Санта Клаус и Вольфрам Альфа

1 января 2013 года я написал и показал в этом блоге, как с помощью Wolfram|Alpha можно легко получить график, напоминающий новогоднюю елку.

Однако, уже под занавес года, когда я вновь обратился к Вольфрам Альфа с прежним запросом christmas tree, то, к моему удивлению, вместо "математической" елки система на этот раз вывела фото настоящего живого дерева вида Abies alba, и еще кое-какую дополнительную информацию.

Тем не менее, продолжая новогоднюю тематику, сегодня я вновь обратился к Вольфрам Альфа с "новогодним" запросом, на этот раз имея ввиду получить картинку, хотя бы отдаленно напоминающую известного новогоднего персонажа Санта Клауса.

Этот запрос, вернее его результат, я уверен, порадует вас в канун Нового Года:

santa-like curve image

Математическое описание этой кривой, которое Вольфрам Альфа выводит вместе с изображением, я решил оставить за рамками этого поста, чтобы не развеивать предпраздничное настроение читателей. Желающие могут ознакомиться с ним непосредственно на сайте системы.

С Новым Годом, друзья!

Украина? Спросите у Вольфрам Альфа

Конечно, география не является темой блога Wolfram|Alpha® по-русски. Однако, в эти дни, когда резко вырос интерес к Украине (об этом можно судить, например, по результатам статистики интернет-запросов в таких поисковых системах, как Google и Яндекс), нельзя умолчать о том, что Вольфрам Альфа в значительной мере может удовлетворить этот интерес. А именно: если вы хотите больше узнать об Украине в количественном измерении - спросите у Вольфрам Альфа.

Вам достаточно будет обратиться к Вольфрам Альфа с запросом Ukraine, в ответ на который система выводит множество числовых сведений об Украине. И если Вы дочитаете до конца, то узнаете об Украине много интересного. Итак,

Ukraine

Прежде всего Вольфрам Альфа выводит информацию про название, национальный домен, национальный флаг и географическое положение страны - схематическую карту Украины:

Вычисление вероятностей в схеме Бернулли с помощью Вольфрам Альфа

В теории вероятностей серия из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события - вероятность "успеха" (probability of success) одинакова и равна p, называется схемой Бернулли (Bernoulli).

Основная задача, которая рассматривается в схеме Бернулли: "Найти вероятность того, что в серии из n независимых испытаний количество "успехов" будет равно k, если вероятность "успеха" в каждом отдельном испытании равна p". Кроме этой задачи, в схеме Бернулли также рассматриваются и другие задачи. О них скажем далее.

Если вычислять вероятности в схеме Бернулли "вручную", то обычно для точного решения при n<=10 и p>0.1 используют формулу Бернулли, поскольку при n>10 и p<0.1 формула Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Когда  n>10, p>0.1 или же n>10, p<0.1,  используют приближенные формулы Лапласа и Пуассона соответственно.

С Вольфрам Альфа, Вы можете не обращать внимание на эти отдельные случаи. Вольфрам Альфа все задачи на схему Бернулли решает одинаково, независимо от того, какое значение имеют n и p.

Задача 1. Найти вероятность заданного количества успехов (compute the probability of a specific outcome). Пример: найти вероятность 10 успехов (successes) в 15-ти испытаниях (trials), если вероятность успеха в каждом испытании равна 0.6.

Ответ получим при помощи запроса, который выводит также множество дополнительных сведений (см. картинку), которые обычно рассматриваются, как отдельные задачи в схеме Бернулли

10 successes 15 trials p=.6

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y,z) в пространственной области Ω

В двух предыдущих статьях о решении основных математических задач на условный экстремум с помощью Вольфрам Альфа было рассмотрено: как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a; b]; как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D.

Продолжая тему, рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, z) в пространственной области Ω.

Как и следовало ожидать, Вольфрам Альфа позволяет решать задачи такого типа в более общей постановке, чем в это делается в обычных курсах высшей математики. Например, далее будет рассмотрено: как найти наибольшее и наименьшее значение функции трех переменных в пространственной области, на поверхности в пространстве, а также на пространственной линии, заданной общим уравнением (как пересечение двух поверхностей). Возможность, получать и анализировать решения подобных задач не только оправдывает, но и делает весьма целесообразным использование системы Вольфрам Альфа в изучении математических дисциплин.

