Приведение матрицы к ступенчатому виду: пошаговое решение в Wolfram|Alpha

Приведение матрицы к ступенчатому виду - промежуточный этап при решении систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, других задач линейной алгебры. Приведение матрицы к ступенчатому виду также называют преобразованием Гаусса-Жордана.

Для приведения матрицы к ступенчатому виду "вручную" к строкам матрицы применяются элементарные преобразования: строки матрицы можно менять местами, умножать или делить на ненулевое число, складывать и вычитать. В Wolfram|Alpha для приведения матрицы к ступенчатому виду служит запрос row reduce, например:

row reduce {{-1, 1, 7, 5}, {-7, 2, 3, 4}, {-1, 2, 7, -2}}



Чтобы получить пошаговое решение Вы должны заранее зарегистрироваться в Wolfram|Alpha и войти в свой аккаунт.

Разложение (декомпозиция) матриц в Wolfram|Alpha

Разложение (декомпозиция) матриц - задача, которая может возникать, как промежуточный этап в процессе решения систем линейных уравнений, обращения матриц, вычисления определителей, при отыскании собственных значений и собственных векторов матрицы, вычисления аналитических функций от матриц, при использовании метода наименьших квадратов, численном решении дифференциальных уравнений...  При этом, в зависимости от решаемой задачи, используются различные виды разложения (декомпозиции) матриц.

Wolfram|Alpha легко справляется с отдельными видами разложения матриц. А именно, без проблем Wolfram|Alpha выводит LU-разложение, PLU-разложение, QR-разложение, разложение Холецкого, а также сингулярное разложение для тех матриц, к которым можно применять данный вид разложения.

В то же время, алгоритмы других известных разложений матриц, например таких, как спектральное разложение или полярное разложение (применяется, в частности, в функциональном анализе), в Wolfram|Alpha в настоящее время еще не реализованы.

LU-разложение (декомпозиция) матрицы - это представление матрицы A в виде A=LU, т. е. в виде произведения двух матриц LU, где L - нижняя треугольная матрица, а U - верхняя треугольная матрица. LU-разложение матрицы еще называют LU-факторизацией. LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц и вычисления определителей. Это - одна из разновидностей метода Гаусса.

Не все матрицы могут быть представлены в виде LU-разложения. Для произвольных матриц Wolfram|Alpha выводит PLU-разложение матрицы вида A=PLU, где P - перестановочная матрица, L - нижняя треугольная матрица с единицами по главной диагонали. PLU-разложение - это обобщение LU-разложения на случай произвольных матриц.

Чтобы получить LU-разложение матрицы в Wolfram|Alpha используйте запросы вида:

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал? Это одна из самых известных и простейших задач теории вероятностей, которая в Wolfram|Alpha решается довольно просто.

Вероятность попадания случайной величины X в числовой интервал (a; b) с помощью математической символики записывается следующим образом:



Эта вероятность зависит от того, какое распределение вероятностей имеет данная случайная величина. Это важно понимать, и обязательно нужно учитывать при вычислениях.

Вузовские пособия и курсы по высшей математике и теории вероятностей чаще всего подробно рассматривают вопрос о вычислении вероятности попадания в заданный интервал, лишь для нормально распределенной случайной величины, а также для дискретных случайных величин, которые имеют биномиальное распределение вероятностей. Потому-то о том, как искать вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал, когда она имеет какое-либо иное распределение вероятностей, большинство студентов имеет лишь отдаленное представление.

Однако же, в курсах математического моделирования, в технических, экономических дисциплинах возникает необходимость вновь обращаться к этой задаче. Причем, здесь нельзя ограничиться только лишь нормальным или биномиальным распределением вероятностей.

Как найти вероятность попадания в заданный интервал для любой случайной величины? Ответ на этот вопрос также даст Wolfram|Alpha. Достаточно лишь ввести систему соответствующий запрос на вычисление вероятности. При этом нужно указать распределение случайной величины и параметры этого распределения.

Например, чтобы найти вероятность попадания непрерывной случайной величины X, которая имеет нормальное распределение с параметрами (математическое ожидание) mean=1 и (средне-квадратическое отклонение) sd=2 в интервал (-1.2; 2.3) используется такой запрос:

P(-1.2<X<2.3) X~normal mean=1 sd=2



Как видите, здесь Wolfram|Alpha не только выводит числовой результат - значение искомой вероятности, равное 0,606488, но также и его графическую интерпретацию: на графике плотности нормального распределения обозначена фигура (криволинейная трапеция), площадь которой равна искомой вероятности 0,606488. Это соответствует известной формуле:



где f(x) - плотность вероятности нормального распределения (pdf NormalDistribution[mean, sd]). Иначе говоря, для непрерывных случайных величин тот же самый результат можно было бы получить путем интегрирования.

Новогодняя елка в Wolfram|Alpha

Как известно, система Wolfram|Alpha имеет большое количество встроенных алгоритмов, и способна отвечать на вопросы, заданные на "естественном" языке. В канун нового года захотелось воспользоваться этими возможностями Wolfram|Alpha, чтобы получить рисунок, хотя бы отдаленно напоминающий новогоднюю елку.

С точки зрения математики, плоское изображение новогодней елки представляет собой некую область в плоскости хОу, которую можно задать системой неравенств.

Оказалось, что не мне одному пришла в голову такая мысль и подходящий алгоритм уже встроен в Wolfram|Alpha. Теперь я знаю, что изображение елки система Wolfram|Alpha выводит по запросу christmas tree:

christmas tree


С Новым Годом!

ShareThis