alpha построить график функции f(x). Подробнее об этом - в статье
Изоляция корней и графическое решение уравнений в Wolfram|Alpha.

После того, как интервалы изоляции корней уравнения будут найдены, можно применить тот или иной численный метод для отыскания приближенного значения корней на каждом из интервалов изоляции. Как увидим далее, в Wolfram|Alpha эта процедура несколько упрощается.

Рассмотрим далее трансцендентное уравнение 5cos(x)-ln(x)-1=0.

По виду этого уравнения можно сразу предположить, что оно имеет несколько непериодических решений. Сколько именно, пока неизвестно.

Казалось бы, с помощью Wolfram|Alpha проще всего найти эти решения, используя стандартный запрос solve (без параметров). Пробуем. И вот, что получаем:

solve 5cos(x)-ln(x)-1=0



В ответ на наш запрос Wolfram|Alpha выводит 9 приближенных корней данного уравнения. Однако, можно предположить, что это не все его корни. И в самом деле, кроме указанных выше корней, данное уравнение также имеет еще действительные корни большие 30, которые отсутствуют в выдаче Wolfram|Alpha по запросу solve. В том, что такие корни действительно существуют, легко убедиться графическим методом, воспользовавшись следующим запросом на построение графика:

Как исследовать четность-нечетность функции в Wolfram|Alpha

В дополнение к ранее опубликованным постам, посвященным исследованию функции одной переменной с помощью Wolfram|Alpha, этот пост отвечает на вопрос, как с помощью Wolfram|Alpha проверить... Является ли данная функция y(x) четной или нечетной?

Как известно, чтобы ответить на этот вопрос без помощи Wolfram|Alpha, нужно, исходя из определения четной-нечетной функции, выполнить простое вспомогательное преобразование, а именно: в математическое выражение данной функции вместо аргумента x следует подставить (-x), так, чтобы получить выражение y(-x). Согласно определений четной и нечетной функции, если получится, что y(-x)=y(x), то функция y(x) - четная, если же y(-x)=-y(x), то - нечетная, а если ни то ни другое, то функция y(x) ни четная, ни нечетная.

В самых простых случаях выполнить такую проверку не составит труда. Но, если функция y(x) задана сложным выражением или вовсе не является элементарной, то такая проверка ее четности-нечетности может оказаться довольно трудоемкой задачей. Бывают еще случаи, когда вы не уверены в своем результате. В этих случаях можно обратиться к Wolfram|Alpha с запросом parity y(x), который проверяет четность-нечетность функции y(x) и выводит ответ, который означает следующее: even - функция четная, odd - функция нечетная, neither even nor odd - функция ни четная ни нечетная.

Как это выглядит на практике? Для начала, простой пример четной функции:

parity x^2-1



А это - пример нечетной функции:

ShareThis