Начнем с традиционной постановки задачи, и рассмотрим, как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, z) в пространственной области Ω ограниченной некоторой поверхностью или несколькими поверхностями, т.е. в области, заданной неравенством или системой неравенств с тремя переменными.
В качестве примера, найдем наибольшее значение функции u=xy/z в области, ограниченной эллипсоидом x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24=0. Кстати, Вольфрам Альфа дает возможность наглядно представить такие поверхности:

image of x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24=0



Теперь с помощью запроса maximize найдем наибольшее значение функции u=xy/z во внутренней области данного эллипсоида:

maximize xy/z in x^2-2x+2y^2-8y+4z^2-16z+24<=0

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D - еще одна задача на условный экстремум  из числа тех, которые изучаются в курсе высшей математики.

Существуют варианты этой задачи: когда область D задана неравенством, системой неравенств, как плоская линия или множество точек на плоскости, возможно, заданных, как точки пересечения нескольких плоских линий (совокупностью или системой уравнений).

Как известно, задачи на условный экстремум в  Вольфрам Альфа решаются с помощью запросов minimize, maximize и extrema, к которым дополнительно присоединяются условия, определяющие заданную область. В этом состоит общий подход к решению подобных задач.

Первый, наиболее простой вариант этой задачи - найти наибольшее значение функции двух переменных f(x,y) в плоской области D, заданной одним неравенством, решается в  Вольфрам Альфа с помощью запроса maximize:

maximize x^2 sin(y) over 4x^2-y-1<=0

Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a;b]

В основном курсе высшей математики рассматривают следующие основные задачи на условный экстремум:

• найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a; b];
• найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y) в плоской области D;
• найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y, z) в пространственной области Ω.

Здесь мы рассмотрим, как решить первую из этих задач в Вольфрам Альфа - как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a; b].

Вольфрам Альфа решает простейшие задачи на экстремум с помощью запросов minimize, maximize и extrema. Если к этим запросам дополнительно присоединить условия, определяющие заданный отрезок, плоскую или пространственную область, где надо найти наибольшее или наименьшее значение заданной функции, то в результате получится запрос, который решает задачу на условный экстремум для функции одного, двух или трех аргументов соответственно.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a; b] с помощью Вольфрам Альфа, используем такой запрос:
extrema x^3-3x^2+5 over [-1, 3]

Калькуляторы скалярного и векторного произведений векторов в Wolfram|Alpha

Скалярное и векторное произведения векторов уже были рассмотрены ранее в заметках Геометрические векторы на плоскости в Wolfram|Alpha и Геометрические векторы в пространстве.

Однако, есть случаи, когда более удобно воспользоваться калькуляторами скалярного и векторного произведений векторов, которыми располагает система Wolfram|Alpha, не прибегая к приемам их прямого вычисления.

Калькулятор скалярного произведения двух векторов система Wolfram|Alpha выводит по запросам  dot product, scalar product или scalar product calculator. Во всех случаях получаем:

Это и есть калькулятор скалярных произведений Wolfram|Alpha.

Чтобы вычислить с его помощью скалярное произведение двух векторов, нужно ввести их координаты в поля "vector 1" и "vector 2" в соответствии с синтаксисом, представленным на образце, и выполнить вычисление, нажав кнопку "=".

Калькулятор векторного произведения трех векторов система Wolfram|Alpha выводит по запросам cross product calculator или vector product calculator:

Результат векторного умножения Wolfram|Alpha выводит в координатной форме и геометрическом представлении - результирующий вектор на рисунке выделяется красным цветом. Кроме того, выводится также: длина (модуль) результирующего вектора, его нормализованная форма, сферические координаты и параметрическое уравнение отрезка, соответствующего данному вектору.

Геометрические векторы в пространстве

Изображение вектора в пространстве и его основные свойства Wolfram|Alpha выводит по запросу:

vector(12, 20, 8)



Вычисление суммы двух векторов в пространстве:

vector(5,20,15)+(20,5,10)

Геометрические векторы на плоскости в Wolfram|Alpha

Изображение геометрического вектора на плоскости Wolfram|Alpha выводит по запросу вида:

vector(12, 20)



Вместе с изображением Wolfram|Alpha выводит также характеристики вектора - абсолютную величину (модуль) вектора, нормированный вектор, углы с осями координат, полярные координаты вектора, уравнение отрезка и угловой коэффициент прямой, для которой данный вектор является направляющим:



Сумма и разность геометрических векторов вычисляется при помощи знаков суммы и разности соответственно. При этом, если ключевое слово "vector" не использовать, то Wolfram|Alpha выводит результат в алгебраическом представлении.

Разложение вектора по базису в Wolfram|Alpha

Как разложить вектор b по базису a1, a2, a3, a4? Рассмотрим на примере.

Пусть даны векторы:

Чтобы разложить вектор b по базису a1, a2, a3, a4 выполним запрос:

LinearSolve[{{1, 1, 1, -1}, {2, 1, 1, -2}, {1, 1, 2, 1}, {1, 1, 2, 4}}, {1, 1, 1, 2}]



Таким образом, разложение вектора b по базису a1, a2, a3, a4 имеет вид:

Далее, для самых любознательных, приводится краткое обоснование этого способа.

Линейная зависимость векторов в Wolfram|Alpha

Линейная зависимость и независимость системы векторов - один из важных вопросов в курсе линейной алгебры. Это связано с тем, что система n линейно независимых n-мерных векторов образует базис n-мерного пространства.

Если спрашивается, являются ли данные векторы линейно независимыми, это означает, что нужно проверить, образуют ли данная система векторов базис. И наоборот.

Как же проверить, являются ли данные векторы линейно независимыми?

Рассмотрим такую систему векторов: {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}.

Чтобы проверить, являются ли эти векторы линейно независимыми, достаточно вычислить определитель, составленный из их координат. Если такой определитель НЕ равен нулю, то данные векторы линейно независимы. Проверим:

det {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}



Итак, этот определитель не равен нулю (он равен -12). А это значит, что данная система векторов линейно независима, то есть образует базис 3-мерного пространства.

Как проверить симметричность матрицы в Wolfram|Alpha

Как узнать, является ли данная матрица симметричной?

Матрицу A называют симметричной или симметрической, если ее элементы симметричны относительно диагоналей матрицы. Поэтому симметричная матрица всегда квадратная и совпадает с её транспонированной матрицей:

Отсюда следует, чтобы просто выяснить, является ли матрица симметричной, достаточно просто визуально проверить: (а) квадратная ли она, и (б) симметричны ли ее элементы относительно диагоналей матрицы.

Если же нужно доказать симметричность или несимметричность матрицы, можно найти транспонированную матрицу и сравнить ее с данной матрицей: если они совпадают, значит данная матрица симметричная. В вычислительных алгоритмах может быть удобнее находить разность двух матриц:

Если в результате получим матрицу, все элементы которой нулевые, то данная матрица A - симметричная. Как, например, в этом случае:

{{a, b, c}, {b, c, b}, {c, b, a}}- transpose {{a, b, c}, {b, c, b}, {c, b, a}

Для наглядности, то же самое, но в числах:

{{1, 2, 3}, {2, 3, 2}, {3, 2, 1}}- transpose {{1, 2, 3}, {2, 3, 2}, {3, 2, 1}}

Если же Вам нужно просто получить ответ на вопрос является ли данная матрица симметричной (не вдаваясь в подробности), достаточно просто обратиться к Wolfram Alpha с этим вопросом (по-английски):

is {{1, 2, 3}, {2, 3, 2}, {3, 2, 1}} a symmetric matrix?

Ответ получим в таком виде:

Надеюсь, теперь Вам не трудно будет проверить симметричность матрицы с помощью Wolfram|Alpha.

Wolframalpha-ru.com - новый адрес нашего блога

Радостное известие!

Сегодня мы получили радостное известие: Блог "Wolfram|Alpha по-русски" переехал на новый домен wolframalpha-ru.com. Теперь, вместо старого привычного адреса wolframalpha-ru.blogspot.com, который трудно было записывать и запоминать, а также неудобно было набирать в адресной строке браузера, вы можете обращаться к блогу "Wolfram|Alpha по-русски" по его новому адресу - wolframalpha-ru.com.

Старый адрес wolframalpha-ru.blogspot.com тоже действует. Для вашего удобства мы оставили его за собой, и этот адрес по-прежнему остается в вашем полном распоряжении. Так что, если вы уже поставили в своем браузере закладки на блог "Wolfram|Alpha по-русски" или его отдельные статьи, или установили ссылку на своем блоге или сайте, можете смело пользоваться ими дальше - все остается в силе!

Как найти присоединенную матрицу в Wolfram|Alpha

Рассмотрим квадратную матрицу {{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}

Что такое присоединенная матрица? Это транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам данной матрицы. Обычно, присоединенная матрица обозначается так:

Отыскание присоединенной матрицы - это первый шаг, который нужно выполнить, если требуется вручную найти обратную матрицу. На втором шаге находим определитель данной матрицы. А затем делим присоединенную матрицу на этот определитель. В результате получаем обратную матрицу:

Соответственно, если известна обратная матрица, то присоединенную матрицу можно найти, если умножить обратную матрицу на определитель данной матрицы:

Конечно, Wolfram|Alpha позволяет легко найти обратную матрицу - это делается с помощью запроса inverse, а также определитель матрицы - с помощью запроса determinant или просто det.

А это значит, присоединенную матрицу для данной в Wolfram|Alpha можно найти, согласно предыдущей формулы, таким образом:

inverse{{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}.det{{1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 1, 3}}



Однако, этот способ довольно громоздкий.

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Wolfram|Alpha

Для поиска аналитических решений обыкновенных дифференциальных уравнений Wolfram Alpha использует стандартный запрос solve (см. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Wolfram Alpha). Если же аналитическое решение дифференциального уравнения найти невозможно, этот запрос выводит лишь семейство интегральных кривых данного уравнения. Например,

solve xy'+x^y=2x

Очевидно, для получения таких интегральных кривых система Wolfram|Alpha использует приближенные (численные) методы интегрирования дифференциальных уравнений.

Чтобы получить само численное решение обыкновенного дифференциального уравнения (Ordinary Differential Equation, ODE, Numerical Differential Equation Solving), в частности, в виде таблицы значений искомой функции, запрос solve нужно уточнить, дополнив его специальными параметрами:

solve {дифференциальное уравнение, начальные условия} (метод интегрирования) [шаг интегрирования] [отрезок интегрирования]

Обязательные параметры - само дифференциальное уравнение, начальные условия и численный метод интегрирования.

Не забудьте, что количество начальных условий должно совпадать с порядком уравнения. Иначе, Wolfram Alpha автоматически подставит в запрос свои начальные или краевые условия.

Рекомендуется указывать явно отрезок интегрирования. Без этого Wolfram Alpha автоматически выполнит 10 шагов интегрирования по умолчанию. Можно явно указать шаг интегрирования. В противном случае, Wolfram Alpha  установит шаг интегрирования по умолчанию, как в следующем примере:

solve {xy'+x^y=2x, y(1)=2} Euler method x=1..4

Если указаны все необходимые параметры, то кроме графика численного решения дифференциального уравнения (интегральной кривой), Wolfram Alpha также выведет само численное решение - таблицу значений искомой функции:

Как вычислить приближенное значение определенного интеграла в Wolfram|Alpha, используя численные методы решения интегралов

Приближенные методы вычисления определенного интеграла приходят на помощь, когда вычисление интегралов точными методами затруднительно, нецелесообразно или невозможно.

Уверен, все знают про "неберущиеся" интегралы. Называются они так не потому, что "за них даже не стоит браться", а потому, что их нельзя вычислить обычными методами, которыми оперирует интегральное исчисление потому, что они не выражаются в элементарных функциях. Но, если использовать методы численного интегрирования, например, такие, как метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (метод Симпсона), то вычислять "не берущиеся" интегралы ничуть не сложнее обычных "берущихся".

И если... вас интересует приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций (вычисление интегралов методом трапеций), нужен пример на метод Симпсона (метод Симпсона примеры решения), либо вы просто хотите знать, как решить интеграл методом Симпсона, срочно требуется метод Симпсона онлайн,  а также другое, связанное с приближенными методами вычислений определенных интегралов, вам определенно стоит дочитать этот пост до конца.

Вопрос про численное интегрирование уже обсуждался ранее, как раз в связи с вычислением "не берущихся" интегралов. По этому поводу был пост Численное интегрирование в Wolfram|Alpha, в котором приближенное вычисление определенного интеграла рассматривалось с точки зрения высшей математики. Здесь приближенное вычисление определенных интегралов будет рассмотрено более подробно с позиций прикладной математики.

Для начала, уточним, какие методы численного интегрирования (Numerical Integration Methods) используются чаще всего. Вот их названия: метод левых прямоугольников (left endpoint method), метод правых прямоугольников (right endpoint method), метод средних прямоугольников (midpoint method), метод трапеций (trapezoidal method), метод Симпсона (иначе, метод парабол) (Simpson's method) . Вместо "метод" также говорят "формула" или "правило", имея ввиду больше практический нежели теоретический аспект. Отсюда: формула левых прямоугольников (left endpoint rule), формула правых прямоугольников (right endpoint rule), формула средних прямоугольников (midpoint rule), формула трапеций (trapezoidal rule), формула Симпсона (формула парабол) (Simpson's rule). Конечно, есть и другие методы, например, метод Буля (Boole's rule)..

Для иллюстрации применения численных методов приближенного вычисления определенных интегралов можно было бы взять взять любой "берущийся" или "не берущийся" интеграл. Однако, для удобства визуального представления результатов мы рассмотрим такой пример:

(Коэффициент 10 введен здесь "для красоты" и особого значения не имеет.)

Во-первых, убедимся, что данный интеграл существует. Для этого достаточно построить график подынтегральной функции на отрезке интегрирования, чтобы визуально проверить условия существования определенного интеграла:

plot sqrt((1+10x^2)/(1+x^4)) x=0..1



Как видим, подынтегральная функция определена и непрерывна на отрезке интегрирования (во всех точках), поэтому данный интеграл существует.

Во-вторых, в том, что данный интеграл действительно "не берущийся", т.е. не выражается в элементарных функциях, можно убедиться непосредственно, попытавшись найти неопределенный интеграл:

integrate sqrt((1+10x^2)/(1+x^4))dx



(Синтаксис запросов на вычисление определенных интегралов Wolfram|Alpha в  рассматривался нами ранее в посте Определенный интеграл в Wolfram|Alpha.)

Как видим, наш интеграл действительно "не берущийся", но его можно найти приближенно, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд с ее последующим интегрированием, как это показано на картинке выше (см. также: Как разложить функцию в степенной ряд).

Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений в Wolfram|Alpha

Как приближенно найти действительные корни алгебраических и трансцендентных уравнений с помощью процессора вычисляемых знаний Wolfram|Alpha.

Приближенные методы отыскания корней алгебраических и трансцендентных уравнений - иначе, численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений (numerical root finding) - часто применяются в инженерных расчетах, поскольку такие уравнения, возникающие при решении практических задач, в большинстве случаев нельзя решить точными методами. Даже когда поиск их точного решения все же возможен, то при этом он, как правило, сопряжен со значительными затратами усилий и времени. Применение численных методов для приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений полезно и оправдано во всех случаях, когда не важен ход решения уравнения, а нужно лишь найти хотя бы приближенное решение уравнения с заданной точностью.

Wolfram|Alpha реализует алгоритмы основных численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, таких, как метод половинного деления (bisection method), метод хорд (метод секущих - secant method), метод касательных (метод Ньютона - Newton's method, Newton-Raphson method).

На практике, приближенное отыскания действительных корней уравнения вида f(x)=0 с помощью численных методов проходит в два этапа.

Сначала ищем интервалы изоляции корней уравнения, поскольку все численные методы позволяют искать лишь изолированные корни уравнений. Действительные корни уравнения f(x)=0 соответствуют точкам пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс. Поэтому, чтобы найти интервалы изоляции действительных корней заданного уравнения достаточно с помощью Wolfram|Alpha построить график функции f(x). Подробнее об этом - в статье
Изоляция корней и графическое решение уравнений в Wolfram|Alpha.

После того, как интервалы изоляции корней уравнения будут найдены, можно применить тот или иной численный метод для отыскания приближенного значения корней на каждом из интервалов изоляции. Как увидим далее, в Wolfram|Alpha эта процедура несколько упрощается.

Рассмотрим далее трансцендентное уравнение 5cos(x)-ln(x)-1=0.

По виду этого уравнения можно сразу предположить, что оно имеет несколько непериодических решений. Сколько именно, пока неизвестно.

Казалось бы, с помощью Wolfram|Alpha проще всего найти эти решения, используя стандартный запрос solve (без параметров). Пробуем. И вот, что получаем:

solve 5cos(x)-ln(x)-1=0



В ответ на наш запрос Wolfram|Alpha выводит 9 приближенных корней данного уравнения. Однако, можно предположить, что это не все его корни. И в самом деле, кроме указанных выше корней, данное уравнение также имеет еще действительные корни большие 30, которые отсутствуют в выдаче Wolfram|Alpha по запросу solve. В том, что такие корни действительно существуют, легко убедиться графическим методом, воспользовавшись следующим запросом на построение графика:

Как исследовать четность-нечетность функции в Wolfram|Alpha

В дополнение к ранее опубликованным постам, посвященным исследованию функции одной переменной с помощью Wolfram|Alpha, этот пост отвечает на вопрос, как с помощью Wolfram|Alpha проверить... Является ли данная функция y(x) четной или нечетной?

Как известно, чтобы ответить на этот вопрос без помощи Wolfram|Alpha, нужно, исходя из определения четной-нечетной функции, выполнить простое вспомогательное преобразование, а именно: в математическое выражение данной функции вместо аргумента x следует подставить (-x), так, чтобы получить выражение y(-x). Согласно определений четной и нечетной функции, если получится, что y(-x)=y(x), то функция y(x) - четная, если же y(-x)=-y(x), то - нечетная, а если ни то ни другое, то функция y(x) ни четная, ни нечетная.

В самых простых случаях выполнить такую проверку не составит труда. Но, если функция y(x) задана сложным выражением или вовсе не является элементарной, то такая проверка ее четности-нечетности может оказаться довольно трудоемкой задачей. Бывают еще случаи, когда вы не уверены в своем результате. В этих случаях можно обратиться к Wolfram|Alpha с запросом parity y(x), который проверяет четность-нечетность функции y(x) и выводит ответ, который означает следующее: even - функция четная, odd - функция нечетная, neither even nor odd - функция ни четная ни нечетная.

Как это выглядит на практике? Для начала, простой пример четной функции:

parity x^2-1



А это - пример нечетной функции:

Бесконечные и конечные произведения в Wolfram|Alpha

Как записать в Wolfram|Alpha конечное произведение?

В Wolfram|Alpha произведение обозначается ключевым словом product. С его помощью бесконечное произведение в Wolfram|Alpha можно записать разными способами. Понятно, что все они дают один и тот же результат:

product(exp(-1/n^2)), n=1 to infinity
product(exp(-1/n^2)), n=1..oo
или просто product(exp(-1/n^2))



Соответственно, конечное произведение записывается следующим образом:

product(exp(-1/n^2)), n=1 to 9

Рукописный стиль в выдаче Wolfram|Alpha

Wolfram|Alpha может выдавать ответ в виде рукописного текста. Не знали?

Если Вы, обращаясь к Wolfram|Alpha, вдруг захотите получить ответ написанный как-будто рукой человека, просто добавьте к Вашему запросу ключевое слово "handwritten", которое и означает рукописный стиль. Вот, например,  как это выглядит:

convergence of series 1/n^3 handwritten



Если же Вам нравится получать ответы в обычном "книжном" виде, обращайтесь к Wolfram|Alpha, как обычно:

convergence of series 1/n^3



Зачем разработчикам Wolfram|Alpha понадобился этот этот рукописный стиль? Наверное, для того, чтобы хоть немного разнообразить сухие математические выкладки, сделать систему (а вместе с ней и изучение математики) хоть чуточку "человечнее", придать ей признаки индивидуальности - то, что называют "гуманистическим подходом"...

И правда, насколько приятнее видеть в исполнении Wolfram|Alpha математический результат, будто бы выписанный не бездушным компьютером, а человеком:

area between y=1-x-x^2, y=x-1 handwritten



Так или иначе, я это приветствую. И хотя рукописная выдача не всегда бывает удобна для практического использования, все же приятно, что теперь систему Wolfram|Alpha можно узнавать еще и по "почерку" :).

Ну, а если кто против? Пожалуйста! У Вас остается возможность использовать Wolfram|Alpha, как обычно.

Как найти математическое жидание функции случайной величины в Wolfram|Alpha

Вычисление числовых характеристик функций случайных величин - стандартная задача теории вероятностей - довольно трудоемкая процедура. Поэтому, когда ее изучение не является самоцелью, целесообразно решать такие задачи, например, с помощью Wolfram|Alpha. Цель данного поста - предоставить информацию о вычислении о числовых характеристик одномерных функций случайных величин в Wolfram|Alpha. Здесь рассмотрены несколько типичных примеров, хотя они и не исчерпывают полностью эту тему.

Используя стандартные запросы Wolfram|Alpha, которые служат для вычисления числовых характеристик функций случайных величин, нужно помнить, что результаты этих вычислений зависят не только от распределения аргумента функции (самой случайной величины), но также от ее числовых характеристик. Это обстоятельство часто упускают из виду, забывая явно указывать соответствующие параметры запросов. В таком случае, Wolfram|Alpha использует стандартные значения по умолчанию.

Самые необходимые сведения о распределениях случайных величин и их параметрах в Wolfram|Alpha содержат посты Непрерывные вероятностные распределения в Wolfram|Alpha и Дискретные вероятностные распределения в Wolfram|Alpha. Там же приводятся стандартные названия (идентификаторы) основных числовых характеристик случайных величин, какими оперирует Wolfram|Alpha.

Первая из таких характеристик - математическое ожидание случайной величины (expected value of the random variable), которое обозначается, как E(X), EV(X) или же просто expected value.

Следующий запрос выводит математическое ожидание функции |x|^3, где x - случайная величина, которая имеет нормальное распределение со стандартными параметрами среднее - mean=0 и средне-квадратическое отклонение - sd=1:

E(|x|^3), x normal standard



Если же явно указать иные параметры нормального распределения, то, естественно, получим совсем другой ответ:

Приведение матрицы к ступенчатому виду: пошаговое решение в Wolfram|Alpha

Приведение матрицы к ступенчатому виду - промежуточный этап при решении систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, других задач линейной алгебры. Приведение матрицы к ступенчатому виду также называют преобразованием Гаусса-Жордана.

Для приведения матрицы к ступенчатому виду "вручную" к строкам матрицы применяются элементарные преобразования: строки матрицы можно менять местами, умножать или делить на ненулевое число, складывать и вычитать. В Wolfram|Alpha для приведения матрицы к ступенчатому виду служит запрос row reduce, например:

row reduce {{-1, 1, 7, 5}, {-7, 2, 3, 4}, {-1, 2, 7, -2}}



Чтобы получить пошаговое решение Вы должны заранее зарегистрироваться в Wolfram|Alpha и войти в свой аккаунт.

Разложение (декомпозиция) матриц в Wolfram|Alpha

Разложение (декомпозиция) матриц - задача, которая может возникать, как промежуточный этап в процессе решения систем линейных уравнений, обращения матриц, вычисления определителей, при отыскании собственных значений и собственных векторов матрицы, вычисления аналитических функций от матриц, при использовании метода наименьших квадратов, численном решении дифференциальных уравнений...  При этом, в зависимости от решаемой задачи, используются различные виды разложения (декомпозиции) матриц.

Wolfram|Alpha легко справляется с отдельными видами разложения матриц. А именно, без проблем Wolfram|Alpha выводит LU-разложение, PLU-разложение, QR-разложение, разложение Холецкого, а также сингулярное разложение для тех матриц, к которым можно применять данный вид разложения.

В то же время, алгоритмы других известных разложений матриц, например таких, как спектральное разложение или полярное разложение (применяется, в частности, в функциональном анализе), в Wolfram|Alpha в настоящее время еще не реализованы.

LU-разложение (декомпозиция) матрицы - это представление матрицы A в виде A=LU, т. е. в виде произведения двух матриц LU, где L - нижняя треугольная матрица, а U - верхняя треугольная матрица. LU-разложение матрицы еще называют LU-факторизацией. LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц и вычисления определителей. Это - одна из разновидностей метода Гаусса.

Не все матрицы могут быть представлены в виде LU-разложения. Для произвольных матриц Wolfram|Alpha выводит PLU-разложение матрицы вида A=PLU, где P - перестановочная матрица, L - нижняя треугольная матрица с единицами по главной диагонали. PLU-разложение - это обобщение LU-разложения на случай произвольных матриц.

Чтобы получить LU-разложение матрицы в Wolfram|Alpha используйте запросы вида:

LU decomposition{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}} или, короче, LUD{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}}.

Аналогично сработает запрос LU factorisation{{7,3,-11},{-6,7,10},{-11,2,-2}}

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал? Это одна из самых известных и простейших задач теории вероятностей, которая в Wolfram|Alpha решается довольно просто.

Вероятность попадания случайной величины X в числовой интервал (a; b) с помощью математической символики записывается следующим образом:



Эта вероятность зависит от того, какое распределение вероятностей имеет данная случайная величина. Это важно понимать, и обязательно нужно учитывать при вычислениях.

Вузовские пособия и курсы по высшей математике и теории вероятностей чаще всего подробно рассматривают вопрос о вычислении вероятности попадания в заданный интервал, лишь для нормально распределенной случайной величины, а также для дискретных случайных величин, которые имеют биномиальное распределение вероятностей. Потому-то о том, как искать вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал, когда она имеет какое-либо иное распределение вероятностей, большинство студентов имеет лишь отдаленное представление.

Однако же, в курсах математического моделирования, в технических, экономических дисциплинах возникает необходимость вновь обращаться к этой задаче. Причем, здесь нельзя ограничиться только лишь нормальным или биномиальным распределением вероятностей.

Как найти вероятность попадания в заданный интервал для любой случайной величины? Ответ на этот вопрос также даст Wolfram|Alpha. Достаточно лишь ввести систему соответствующий запрос на вычисление вероятности. При этом нужно указать распределение случайной величины и параметры этого распределения.

Например, чтобы найти вероятность попадания непрерывной случайной величины X, которая имеет нормальное распределение с параметрами (математическое ожидание) mean=1 и (средне-квадратическое отклонение) sd=2 в интервал (-1.2; 2.3) используется такой запрос:

P(-1.2<X<2.3) X~normal mean=1 sd=2



Как видите, здесь Wolfram|Alpha не только выводит числовой результат - значение искомой вероятности, равное 0,606488, но также и его графическую интерпретацию: на графике плотности нормального распределения обозначена фигура (криволинейная трапеция), площадь которой равна искомой вероятности 0,606488. Это соответствует известной формуле:



где f(x) - плотность вероятности нормального распределения (pdf NormalDistribution[mean, sd]). Иначе говоря, для непрерывных случайных величин тот же самый результат можно было бы получить путем интегрирования.

Новогодняя елка в Wolfram|Alpha

Как известно, система Wolfram|Alpha имеет большое количество встроенных алгоритмов, и способна отвечать на вопросы, заданные на "естественном" языке. В канун нового года захотелось воспользоваться этими возможностями Wolfram|Alpha, чтобы получить рисунок, хотя бы отдаленно напоминающий новогоднюю елку.

С точки зрения математики, плоское изображение новогодней елки представляет собой некую область в плоскости хОу, которую можно задать системой неравенств.

Оказалось, что не мне одному пришла в голову такая мысль и подходящий алгоритм уже встроен в Wolfram|Alpha. Теперь я знаю, что изображение елки система Wolfram|Alpha выводит по запросу christmas tree:

christmas tree

С Новым Годом!